4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 课标要求　1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．　2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 同学们，前面我们用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，今天我们继续用类比的思想来研究等比数列前n项和具有哪些性质． 思考1　等比数列{an}的前n项和Sn一定是关于n的指数型函数吗？ 提示：不一定，当公比为1时，Sn是关于n的一次函数． 思考2　在等比数列中，当n为偶数且q＝－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是什么数列呢？ 提示：0，0，0，…是常数列． 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列前n项和的性质 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则： (1)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm； (2)当q≠－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列(公比为qm)； (3)当n是偶数时，则＝q；当n是奇数时，则＝q； (4)当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝. 角度1　与“片段和”有关的性质 　(1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则S12＝(　　) A．14 B．18 C．20 D．30 (2)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝5，a5＋a6＋a7＝10，则a9＋a10＋a11＝________． 【解析】　(1)因为{an}是等比数列，S3＝2，S6＝6，S6－S3＝4，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成首项为2，公比为2的等比数列． 方法一：所以S9－S6＝8，S12－S9＝16，故S9＝14，S12＝30. 方法二：S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝＝30. (2)设等比数列{an}的公比为q，由a1＋a2＋a3＝5，a5＋a6＋a7＝10可得＝＝＝2，即q4＝2.因此a9＋a10＋a11＝q8(a1＋a2＋a3)＝22×5＝20. 【答案】　(1)D　(2)20 角度2　与“奇偶项”有关的性质 　(1)已知等比数列{an}一共有奇数项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则该数列的项数为(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 (2)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________． 【解析】　(1)设等比数列有2m＋1(m∈N*)项，则奇数项有m＋1项，偶数项有m项．设公比为q，得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2m＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2m-1)＝85，偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2m-1＝42，整体代入得q＝2，所以前2m＋1项的和为＝85＋42＝127，解得2m＋1＝7. (2)因为在等比数列中，若项数为偶数，则＝q，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120. 【答案】　(1)C　(2)120 【感悟提升】　利用等比数列前n项和的性质解题的注意点 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体代换思想是解题的关键． 　1.(2026·龙岩期中)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.设S3＝3x，则S6＝7x，因为{an}为等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列．因为＝＝，所以S9－S6＝x，所以S9＝x，故＝. 2．已知等比数列{an}共有2m(m∈N*)项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 解析：设等比数列{an}的奇数项的和、偶数项的和分别为S奇，S偶．由题意可得解得所以q＝＝. 答案： 应用点一　等比数列前n项和公式在几何中的应用 　(对接教材例10)第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案是由若干个直角三角形组成的．如图所示，作Rt△AOB，OA＝1，∠AOB＝30°，再依次作相似三角形△BOC，△COD，△DOE，…，直至最后一个三角形的斜边OM与OA第一次重叠为止．则所作的所有三角形的面积和为(　　) A．　 B．　 C． D． 【解析】　因为＝12，设第n(n∈N*，1≤n≤12)个三角形的斜边长为an，面积为bn，由题意可知，a1＝＝，an＋1＝＝an，bn＝×an×an＝a，则b1＝≠0，＝＝＝，可知数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以所作的所有三角形的面积和为＝. 【答案】　D 【感悟提升】　几何图形中常见的等比关系 (1)边长比例关系：在一些几何图形中，如正方形、等边三角形等，若通过特定的操作(如连接中点、作角平分线等)生成新的图形，新图形与原图形的边长可能存在固定的比例关系，从而形成等比数列． (2)面积或体积的比例关系：对于相似的几何图形，它们的面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方．如果相似比是一个固定值，那么这些相似图形的面积或体积就会构成等比数列． 　纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为x∶y＝1∶；②将A0纸张的长边对开成两等份，便成为A1规格，将A1纸张的长边对开成两等份，便成为A2规格，……，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2 dm，则A0纸的面积为______dm2；这9张纸的面积之和为______dm2. 解析：由题设，若A0纸的长、宽分别为m，m，则A1纸的长、宽分别为m，m，A2纸的长、宽分别为m，m，A3纸的长、宽分别为m，m，A4纸的长、宽分别为m，m.又A4纸的宽度为2 dm，所以m＝2 dm，则m＝8 dm，则A0纸的面积为8×8＝64 dm2.由上分析，A0纸的面积为m2，A1纸的面积为m2，A2纸的面积为m2，…，依次类推，易知，这9张纸的面积构成以m2为首项，为公比的等比数列，所以面积之和为＝128×＝ dm2. 答案：64　 应用点二　等比数列前n项和公式的实际应用 　(对接教材例11)某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%. (1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ (参考数据：lg 657≈2.818，lg 3≈0.477，lg 2≈0.301) 【解】　(1)设2019＋n年投入an辆电力型公交车，则an＝128×n-1，2026年应该投入电力型公交车a7＝128×6＝1 458辆． (2)设2019＋m年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的，有a1＋a2＋…＋am＝＝256·m－256，则有a1＋a2＋…＋am>(a1＋a2＋…＋am＋10 000)，即256·m－256>[256·m－256＋10 000]，整理得m>＝，即m>lg 657－5lg 2，即m>≈≈7.5，即2027年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的. 【感悟提升】　求解等比数列前n项和的实际应用题的基本步骤 (1)认真审题，建立等比数列的数学模型，将实际问题转化为等比数列的前n项和的问题． (2)利用等比数列的前n项和公式求出数学问题的解． (3)将求得的数学问题的解转化为实际问题． 　《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．”意思是说今有蒲草第一天长高三尺，莞草第一天长高一尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的两倍．要使莞草的高度大于蒲草的高度(蒲草与莞草原先的长度忽略不计)，至少需要经过多少天？ 解：由题意，蒲草第一天长高三尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，所以蒲草每天生长的高度构成首项为3，公比为的等比数列，其前n项和Sn＝＝6－.又由莞草第一天长高一尺，以后每天长高前一天的两倍，所以莞草每天生长的高度构成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和Tn＝＝2n－1.令2n－1>6－，解得2n<1或2n>6，因为n∈N*，所以n≥3，所以要使莞草的高度大于蒲草的高度，至少需要经过3天． 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝7，S14＝21，则S21＝(　　) A．49 B．63 C．84 D．105 解析：选A.由题意可知，S7，S14－S7，S21－S14成等比数列，所以142＝7，解得S21＝49. 2．(教材P55T4(2)改编)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍．则该塔中间层(即第四层)悬挂灯的盏数为(　　) A．12 B．24 C．27 D．48 解析：选B.设塔顶共有灯a1盏．根据题意，从上往下，各层灯数构成以a1为首项，2为公比的等比数列，所以S7＝＝127a1＝381，解得a1＝3.所以a4＝a1q3＝3×23＝24. 3．已知等比数列{an}的前3项和为168，前6项和为189，则数列{an}的公比q＝___________________________________. 解析：由题可得a1＋a2＋a3＝168，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋q3(a1＋a2＋a3)＝189，即168＋168q3＝189，解得q＝. 答案： 4．侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的“蜘蛛网”，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第1个正方形的边长是m，则侏罗纪蜘蛛网的长度(所有正方形的周长之和)Sn将趋近于多少？ 解：由题意可得，外围第2个正方形的边长为＝m；外围第3个正方形的边长为＝m……外围第n个正方形的边长为n-1m.所以侏罗纪蜘蛛网的长度Sn＝4m[1＋＋＋…＋n-1]＝4m×，随着n的无限增大，将趋近于0，Sn将趋近于4m×＝3(3＋)m，所以侏罗纪蜘蛛网的长度Sn将趋近于3(3＋)m. 1．已学习：等比数列前n项和公式的性质及应用． 2．须贯通：灵活利用等比数列的项的性质以及前n项和的性质解题，可以提升解题速度和准确度． 3．应注意：应用前n项和性质时易忽略其成立的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $