奥数思维培优 第10讲 角的分类·角度计算（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学 人教版

【人教课标版 · 三年级上册奥数思维培优】 第10讲 角的分类 · 角度计算 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第10讲 专题 角的分类——角度计算 适用年级 小学三年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 线段、角的认识（已学）；射线、直线（第9讲新知）；角的度量与分类（本讲新知） 核心方法 分类判断、和差计算、整体代入 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 认识锐角、直角、钝角、平角、周角。 过程与方法 会按度数分类，会求角的和与差。 思维品质 在平角、周角中求未知角，建立整体思想。 情感应用 用角度知识观察钟表、门窗等生活事物。 三、情境导入 教室的钟面上，3点整时针和分针正好成一个直角；剪刀张开的小口是锐角；教室门半开时是钝角；秒针转一圈画出的是周角。角家族天天出现在我们身边。 想一想：钟面上哪些时刻时针和分针成直角？ 悬念：知道一个平角分成两部分，怎么求出未知角？ 图1 角的王国 今天我们就来认识角家族的五兄弟，学会用加减法算出角的大小。 四、知识导航 图2 五类角的对比 角 度数 特点 锐角 小于90° 尖尖的 直角 等于90° 方方正正 钝角 大于90°小于180° 开口很大 平角 等于180° 一条直线 周角 等于360° 转一整圈 五、易错辨析 常见错误 正确做法 钝角记成>90°就行 必须大于90°且小于180° 平角画成直线就说不清 平角=180°，是两条射线方向相反 周角以为没有角 周角=360°，转一整圈 算未知角用加法 平角180°、周角360°用减法求未知 六、典例精讲 本讲安排6道例题：从角的分类、大小比较、和差计算到平角周角求未知；每例后附一道变式练习。 例1【角的分类】 题目：下面的角各是什么角？30°、90°、120°、180°、360°。 分析：按度数对照五类角的标准判断。 详解： 30°<90°，是锐角。 90°=90°，是直角。 90°<120°<180°，是钝角。 180°=180°，是平角。 360°=360°，是周角。 图3 判断角的类型 方法点睛：先看度数落在哪个范围，再看它属于哪一类。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：下面的角各是什么角？45°、135°、170°。 解答： 45°是锐角；135°、170°都是钝角。 点拨：与例1同法：对照范围判断。 例2【角的大小比较】 题目：比较下面四个角的大小：30°、60°、90°、150°。 分析：角的大小只看开口，不看边的长短。 详解： 开口从小到大排列：30°、60°、90°、150°。 所以：30°<60°<90°<150°。 图4 角的大小比较 方法点睛：角的大小看开口：开口越大角越大。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：比较下面三个角的大小：75°、45°、120°。 解答： 45°<75°<120°。 点拨：与例2同法：按度数大小排序。 例3【角度和·合成直角】 题目：∠1=30°，∠2=60°，求∠1+∠2，并判断它是什么角。 分析：把两个角的度数相加，再看和属于哪类角。 详解： ∠1+∠2=30°+60°=90°。 90°是直角。 图5 两角合成直角 方法点睛：和小于90°是锐角，等于90°是直角，大于90°小于180°是钝角。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：∠1=60°，∠2=45°，求∠1+∠2，并判断是什么角。 解答： 60°+45°=105°，90°<105°<180°，是钝角。 点拨：与例3同法：先求和再分类——两个锐角相加，也可能变成钝角。 例4【角度差·求剩余角】 题目：∠1=120°，∠2=45°，求∠1-∠2，并判断它是什么角。 分析：大角减去小角，差就是剩余的角度。 详解： ∠1-∠2=120°-45°=75°。 0°<75°<90°，是锐角。 图6 角度差 方法点睛：求差用减法；差小于90°是锐角。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：∠1=150°，∠2=60°，求∠1-∠2，并判断是什么角。 解答： 150°-60°=90°，是直角。 点拨：与例4同法：先求差再分类。 例5【平角内求未知角】 题目：一个平角被分成两部分，∠1=70°，求∠2。 分析：平角是180°，用180°减去已知角就是未知角。 详解： ∠2=180°-70°=110°。 90°<110°<180°，∠2是钝角。 图7 平角分拆 方法点睛：平角=180°，整体减去部分，就得到另一部分。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个平角被分成两部分，∠1=35°，求∠2。 解答： ∠2=180°-35°=145°，是钝角。 点拨：与例5同法：180°减去已知角。 例6【周角内求未知角】 题目：一个周角被分成三部分：∠1=90°，∠2=120°，求∠3。 分析：周角是360°，用360°减去两个已知角。 详解： ∠1+∠2=90°+120°=210°。 ∠3=360°-210°=150°。 90°<150°<180°，∠3是钝角。 图8 周角分拆 方法点睛：周角=360°，先加已知部分，再从整体减去。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个周角被分成三部分：∠1=60°，∠2=180°，求∠3。 解答： ∠3=360°-60°-180°=120°，是钝角。 点拨：与例6同法：360°减去已知角。 七、真题进阶（名校思维题） 真题1【平角减直角】（名校思维拓展·三年级适配） 题目：一个平角减去一个直角，剩下的角是多少度？是什么角？ 分析：平角180°，直角90°，直接相减。 详解： 180°-90°=90°。 90°是直角。 