精品解析：四川省资阳市雁江区第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

新教材2024-2025学年四川省资阳市㕍江中学高二（上）第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 144 B. 120 C. 108 D. 96 4. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ） A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 112块 5. 基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（ ）（参考数据：） A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 6. 定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 7. 是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ） A. 10 B. 13 C. 22 D. 26 二、多选题 8. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则t的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则t的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（ ） A. B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 以为直径的圆与y轴相切 D. 12. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 点的纵坐标为 B. 的准线方程为 C. 若，则的斜率为 D. 面积的最小值为16 三、填空题 13. 已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 15. 已知直线与椭圆在第二象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，，则直线在y轴上的截距为______. 四、解答题 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 17. 已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). （1）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 18. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等差数列． （2）求的值． 19. 已知数列满足，点在直线上. （1）设，证明为等比数列： （2）求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新教材2024-2025学年四川省资阳市㕍江中学高二（上）第一次月考 数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对数函数的值域，利用集合交集运算可得结果. 【详解】因为， 则， 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再由交集的定义求解即可. 【详解】的定义域为，解得：， 故， 因为，所以， 故，故 故选：B. 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 144 B. 120 C. 108 D. 96 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 4. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ） A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 112块 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列，再根据等差数列及其前n项和的性质进行求解即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有环， 则，， 由等差数列的性质可得，，也成等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以中层共有扇面形石板1134块． 故选：B． 5. 基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（ ）（参考数据：） A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果 【详解】因为，，，所以可以得到 ，由题意可知， 所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍 故选：B 6. 定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出时的函数解析式，再根据函数是奇函数作出函数图象，结合函数图象求解即可 【详解】当时，，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如图所示， 由图象可知，即有5个零点，其中有2个关于直线对称，还有2个关于直线对称，所以4个零点的和为零，第5个零点是直线与函数交点的横坐标，即方程的解， 解得， 故选：C 7. 是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（ ） A. 10 B. 13 C. 22 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解. 【详解】因为对于任意的，都有，， 所以为的一条对称轴，为的一个对称中心， 故 所以为的周期， 由得，又由时，有， 可以画出与的图象，如图： 由于也关于对称，且当时，， 由图象可得，函数共有13个零点，故所有零点之和为. 故选：D 二、多选题 8. 已知向量，则下列说法正确的是（　　） A. 若，则t的值为 B. 的最小值为1 C. 若，则t的值为2 D. 若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项根据向量共线的条件可算出；B，C选项均利用模长公式可以解决；D选项利用两个向量的数量积小于零，注意两个向量不能反向共线. 【详解】选项A，，A选项错误； 选项B，，当时取等号，B选项正确； ，根据，解得，C选项正确； D选项，与的夹角为钝角，则，且两个向量不能反向共线， 注意到A选项，时，，于是且,D选项错误. 故选: BC. 9. 已知，，且，则（ ）． A. ab的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式即可判断； 对B，由即可判断， 对C，由，再利用基本不等式即可；对D，即可判断. 【详解】对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确； 对B，由，可得，可得，的最小值为，故B不正确； 对C，， 当且仅当即时成立,故C正确； 对D，，当且仅当时成立，故D正确. 故选：ACD 10. 设正实数满足，则（ ） A. 有最小值 B. 有最小值3 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，根据基本不等式即可求解；对B，先求出，再根据的代换结合基本不等式即可求解；对C，根据重要不等式即可求解；对D，先将平方，再根据基本不等式即可求解. 【详解】解：因为正实数、满足. 对A，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故A错； 对B，， ， ， 当且仅当时，即时，等号成立，故B错； 对C，， ， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D，， ， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点（A在第一象限），O为坐标原点，则（ ） A. B. 当时，直线l的倾斜角为 C. 以为直径的圆与y轴相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由直线和抛物线联立得出根与系数的关系求出数量积判断A,应用焦点弦关系得出倾斜角判断B，应用抛物线性质判断直线和圆的位置关系判断C，根据向量夹角判断D. 【详解】由题意得，抛物线的焦点为，准线方程为，设，， 直线与抛物线交于两点，所以直线的斜率不能为0， 设直线的方程为，联立，整理得，， 则， 所以， 则，故A正确； 设直线I的倾斜角为，由得， ，解得，所以，故B错误； 设中点为P，过A，P分别向y轴引垂线，垂足分别为，， 则，所以以为直径的圆与y轴相切，故C正确； 因为 ， 所以，所以，故D正确. 故选:ACD. 12. 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（ ） A. 点的纵坐标为 B. 的准线方程为 C. 若，则的斜率为 D. 面积的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 三、填空题 13. 已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式及球的体积公式，即可求解. 【详解】根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为2，3， 则圆台的母线长为， 圆台的高为， 该圆台的内切球的半径， 该圆台的体积与球的体积之比为. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案. 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 15. 已知直线与椭圆在第二象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，，则直线在y轴上的截距为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出点的坐标及直线的方程，联立直线和椭圆方程，韦达定理，根据中点坐标及求得的关系式，即可求解. 【详解】设AB的中点为E，由题意知，点E既是AB的中点又是MN的中点， 设，设直线AB：，，则， 因为，所以， 联立方程组，消去y并化简得，其中， 则， 所以， 因为， 所以，即， 又，即，所以， 解得，则直线在y轴上的截距为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： ①设直线方程，设交点坐标为，； ②联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y)的一元二次方程，必要时计算； ③列出韦达定理； ④将所求问题或题中的关系转化为， (或，)的形式； ⑤代入韦达定理求解. 四、解答题 16. 已知数列的前项和为，且． （1）证明：数列为等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最大值． 【答案】（1）证明如下： 数列满足①， 当时，有②， ①②可得：， 即， 变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差得到，结合等差数列的定义证明即可； （2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出，即可得到的通项公式，结合的单调性及求和公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得， 所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值， 且． 17. 已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). （1）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】（1）a1＝－；（2）Sn＝. 【解析】 【分析】(1) 解法一：数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd,代入已知等式中,化简可求出a1的值； 解法二：由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，两式作差可得d,再令n=1求出a1的值； (2)分类讨论n为奇数时和n为偶数时,利用分组求和以及等差数列的前n项和公式代入分别求解化简,并写成分段函数的形式. 【详解】（1）解法一：∵数列{an}是等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3， ∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3， 即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－. 解法二：在等差数列{an}中， 由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1， ∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2. 又a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－. （2）由题意知，①当n为奇数时， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝. ②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋9＋…＋(4n－7)＝. 综上，Sn＝. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等差数列的前n项和,考查分组求和的应用,考查学生逻辑思维能力与运算求解能力,属于中档题. 18. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等差数列． （2）求的值． 【答案】（1） 因为， 所以． 两式相减，得，① 所以．② ②－①并整理，得， 即， 所以数列是等差数列． （2）. 【解析】 【分析】（1）由，利用数列的通项和前n项和关系求解； （2）由（1）得到，再利用等比数列的前n项和公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 对于， 令，得． 又，所以数列的首项为，公差， 所以， 所以，所以， 所以， ． 19. 已知数列满足，点在直线上. （1）设，证明为等比数列： （2）求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 【答案】（1）证明见解析； 证明：因点在直线，则. 则，即，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列； （2），； （3） 证明：由（2），. 则当时，； 当（）时，注意到， 则 则 . 综上，当时，. 【解析】 【分析】（1）由题可得，即可完成证明； （2）由（1）可得数列通项公式，后由分组求和法可得答案； （3）可证得，即可完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），. 则； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $