28.1 第1课时 图形的旋转及其性质（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **28.1 第1课时 图形的旋转及其性质** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 旋转的定义：** 把一个图形绕**定点 O** 沿某个方向转动**一个角度**，这样的图形运动叫做旋转。点 O 叫**旋转中心**，转动的角度叫**旋转角**。图形的这种运动是**全等变换**，只改变位置，不改变形状和大小。 **2. 旋转的三要素：** ①**旋转中心**（不动点）；②**旋转方向**（顺时针或逆时针）；③**旋转角**。 **3. 旋转的性质（核心，必记）：** （1）对应点到旋转中心的**距离相等**（OA = OA′）； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角**等于旋转角**（∠AOA′ = ∠BOB′ = 旋转角）； （3）旋转前、后的图形**全等**（对应线段相等、对应角相等）。 **4. 易混淆：** 旋转是**绕定点转动**（方向在变）；平移是**沿直线移动**（方向不变）。旋转角不一定都是 90°。 --- ## 二、基础过关（概念与三要素） **1. 填空：** （1）旋转的三要素是____、____、____； （2）旋转中心是旋转过程中____的点； （3）旋转角是指____与____所连线段的夹角。 **2. 下列运动属于旋转的是（　）** A. 电梯上下移动　B. 钟表时针转动　C. 汽车在直路上行驶　D. 滑雪运动员直线滑行 **3. 判断正误并说明理由：** （1）旋转后图形的大小不变；（2）旋转角一定是 180°；（3）旋转改变图形的形状。 --- ## 三、能力提升（性质应用） **4. 如图，△ABC 绕点 O 逆时针旋转 60° 得到 △A′B′C′。填空：** （1）对应点分别是____、____、____； （2）∠AOA′ = ____，∠BOB′ = ____； （3）OA = ____，OB = ____； （4）△ABC ____ △A′B′C′（填“≌”或“≠”）。 **5. 线段 AB 绕点 O 旋转 90° 得到线段 A′B′。若 OA = 3 cm，则 OA′ = ____cm；若 ∠AOA′ = 90°，则旋转角为____。** **6. 一个等边三角形绕其中心旋转，旋转多少度能与自身重合？最小的旋转角是多少？** --- ## 四、综合应用（求角度与长度） **7. 如图，△ABC 绕点 A 顺时针旋转 40° 到 △ADE，点 B 的对应点是 E。若 AB = 5 cm，∠BAC = 30°，求：** （1）AE 的长；（2）∠BAD 的度数；（3）∠CAE 的度数。 **【点拨】** AE = AB = 5 cm（对应线段相等）；∠BAD 即旋转角 = 40°；∠CAE = 旋转角 = 40°（∠CAE 是 C 与 E 对应点与旋转中心 A 连线的夹角）。 **8. 已知正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45° 得到正方形 AB′C′D′。若原正方形边长为 4，求：** （1）AB′ 的长；（2）∠BAB′ 的度数；（3）旋转后图形与原图形的关系。 **9. 点 P 绕点 O 旋转 180° 得到点 P′，若 OP = 7 cm，则 OP′ = ____cm，O 是线段 PP′ 的____。** --- ## 五、易错辨析（改错） **10. 指出错误并改正：** 小明说：“图形旋转后，对应点到旋转中心的距离不一定相等，因为有的点转得多，有的转得少。” **答：** 错误。旋转是**整体运动**，图形上每个点绕旋转中心转动的角度都**相同**（都等于旋转角），因此**每一个对应点到旋转中心的距离都相等**（OA=OA′）。这是旋转的重要性质，与“转得多转得少”无关。 **11. 判断：一个图形绕不同旋转中心旋转，得到的图形一定不同。这个说法是否正确？为什么？** --- ## 六、挑战题（压轴） **12. 如图，△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90° 得到 △A′B′C′，且 OA = 3，OB = 4。求：** （1）OA′、OB′ 的长； （2）∠AOA′、∠BOB′ 的度数； （3）若 ∠AOB = 30°，求 ∠A′OB′ 的度数。 **13. 已知点 A(3, 4)，将点 A 绕原点 O 逆时针旋转 90° 得到点 A′。求点 A′ 的坐标。** **【点拨】** 绕原点旋转 90° 的坐标规律：逆时针旋转 90° 时，(x, y) → (−y, x)，故 (3, 4) → (−4, 3)。 **14. 正方形 ABCD 的边长为 6，绕顶点 A 顺时针旋转 90°，求旋转后顶点 D 的对应点的运动路径长度（即 D 点绕 A 转过的弧长）。** --- ## 参考答案 1.（1）旋转中心、旋转方向、旋转角；（2）位置不变；（3）对应点与旋转中心。 2. B（钟表时针绕轴转动，属旋转；A、C、D 是平移）。 3.（1）对（旋转是全等变换）；（2）错，旋转角可为任意度数；（3）错，形状大小不变。 4.（1）A′、B′、C′；（2）∠AOA′=60°，∠BOB′=60°；（3）OA′=OA，OB′=OB；（4）≌。 5. OA′=3 cm；旋转角=90°。 6. 旋转 120° 的整数倍能与自身重合，最小旋转角为 120°。 7.（1）AE=5 cm；（2）∠BAD=40°；（3）∠CAE=40°。 8.（1）AB′=4；（2）∠BAB′=45°；（3）全等。 9. OP′=7 cm；O 是 PP′ 的中点。 11. 不一定。绕不同中心、同方向同角度旋转，可能得到位置不同但全等的图形；若中心与角度不同，结果一般不同，但不能断言“一定不同”。 12.（1）OA′=3，OB′=4；（2）均为 90°；（3）∠A′OB′ = ∠AOB = 30°（旋转保持角度不变）。 13. A′(−4, 3)。 14. D 绕 A 旋转 90°，弧长 = 2π×6×(90/360) = 3π（约 9.42 个单位）。 --- **说明：** 本练习紧扣 28.1 第1课时「图形的旋转及其性质」——三要素、对应点到旋转中心距离相等、对应点与中心连线夹角等于旋转角、图形全等，基础到综合共 14 题、约 1500 字。第 13、14 题涉及坐标系旋转与弧长，属延伸内容。需要我把旋转、平移、轴对称三类变换做一份对比练习，或把本章练习整合成可打印文档吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 28.1 第1课时 图形的旋转及其性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十八章 旋转 1 2 3 理解旋转的概念，能准确指出旋转中心、旋转角和对应点； 掌握旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 经历观察、操作、探究、归纳的过程，发展学生的几何直观和合情推理能力. 学习目标 问题 我们之前已经学习了两种图形的变化——平移和轴对称。请大家回忆一下： 什么是平移？什么是轴对称？ 平移：图形沿某一方向移动一定的距离 轴对称：图形沿某条直线翻折 图形还有没有其他的变化方式呢？本节课我们就学习——图形的旋转. 情境导入 3 在生活中你还见过哪些旋转现象？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 探究新知 游乐场的摩天轮 缓缓旋转，带来俯瞰的喜悦，在最高点遇见整片天空的辽阔与温柔。 梦幻旋转木马 童年的记忆在旋转中飞扬，斑斓的木马带着欢笑，一圈圈描绘着纯真的梦。 飞速旋转的陀螺 在方寸之间保持完美平衡，以动态之美诠释专注的力量，转出生活的别样韵律。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在生活中你还见过哪些旋转现象？ 探究新知 比之前学过的平移、轴对称，这种运动和前两种变换有什么区别？ 风车叶片、船舵柄的运动有什么共同点？ 钟表从 3 时到 5 时，时针绕表盘中心做什么运动？转动了多少度？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 时针绕表盘中心做旋转运动，转了60 都是旋转运动 图形绕着平面内一个固定点转动一定角度。 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 P P' P P' 以下这些现象有什么共同点呢？ 钟表的指针在不停地转动 时针顺时针转动了60°. 都在图形和点所在的平面内旋转. 知识点 1：旋转的相关定义 转动的角∠POP′叫做旋转角. O 转动的方向为顺时针方向. 旋转中心 时针端点、为一组对应点 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 以下这些现象有什么共同点呢？ 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 都在图形和点所在的平面内旋转. 知识点 1：旋转的相关定义 转动的方向为顺时针方向. 旋转中心 O 旋转角. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 1：旋转的相关定义 1. 图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。 旋转中心 在旋转过程中，图形绕着转动的那个固定不动的点，是旋转的核心基准。 旋转方向 决定图形转动的走向，通常分为顺时针方向和逆时针方向两种情况。 旋转角 对应点与旋转中心连线的夹角，也就是图形在旋转过程中转过的角度大小。 旋转三要素 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 1：旋转的相关定义 旋转中心 旋转方向 旋转角 【注意】旋转的范围是“平面内” 确定一次图形的旋转需要明确哪些事项？ 旋转三要素 图形上的某点 P 经过旋转变为点 P' ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 1：旋转的相关定义 P Q O M N 例1.填空： 如图，△OPQ 围绕点 O 顺时针旋转60°至△OMN 的位置，在这个旋转过程中： 旋转中心是________； 点 P 的对应点是______，点 Q 的 对应点是______； 线段 PQ 的对应线段是_________； ∠OQP 的对应角是________； ∠POM 的度数是_______. 点O 点M 点N 线段MN ∠ONM 60° 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2、判断下列现象是否为旋转： ①电梯上下移动； ②风扇叶片转动； ③对折纸张； ④车轮绕车轴滚动。 2.解： 例3、下列运动属于旋转的是( ) A.篮球的滚动 B.钟表上钟摆的摆动 C.气球垂直升空的运动 D.一个图形沿某直线对折的过程 B 3.解： A. 篮球的滚动,不是绕着某一个固定的 点转动,不属于旋转; B.钟表上钟摆的摆动,符合 旋转变换的定义,属于旋转; C. 气球垂直升空的 运动是平移,不属于旋转; D. 一个图形沿某直线 对折的过程是轴对称,不属于旋转 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例4、如图,能由左边的图形旋转得到的右边图形是( ) 解：旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变. 还要注意旋转的三要素:①定点:旋转中心;②旋转方向;③旋转角 . B 绕着图形的中心,顺时针旋转 180 度,得到的图形是 探究新知 13 4.如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是( ) A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解. 根据给出的图形先确定出旋转中心,再确定出旋转的方向和度数 探究新知 1. 返回 下列运动不属于旋转的是(　　) A．大风车转动 B．火箭升空的运动 C．关上教室门 D．钟摆的摆动 B 举一反三 15 返回 2. 如图，在平面内将风车绕其中心旋转180°后所得到的图案是(　　) C 举一反三 返回 3. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置． (1)旋转中心是________； (2)点B，D的对应点分别是________； (3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是______________； (4)∠B的对应角是________； (5)旋转角度为________． 点A 点C，E AC，CE，EA ∠ACE 60° 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 探 究做一做 （1）在硬纸板上，挖一个三角形洞 （2）再另挖一个小洞 O 作为旋转中心 A B C O (3)硬纸板下面放一张白纸. 先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)， (4)围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板. A′ B′ C′ 探究新知 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 探 究做一做 （1）在硬纸板上，挖一个三角形洞 （2）再另挖一个小洞 O 作为旋转中心 (3)硬纸板下面放一张白纸. 先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)， (4)围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板. (5)连接，，， 用直尺、量角器测量线段长度与夹角大小。 探究新知 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 ① △A′B′C′ 可以看作是△ABC 经过怎样的运动得到的？ △A′B′C′是由△ABC 绕点 O 旋转得到的. ②线段OA和OA′有什么关系？线段OB和OB′?线段OC和OC′? OA=OA′ OB=OB′ OC=OC′ 对应点到旋转中心的距离相等 ③ OA=OA′说明旋转过程中对应点由什么性质？ 探究新知 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 ⑤△A′B′C′ 和△ABC的形状和大小有什么关系？ △ABC≌△A′B′C′ ④∠AOA′、∠BOB′、 ∠COC′之间有什么关系？与旋转角由什么关系？ ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=旋转角 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置 将旋转后的图形平移至原图形上，二者能够完全重合，因此是全等图形 探究新知 21 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 等距性：任意一组对应点到旋转中心的距离相等 等角性：任意一组对应点与旋转中心所连线段形成的夹角相等，且全部等于旋转角 全等不变性：旋转前、后的图形全等，图形的形状、大小完全不变； 旋转的性质 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 旋转与平移、轴对称的异同点 变换 关系 平移 轴对称 旋转 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后两个图形全等； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 知识点 2：旋转的基本性质 旋转与平移、轴对称的异同点 变换 关系 平移 轴对称 旋转 不同点 运动方式 对应点、对应线段的情况 变换条件 沿某一方向移动 沿一条直线翻折 绕某一点转动 对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等； 对应线段平行(或在一条直线上)且相等 若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上； 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 对应点到旋转中心的距离相等 平移方向和平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向和旋转角 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例1、题目：如图 28.1-5，将绕点顺时针旋转得到，已知，求度数。 解：由旋转的性质可得 绕点顺时针旋转得到 （旋转性质：对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角） 又 和的长度有什么关系？ 答：，依据旋转性质第一条，旋转前后图形全等，全等三角形对应线段相等 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例2、将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B‘A’C=30°)按图(1)方式放置,固定三角板 A′B′C,然后将三角板 ABC 绕直角顶点 C顺时针方向旋转(旋转角小于 90°)至图(2)所示 的位置，AB与 AC交于点 E,AC与 A′B′交于点 F, AB与A’B‘相交于点O. (1)求证:△BCE≌△B’CF; (2)当旋转角等于30°时,AB与A‘B’垂直吗?请说理由。 解： 探究新知 返回 4. [石家庄期中]如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE.若∠DAE＝50°，则∠CAD＝(　　) A．30° B．40° C．50° D．90° B 举一反三 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△A′BC′，此时点C在边A′B上．若AB＝5，BC′＝2，则A′C的长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 返回 5. B 举一反三 [教材P93探究变式]如图，△DEF是由△ABC绕着点O顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是(　　) A．∠COF＝∠BOE B．∠OAC＝∠ODF C．OC＝OF D．BC＝DF 返回 6. D 举一反三 返回 7. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF的面积是________． 1 举一反三 返回 8. 如图，在△ABC中，∠B＝20°，∠ACB＝30°，AB＝2 cm，把△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好在AD边上，AC＝1.4 cm. (1)旋转中心为点________，旋转角的度数为________； A 130° 举一反三 返回 (2)求出∠BAE的度数和AE的长． 解：∵把△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合， ∴∠EAD＝∠CAB＝130°，AE＝AC＝1.4 cm， ∴∠BAE＝360°－130°－130°＝100°. 举一反三 返回 9. [宿迁中考]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，2)，将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA′，则点A′的坐标为(　　) A．(－3，2) B．(－2，3) C．(3，－2) D．(2，－3) B 举一反三 33 返回 10. [天津中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′.若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为(　　) D 举一反三 34 11. [南京中考]如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE＝________.　 返回 举一反三 35 返回 12. [北京中考]节选已知∠MAN＝α(0°＜α＜45°)，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°－2α得到线段BD，过点D作AN的垂线交射线AM于点E.如图，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点． 证明：连接CD. 由题意得BC＝BD，∠CBD＝180°－2α， ∴∠BDC＝∠BCD. ∵∠BDC＋∠BCD＋∠CBD＝180°， 举一反三 36 返回 ∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD. ∵DE⊥AN，∴∠AED＋∠A＝∠CDE＋∠BDC＝90°， ∴∠AED＝∠CDE，∴CD＝CE， ∴CA＝CE，∴C是AE的中点． 举一反三 1.核心概念 旋转中心：定点O 旋转角：图形旋转的角度 对应点： P旋转后得到点P' 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 图形 的旋转 ①旋转前后的图形全等.形状大小不变； 2..三大性质 ②对应点到旋转中心的距离相等 ③对应点与中心点连线夹角都等于旋转角 3.应用 识别生活旋转实例 线段、角度几何计算 课堂小结 谢谢观看 THANKS A． B． C．4 D． ∴∠BDC＝＝α， $