方法点睛：记住：平角180°、直角90°，相减得90°。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个周角减去一个平角，剩下的角是多少度？ 解答： 360°-180°=180°，是平角。 点拨：与真题1同法：周角360°减平角180°。 真题2【角度计算】（名校思维拓展·三年级适配） 题目：∠1=35°，∠2=55°，求∠1+∠2，并判断是什么角。 分析：两个角相加，和等于90°就是直角。 详解： ∠1+∠2=35°+55°=90°。 90°是直角。 方法点睛：两个锐角加起来可能正好是直角。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：∠1=145°，∠2=35°，求∠1+∠2，并判断是什么角。 解答： 145°+35°=180°，是平角。 点拨：与真题2同法：先求和再分类。 八、方法总结表 角 度数 计算方法 锐角 小于90° 直接判断 直角 等于90° 两角和=90° 钝角 大于90°小于180° 两角和或差判断 平角 等于180° 180°-已知角=未知角 周角 等于360° 360°-已知角=未知角 九、解题口诀 角的家族五兄弟，度数记牢不着急； 小于九十是锐角，等于九十直角立； 九十到百八是钝角，一百八十平角齐； 三百六十周角转，求未知用加减法。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 锐角是小于多少度的角？ A2. 直角是多少度？ A3. 钝角是大于90°且小于多少度的角？ A4. 30°+50°等于多少度？是什么角？ A5. 90°-30°等于多少度？是什么角？ B组 能力提升（5题） B6. ∠1=75°，∠2=45°，∠1+∠2 等于多少度？是什么角？ B7. ∠1=90°，∠2=45°，拼在一起一共多少度？比平角小多少度？ B8. ∠1=105°，∠2=30°，∠1-∠2 等于多少度？是什么角？ B9. ∠1=130°，∠2=30°，∠1-∠2等于多少度？是什么角？ B10. 一个周角被分成两部分，∠1=200°，求∠2。 C组 思维挑战（5题） C11. 按整度数来算，钝角最大是多少度？最小是多少度？ C12. ∠1=88°，∠2=92°，∠1+∠2等于多少度？是什么角？ C13. ∠1=15°，∠2=75°，∠3=45°，三个角拼在一起一共多少度？是什么角？ C14. 钟面上3点整，时针和分针的夹角是多少度？是什么角？ C15. 一个平角被分成两部分，大角正好是小角的 2 倍。小角是多少度？是什么角？ 十一、参考答案与详细解析 A1 锐角是小于90°的角。 A2 直角是90°。 A3 钝角大于90°且小于180°。 A4 30°+50°=80°，是锐角。 A5 90°-30°=60°，是锐角。 B6 75°+45°=120°，是钝角。 B7 90°+45°=135°，是钝角；比平角小 180°-135°=45°。 B8 105°-30°=75°，是锐角。 B9 130°-30°=100°，是钝角。 B10 ∠2=360°-200°=160°，是钝角。 C11 钝角比90°大、比180°小：最大是179°，最小是91°。 C12 88°+92°=180°，是平角。 C13 15°+75°+45°=135°，是钝角。 C14 3点整时针指向3、分针指向12，夹角是90°，是直角。 C15 试算：60°+120°=180°，且 120°=60°×2；小角是 60°，是锐角。 十二、本讲小结 本讲我们认识了角家族的五兄弟：锐角、直角、钝角、平角、周角，学会了看度数分类、按开口比大小，还学会了用加减法求角的和与差。平角180°、周角360°，记住这两个“整体”，求未知角就手到擒来。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 两个锐角相加还是锐角 两个锐角相加可能是直角或钝角，如 45°+60°=105° 角的大小看边的长短 角的大小只看开口，与边画得多长没有关系 求未知角只减第一个 先把已知的角全部加起来，再从整体里一次减掉 周角与平角分不清 180° 是平角（一条直线），360° 是周角（转一整圈） 十四、奥数思维拓展（提优加油站） 角的度数还能帮我们看懂钟面、拼出新角。下面三道题要用上“整体与部分、倍数关系”的奥数思维，敢挑战吗？ 拓展1【钟面角度】 题目：钟面上 4 点整，时针和分针的夹角是多少度？是什么角？ 分析：钟面一圈是 360°，平均分成 12 个大格，每个大格是 30°（因为 12×30=360）。4 点整时，时针指向 4、分针指向 12，中间正好隔 4 个大格。 解答：4×30=120（度）。90°<120°<180°，所以是钝角。 检验：3 点整隔 3 格：3×30=90°（直角）；6 点整隔 6 格：6×30=180°（平角）。与学过的结论完全一致。 方法点睛：钟面角度 = 大格数 × 30°。 拓展2【三角尺拼角】 题目：一副三角尺上有 30°、60°、90° 和 45°、45°、90° 这些角。把 30° 的角和 45° 的角拼在一起（顶点重合、边贴着边），拼成的角是多少度？是什么角？ 分析：拼角就是把两个角的度数加起来，再判断和是哪一类角。 解答：30°+45°=75°。0°<75°<90°，是锐角。 检验：再拼上 60°，75°+60°=135°，是钝角——拼得越多，角就越大。 方法点睛：拼角用加法，分角用减法。 拓展3【折纸求角】 题目：把一张长方形纸的一个直角沿一条折痕折过去，折痕把这个直角分成了两个角，其中一个角是 35°，另一个角是多少度？ 分析：折过去只是把这个直角分成了两部分，两部分合起来还是原来的 90°，所以用减法。 解答：90°-35°=55°，是锐角。 检验：35°+55°=90°，合起来正好是原来的直角，说明没有算错。 方法点睛：整体不变——折来折去，两个角的和始终等于原来的直角 90°。 参考答案（拓展）：拓展1：120°，是钝角。拓展2：75°，是锐角。拓展3：55°，是锐角。 学习建议：多观察钟表——整点时分针与时针的夹角就是最好的练习；算完角度后用“五兄弟”对照检查一遍。下讲预告：第11讲 分数的初步·几分之一。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $