4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

1．(2026·徐州月考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a9＝2a1a8，则＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，则根据等比数列的性质可得a3a9＝a1a11＝2a1a8，即得a11＝2a8⇒q3＝2，所以＝＝＝1＋q3＝3. 2．(2026·漳州期中)一个热气球在第1分钟上升了25 m，在以后的每1分钟里，它上升的高度都是前1分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为(　　) A．29 m B．45 m C．61 m D．77 m 解析：选C.由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项a1＝25，公比q＝0.8，则该热气球在前3分钟里上升的总高度为S3＝＝＝61 m． 3．(2026·邵阳月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝1，S8＝17，则S12的值为(　　) A．81 B．145 C．256 D．273 解析：选D.因为S4≠0，S8－S4≠0，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．因为S4＝1，S8＝17，所以S8－S4＝16，所以1×(S12－S8)＝162＝256，所以S12＝256＋17＝273. 4．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，……，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和为(　　) A．2 B． C． D． 解析：选D.这五个正三角形的边长分别为2，1，，，，所以这五个正三角形的面积之和为×＝×＝. 5．已知项数为偶数的等比数列{an}的所有项和为所有奇数项和的3倍，前2项之积为8，则a1＝(　　) A．2 B．－2 C．－1 D．2或－2 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q，项数为2m(m∈N*)，则{a2k－1}(k＝1，2，…，m)满足首项为a1，公比为q2，项数为m.设所有奇数项的和为Tm，因为所有项的和是所有奇数项和的3倍，所以q≠1，所以Tm＝a1＋a3＋…＋a2m－1＝，S2m＝，故满足＝＝3，解得q＝2.又a1a2＝aq＝8，所以a1＝±2. 6．(多选)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多6里 B．此人第三天走了24里 C．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍 D．此人第二天走的路程占全程的 解析：选AC.由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列， 记该等比数列为{an}，前n项和为Sn， 则S6＝＝a1＝378，解得a1＝192. 此人第一天走的路程比后五天走的路程之和多a1－(S6－a1)＝2a1－S6＝384－378＝6里，故A正确；此人第三天走的路程为a3＝a1q2＝48里，故B错误；此人前三天走的路程之和为S3＝a1＋a2＋a3＝192＋96＋48＝336里，后三天走的路程之和为S6－S3＝378－336＝42里，336＝42×8，所以此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍，故C正确；此人第二天走的路程为a2＝a1q＝96≠，故D错误． 7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S3＝4，S7－S4＝64，则S11－S8＝________． 解析：设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1(1＋q＋q2)＝4，S7－S4＝a5＋a6＋a7＝a1q4(1＋q＋q2)＝64，所以＝＝q4＝16，所以q2＝4.所以S11－S8＝a9＋a10＋a11＝a1q8(1＋q＋q2)＝S3·q8＝4×44＝1 024. 答案：1 024 8．拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用．某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有________个节点．(填写具体数字) 解析：由题图可知，每一层节点的个数组成以1为首项，2为公比的等比数列，所以到第10层节点的总个数是S10＝＝1 023. 答案：1 023 9．若等比数列{an}共有奇数项，且所有奇数项的和为255，所有偶数项的和为－126，末项是192，则公比q＝________． 解析：设等比数列{an}共有2m＋1(m∈N*)项，则奇数项有m＋1项，偶数项有m项，得到奇数项的和为a1(1＋q2＋q4＋…＋q2m)＝255，偶数项的和为a1(q＋q3＋q5＋…＋q2m-1)＝－126，所以qa1(1＋q2＋q4＋…＋q2m)＝255q，即a1(q＋q3＋q5＋…＋q2m-1)＋qa2m＋1＝255q，可得－126＋192q＝255q，解得q＝－2. 答案：－2 10．(13分)已知数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和． (1)若S4＝1，S8＝17，求an；(6分) (2)若q＝，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值．(7分) 解：(1)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，所以q≠1. 所以S4＝＝1，S8＝＝17，两式相除得＝17＝1＋q4，解得q＝2或q＝－2.当q＝2时，a1＝；当q＝－2时，a1＝－.所以an＝×2n-1或an＝－×(－2)n-1. (2)因为q＝，则an＝an＋1，即an＝2an＋1，所以a1＝2a2，a3＝2a4，…，a99＝2a100，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝2(a2＋a4＋…＋a100)＋a2＋a4＋…＋a100＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150，所以a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50. 11．(2026·泰州月考)某人从2026年起，每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期)，若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2036年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位：万元)约为(　　) (参考数据：1.029≈1.195，1.0210≈1.219，1.0211≈1.243) A．23.8 B．19.9 C．24.3 D．22.3 解析：选D.设每年1月1日到银行新存入a万元(一年定期)，年利率为r，则a＝2，r＝2%.由题意得，2036年1月1日可取回的钱数为S10＝a(1＋r)＋a(1＋r)2＋…＋a(1＋r)10＝a(1＋r)·＝[(1＋r)11－(1＋r)]＝×(1.0211－1.02)≈22.3万元． 12．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，a1＋a2＝3，a4＋a5＝24，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．＝9 C．a7＋a8＋a9＝504 D．a1a2a3·…·an－1an＝2 解析：选AB.对于A，由题意得＝＝q3＝8，则q＝2，故A正确；对于B，由a1＋a2＝3，可得a1＋2a1＝3，解得a1＝1.由等比数列前n项和公式得Sn＝＝2n－1，得到＝＝＝9，故B正确；对于C，由等比数列性质得S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，且S3＝7，S6－S3＝56，得到S9－S6＝＝448，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝448，故C错误；对于D，由等比数列性质得an＝a1qn-1＝2n-1，则a1a2a3·…·an－1an＝20+1+2+…＋(n-2)＋(n-1)＝2，故D错误． 13．如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成．这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10 cm、底面半径为5 cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积(含最下边圆柱的下底面积)约为________cm2.(精确到1cm2，参考数据：0.649≈0.018，π≈3.14) 解析：由题设，由下至上第n个圆柱的高hn＝10×0.8n-1，底面半径rn＝5×0.8n-1，所以第n个圆柱的侧面积为2πrnhn＝100×0.82n-2π，底面积为πr＝25×0.82n-2π，则侧面积之和为100π×(1＋0.82＋0.84＋…＋0.816)＝100π×≈857cm2，底面积之和为π[r＋(r－r)＋(r－r)＋…＋(r－r)＋r]＝2πr＝2π×25≈157cm2，所以这个工艺品的表面积约为857＋157＝1 014cm2. 答案：1 014 14．(13分)在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%. (参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0811≈2.3) (1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(5分) (2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(8分) 解：(1)设小李在乙公司工作第n年的年薪为bn＝4.8×(1＋8%)n-1 (n∈N*)万元，小李在第5年的年薪为b5＝4.8×(1＋8%)4≈4.8×1.4＝6.72万元，所以小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪约是6.72万元． (2)由题意，小李在甲公司连续工作n(n∈N*)年的工资总收入为4.2n＋×0.6＝0.3n2＋3.9n万元，小李在乙公司工作10年的总收入为＋7.2≈－＋7.2＝79.2万元，则0.3n2＋3.9n≥79.2，即n2＋13n－264≥0，所以(n＋24)(n－11)≥0，所以n≥11，所以小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入． 15．(15分)如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形，……，如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． (1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；(5分) (2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和；(5分) (3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？(5分) 解：(1)原正方形面积为a1＝1，由题意新正方形面积依次为a2＝2＝，…，an＝n-1，故数列为1，，，…，n-1，因为＝＝，所以这一系列正方形的面积构成首项为1，公比为的等比数列． (2)由(1)知，这10个正方形面积的和S10＝＝2＝. (3)所有正方形的面积和Sn＝＝2，当n趋向正无穷时，趋向0，所以Sn无限接近于2，故全部正方形面积相加“最终”会达到2. 学科网（北京）股份有限公司 $