福建省厦门双十中学2026-2027学年八年级上学期阶段练习数学试卷（10月 ）

2026-2027学年福建省厦门双十中学八年级（上）阶段练习数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．） 1．（4分）汉字是中华文明的标志，下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．2，5，8 C．5，5，10 D．1，6，7 3．（4分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以固定住它，这样做的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 4．（4分）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（　　） A． B． C．或 D．不能确定 5．（4分）如图，已知，，要得到△△，还应给出的条件是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定△△得到．其中判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）如图，用三角板作钝角△的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 9．（4分）如图，先将正方形纸片对折然后展开，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，沿和剪下得到△，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，在△中，点，分别是，的中点，，相交于点．若△的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在中，，，则　　． 12．（4分）如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若，，则　　 ． 13．（4分）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是　　 ． 14．（4分）如图，在中，，平分，，，则的面积为　　． 15．（4分）在平面直角坐标系中，，△为等腰直角三角形，且，则点的坐标为　　 （用含的代数式表示）． 16．（4分）如图，在△中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则　　 ． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．（8分）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：△△． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出△关于轴对称的△； （2）直接写出，，三点的坐标： 　　 ，　　 ，　　 ； （3）求△的面积． 19．（8分）如图，于，于，若， 求证：平分． 20．（10分）如图，已知是△的角平分线． （1）尺规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明． 21．（8分）如图，△是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：△是等腰三角形． 22．（12分）在小区中，有一条“”字形绿色长廊，其中，在，，三段绿色长廊上各修一小凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达． （1）小明想知道与之间的距离，小东说只要测量的长度即可，你认为正确吗？为什么？ （2）小东还发现点也是线段的中点，为什么？ 23．（15分）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】（1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 同学们猜测：在同一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角也大于另一条边所对的角． 如图，△中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下两位同学给出了自己的解决思路： 思路一 思路二 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 选择思路：　　 ，证明如下：（答题卡不用写出作辅助线方法，直接根据所选择的思路画完图后证明）；【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是　　 ； ．锐角三角形 ．钝角三角形 ．直角三角形 ．不能确定 【问题拓展】 （3）完成（1）的证明后，我们可以把“在同一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角也大于另一条边所对的角”作为定理． ①写出这个定理的逆命题：　　 ； ②证明这个逆命题为真命题（要求：画出图形，依照图形写出已知、求证，并完成证明）． 24．（15分）如图1，在平面直角坐标系中，，，，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）若，，则点的坐标为 　　 ； （2）如图2，若，，连接并延长至点，使得，当轴时，求点的坐标； （3）如图3，过点作的平行线交延长线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交于点．若，请连接后，探究，，三条线段的数量关系． 2026-2027学年福建省厦门双十中学八年级（上）阶段练习数学试卷（10月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．） 1．（4分）汉字是中华文明的标志，下面的小篆体字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：由轴对称的定义可知，选项图形是轴对称图形，、、选项图形不是轴对称图形， 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的识别，熟记“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题关键． 2．（4分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．2，5，8 C．5，5，10 D．1，6，7 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断． 【解答】解：、，故能构成三角形，故此选项符合题意； 、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； 、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意； 、，故不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键． 3．（4分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以固定住它，这样做的数学道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解：把手机放在一个支架上面，就可以固定住它，这样做的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形具有稳定性． 4．（4分）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为（　　） A． B． C．或 D．不能确定 【分析】由等腰三角形的两底角相等可得，内角为的角只能是顶角，解答出即可； 【解答】解：根据等腰三角形的性质得， 底角度数为：； 故选：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，注意等腰三角形的底角必为锐角． 5．（4分）如图，已知，，要得到△△，还应给出的条件是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于选项，由得，进而可依据“”判定△和△全等，由此可对选项进行判断； 对于选项，根据，，不能判定△△，由此可对选项进行判断； 对于选项，根据，，不能判定△△，由此可对选项进行判断； 对于选项，由得，再根据邻补角定义得，则，，不能判定△△，由此可对选项进行判断；综上所述即可得出答案． 【解答】解：对于选项．， ， ， 在△和△中， ， △△， 给出选项中的条件能判定△△， 故选符合题意； 对于选项．， 在△和△中， ，，， 此时不能够判定△△， 给出选项中的条件不能判定△△， 故选项不符合题意； 对于选项．， 在△和△中， ，，， 此时不能够判定△△， 给出选项中的条件不能判定△△， 故选项不符合题意； 对于选项．， ， ，， ， 此时不能够判定△△， 给出选项中的条件不能判定△△， 故选项不符合题意， 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，平行线的性质是解决问题的关键． 6．（4分）下面是“作的角平分线”的尺规作图方法．上述方法通过判定△△得到．其中判定△△的依据是（　　） A． B． C． D． 【分析】由作法可知根据证明△△． 【解答】解：由作法可知，，， 又， △△， 故判定△△的依据是， 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的作法，熟记角平分线的作法是解题的关键． 7．（4分）如图，用三角板作钝角△的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义即可得出结论． 【解答】解：、作的是边上的高，此选项符合题意； 、三角板未过点，故作的不是高，此选项不符合题意； 、作的是边上的高，此选项不符合题意； 、作的是边上的高，此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解题的关键． 8．（4分）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】要击中点，则需要满足点反弹后经过的直线过点，画出反射路线即可得出答案． 【解答】解： 可以瞄准点击球． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 9．（4分）如图，先将正方形纸片对折然后展开，折痕为，再把点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，沿和剪下得到△，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用图形的对称性特点解题． 【解答】解：由图形的对称性可知：，， 正方形， ， ． 故选：． 【点评】此题考查的是剪纸问题，解决本题的关键是利用图形的对称性把所求的线段进行转移． 10．（4分）如图，在△中，点，分别是，的中点，，相交于点．若△的面积为24，则四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【分析】由三角形的面积公式得到，由三角形的重心性质得到，因此，即可求出四边形的面积． 【解答】解：点，分别是，的中点， ， 是△的重心， ， ， 四边形的面积△的面积△的面积． 故选：． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，关键是由三角形的重心的性质得到． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）在中，，，则　　． 【分析】根据三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：因为在中，，， 所以， 故答案为：． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据三角形内角和是解答． 12．（4分）如图1所示的马扎是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带，图2为侧面示意图．若，，则　55　 ． 【分析】因为是三角形的外角，而和是该三角形与不相邻的两个内角，所以，而，，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图2，是△的外角， ， ，， ， 故答案为：55． 【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确理解和应用三角形内角和定理的推论是解题的关键． 13．（4分）已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是　14或16　 ． 【分析】等腰三角形的两腰相等，题目中没说那是腰，所以用两种情况，讨论可得解． 【解答】解：当腰长是4时，三边为4，4，6，能构成三角形，故周长为．当腰长是6时，三边为6，6，4，能构成三角形，故周长为． 故答案为：14或16． 【点评】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 14．（4分）如图，在中，，平分，，，则的面积为　15　． 【分析】过作于，依据角平分线的性质，即可得到的长，进而得出的面积． 【解答】解：如图所示，过作于， ，平分， ， 又， 的面积为， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（4分）在平面直角坐标系中，，△为等腰直角三角形，且，则点的坐标为或 （用含的代数式表示）． 【分析】依题意分两种情况讨论如下：①当点在的右侧时，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，过点作，交的延长线于点，则，，证明△和△全等得，，由此得点相当于点向右平移3个长度单位，再向上平移1个长度单位，据此可得点的坐标为；②当点在的左侧时，点相当于点向左平移3个长度单位，再向下平移1个长度单位，据此可得点的坐标为；综上所述即可得出答案． 【解答】解：△为等腰直角三角形，且， ， 分两种情况讨论如下： ①当点在的右侧时， 过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，过点作，交的延长线于点，如图1所示： ， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 在△中，， ， 又， ， 在△和△中， ， △△， ，， 点相当于点向右平移3个长度单位，再向上平移1个长度单位， 点的横坐标为：，点的纵坐标为：， 点的坐标为； ②当点在的左侧时，如图2所示： ， 点相当于点向左平移3个长度单位，再向下平移1个长度单位， 点的横坐标为：，点的纵坐标为：， 点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或． 【点评】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标的平移，分类讨论是易错点． 16．（4分）如图，在△中，为边上一点，且平分，过作于点．若，，，则　3.5　 ． 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用证明△△，再利用全等三角形的性质可得，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再根据已知可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 平分， ， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是△的一个外角， ， ， ， ， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17．（8分）如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：△△． 【分析】根据得到，然后利用判定定理证明△△即可． 【解答】证明：， ， 在△和△中， ， △△． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并灵活运用这些知识． 18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中画出△关于轴对称的△； （2）直接写出，，三点的坐标： ，3　 ，　　 ，　　 ； （3）求△的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）由图可得，，，． 故答案为：，3；，0；，2． （3）△的面积为． 【点评】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 19．（8分）如图，于，于，若， 求证：平分． 【分析】由于，于，若，，即可判定△△，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分． 【解答】证明：，， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△与△中， ， △△， ， 平分． 方法，， ， 在△和△中， ， △△， ， 平分． 【点评】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 20．（10分）如图，已知是△的角平分线． （1）尺规作图：在边上找一点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，判断和的位置关系，并加以证明． 【分析】（1）利用尺规作的垂直平分线交于点即可； （2）结合（1）的垂直平分线交于点，可得，所以，进而可以证明和的位置关系． 【解答】解：（1）如图，点即为所求； （2）和的位置关系为：， 证明：是△的角平分线， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 21．（8分）如图，△是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交的延长线于点．求证：△是等腰三角形． 【分析】由，可知，再由和余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论． 【解答】证明：， （等边对等角）， 又， （垂直的定义）， ，， （同角的余角相等）， 又， （等量代换）， （等角对等边）． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键是相关性质的熟练掌握． 22．（12分）在小区中，有一条“”字形绿色长廊，其中，在，，三段绿色长廊上各修一小凉亭，，，且，点是的中点，在凉亭与之间有一池塘，不能直接到达． （1）小明想知道与之间的距离，小东说只要测量的长度即可，你认为正确吗？为什么？ （2）小东还发现点也是线段的中点，为什么？ 【分析】（1）由，得到，由点是的中点，得到，则△△，根据全等三角形的性质即可求解； （2）由（1）知△△即可证明． 【解答】解：（1）正确，理由如下： ， ， 点是的中点， ， 在△与△中， ， △△， ， 想知道与之间的距离，只需要测出线段的长度． （2）， ， 点是的中点， ， 在△与△中， ， △△， ，， ， ， 即，，三点共线， 则点也是线段的中点． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（15分）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】（1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 同学们猜测：在同一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角也大于另一条边所对的角． 如图，△中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下两位同学给出了自己的解决思路： 思路一 思路二 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 选择思路：　思路一（答案不唯一）　 ，证明如下：（答题卡不用写出作辅助线方法，直接根据所选择的思路画完图后证明）；【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是　　 ； ．锐角三角形 ．钝角三角形 ．直角三角形 ．不能确定 【问题拓展】 （3）完成（1）的证明后，我们可以把“在同一个三角形中，如果一条边大于另一条边，那么这条边所对的角也大于另一条边所对的角”作为定理． ①写出这个定理的逆命题：　　 ； ②证明这个逆命题为真命题（要求：画出图形，依照图形写出已知、求证，并完成证明）． 【分析】（1）选择思路一：作的平分线，交于点，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出△△，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择思路二：作的平分线，交于点，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出△△，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而求解即可； （3）①根据逆定理的概念求解即可； ②在内部，以为顶点，以为一边作，另一边与交于点，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 【解答】解：（1）选择思路一： 证明：作的平分线，交于点，在上截取，连接． 平分， ， 在△和△中， ， △△， ， 是△的外角（根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）， （不等式的传递性）， ； 选择思路二： 证明：作的平分线，交于点，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， △△， ， 是△的外角， ， ； 故答案为：思路一（答案不唯一）； （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 也都是锐角，三个角都是锐角的三角形就是锐角三角形． 故选：； （3）①这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②已知：如图，在△中，， 求证：， 证明：如图，在内部，以为顶点，以为一边作，另一边与交于点， ， ， ， ， 在△中，， ． 【点评】此题考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（15分）如图1，在平面直角坐标系中，，，，点在第一象限，，，与轴交于点． （1）若，，则点的坐标为 ； （2）如图2，若，，连接并延长至点，使得，当轴时，求点的坐标； （3）如图3，过点作的平行线交延长线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，交于点．若，请连接后，探究，，三条线段的数量关系． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，再由和求出结果． （2）根据题意推出△△，进而是的中点，然后由求出值，即可求出点坐标． （3）先根据题意求出，然后由角平分线的判定定理分别得到是和的平分线，再由△△推出，得到三点共线，进而得出，接着通过证明△△求出，最后根据，即可求得，，三条线段的数量关系． 【解答】解：（1）过点作的垂线，垂足为． ，，则△是等腰直角三角形． ． ，． 点的坐标． 故答案为：． （2）设与轴交于点．根据题意可知，，为中点． ，． 在△和△中， △△． ， 由（1）可知． ，即． ． 故点坐标为． （3）如图，连接， 根据题意，， △是等腰直角三角形，即． ． ， ． 又，， 平分， 由轴可得，则；根据可得， ，即也是的平分线． 由于和是点到两边的距离，则；同理可得． 根据等腰三角形三线合一的性质，． 在△和△中，，，，则△△． ， ，即三点共线． 易得△是等腰直角三角形，． 在△和△中，，，，则△△， ． ，，． ，即． 故，，三条线段的数量关系为． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/16 22:21:45；用户：704124641；邮箱：704124641@qq.com；学号：7579826 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $