第06讲 拓展一：数列求通项讲义（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第06讲 拓展一：数列求通项 第一部分 知识梳理 知识点一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 知识点二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 知识点三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 知识点四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 知识点五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 知识点六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 知识点七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 第二部分 题型精讲 题型01法（用，得到） 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 【典例2】（25-26高二下·天津·期中）已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【变式1】（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【变式2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则__________. 【变式3】（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 题型02法（将题意中的用替换） 【典例1】（2026·河北邢台·三模）已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【典例2】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 【变式1】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【变式2】（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前项和满足，则的最小值为______. 【变式3】（2026高二下·全国·专题练习）设是数列的前项和，且，，则________，________ 题型03 法（已知等式中左侧含有：） 【典例1】（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【典例2】（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知数列满足，则数列前项和为_______． 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【变式2】（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 题型04 累加法 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【变式1】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【变式2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 【变式3】（25-26高三上·四川眉山·期末）在数列中，，则的最小值为__________. 题型05 累乘法 【典例1】（2026·全国·模拟预测）在数列中，已知，，则数列的前2026项和______． 【典例2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【变式1】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【变式2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 题型06 构造法 【典例1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足，且，则________． 【典例2】已知数列满足，且，则的通项公式为______. 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段检测）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 【变式2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则______． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则______． 题型07 倒数法 【典例1】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 【典例2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【变式1】（23-24高二上·重庆·期中）已知数列满足，则_________． 【变式2】（25-26高二下·云南临沧·期中）已知数列中，，若，则正整数的值为__________. 【变式3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则数列的前项和为______． 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．（25-26高二下·广西桂林·期末）记为数列的前n项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 3．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 二、多选题 7．（2027·湖南衡阳·一模）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．取最小值时 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 三、填空题 9．（26-27高二·全国·一轮复习）已知数列满足，，则________. 10．（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 11．（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 12．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 13．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 14．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则______. B能力提升 1．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C．D． 2．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 4．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 5．（2027高二·全国·专题练习）设 ，求 的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 拓展一：数列求通项 第一部分 知识梳理 知识点一：数列求通项（法、法） 1对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 2对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 法归类 角度1：已知和的关系 角度1：用，得到 例子：的前项之积. 角度2：已知和的关系 角度1：用替换题目中 例子：已知数列的前n项积为，且. 知识点二：累加法（叠加法） 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤： 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 知识点三：累乘法（叠乘法） 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 具体步骤： 将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得： 整理得： 知识点四：构造法 类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 标准模型：（为常数，）或（为常数，） 类型2：用“同除法”构造等差数列 （1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. （2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式. （3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式. 知识点五：倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 知识点六：隔项等差数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中： ①构成以为首项的等差数列，公差为； ②构成以为首项的等差数列，公差为； 知识点七：隔项等比数列 已知数列，满足， 则； （其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中： ①构成以为首项的等比数列，公比为； ②构成以为首项的等比数列，公比为； 第二部分 题型精讲 题型01法（用，得到） 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，， 又时，， 所以. 【典例2】（25-26高二下·天津·期中）已知数列的前项和为，满足，若存在，使得成立，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据题意求出数列的通项公式，代入不等式转化为求最值问题即可. 【详解】由于数列的前项和满足， 当时，，解得； 当时，有和，两式相减得， 由于，代入后化简得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 根据题意，存在，使得成立，即存在，使得成立，即， 令，则有， 由于， 因为当时，，当时，，当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 因此数列的最大值为，所以， 则实数的取值范围是. 【变式1】（2026·山东济宁·三模）已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 【变式2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用求得数列的通项公式，进而求得. 【详解】当时，， 当时，由得， 两式相减得， 所以数列从第项起，是公比为的等比数列， 所以，且， 所以， 所以. 【变式3】（25-26高三上·云南曲靖·期末）已知数列的前项和为，且，，则数列的通项公式_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用与的关系求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，则，而， 因此当时，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，， 所以数列的通项公式. 故答案为： 题型02法（将题意中的用替换） 【典例1】（2026·河北邢台·三模）已知数列{an}的前n项和为 则 _________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用的关系变形给定等式，再利用构造法求出通项即可. 【详解】数列{an}的前n项和为，， 由，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，所以. 【典例2】（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且对任意正整数，都有，则________． 【答案】/ 【分析】根据已知得是等差数列，求得的通项公式，再利用即可求得的通项公式，进而求得的值． 【详解】由题设，且，则， 所以，两边同时除以，得，且， 所以是1为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 根据且，可得， 所以. 【变式1】（25-26高二下·四川巴中·期中）已知数列的前项和为，则__________． 【答案】 【分析】先根据已知条件推导出数列的通项公式，再求出，最后根据求出. 【详解】已知，且， 所以，两边同除以， 则，整理得：， 由得，故是首项为，公差为的等差数列， 因此：， 当时，， 所以. 【变式2】（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）已知数列的前项和满足，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】由与的关系，得到数列是等比数列，求出的表达式，结合表达式求出最小值. 【详解】因为，当时，，得. 当时，， 即，整理可得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 当为奇数时，， ，，且随着的增大而减小，而，此时； 当为偶数时，， ，，且随着的增大而增大，而，此时. 则的最小值为. 【变式3】（2026高二下·全国·专题练习）设是数列的前项和，且，，则________，________ 【答案】 【分析】由，可得，即，根据等差数列的定义及通项公式求出，从而求得. 【详解】是数列的前项和，且，， 令，则，，解得． 又，整理得（常数）， 即（常数）， 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，故． 题型03 法（已知等式中左侧含有：） 【典例1】（25-26高二下·山东潍坊·开学考试）已知数列满足＋…＋＝，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用的关系计算通项公式即可. 【详解】因为数列满足＋…＋＝①， 所以＋…＋＝②，且， ①减②可得＝，即， 显然时满足， 综上. 【典例2】（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知数列满足，则数列前项和为_______． 【答案】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项公式，再通过裂项相消法求解新数列的前项和. 【详解】已知①. 当时，代入①式得. 当时，有②. ①-②得： ∵ ，∴ 两边同除以得（），且时也满足该式，故对任意，. ∴ . 设数列的前项和为，则 【点睛】方法归纳：对于形如的递推式，常通过作差法消去前项求通项；裂项相消法适用于通项可拆为两项差的数列求和，相消后剩余首尾对称的项. 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·期中）设数列满足，则的前2026项和为_________ 【答案】 【分析】先求出的通项公式，再求前项和为，最后代入计算即可. 【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以 所以的前项和为. 所以 【变式2】（25-26高二下·河南开封·开学考试）已知数列满足，，记数列的前项和为，则_____________. 【答案】 【分析】由项与和的关系求得时，，从而求得，求得数列的通项，根据分组求和法，结合等差、等比数列的前项和公式求得. 【详解】由，得 当时，. 两式作差得，所以. 又，满足上式，所以. 所以. 所以 . 【变式3】（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证； 【详解】由， 当时，， 当时，， 两式相减，得，即， 所以， 所以， 所以， 由于时，不满足上式， 所以. 故答案为：. 题型04 累加法 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列满足，，则_________，的最小值为_________． 【答案】 / 【分析】利用累加法及等差数列的前项和公式即可求出，结合对勾函数的性质即可求出的最小值. 【详解】由得： 当时，，，，，， 将上式累加可得， 即， 又，则， 当时，，符合上式， 故； 令 由对勾函数性质可知，，， ，， 因为，所以的最小值为，即的最小值为. 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，设数列的前项和为，则_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列中，，当时，， 则当时，， 而满足上式，因此，， 则， 所以. 【变式1】（2026·吉林延边·三模）若数列满足，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，利用叠加法求得，得到的表达式，即可求解. 【详解】由数列满足，即， 可得， 各式相加，可得， 因为，所以，即， 所以，可得. 【变式2】（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列满足，则______； 【答案】 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意令，得 ， ， 累加可得 ， 则， ， 故. 【变式3】（25-26高三上·四川眉山·期末）在数列中，，则的最小值为__________. 【答案】5 【分析】由累加法求出，则，再由基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为，所以， ，，， ……，， 这个式子相加可得： ， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：. 题型05 累乘法 【典例1】（2026·全国·模拟预测）在数列中，已知，，则数列的前2026项和______． 【答案】 【分析】由递推式求相邻两项的比，连乘得到数列通项，再将通项裂项为相邻两项之差，用裂项相消求前项和，最后代入. 【详解】由，得. 于是. 所以. 因此. 【典例2】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】根据累乘法得，再结合裂项求和法求解即可. 【详解】在数列中，，因为当时，， 即，所以，，，…，， 上述等式两边分别相乘， 得， 所以，又也满足， 所以 所以， 所以 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列满足，，则数列的通项公式是_________ 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 【变式2】（23-24高二上·广东广州·期末）已知数列 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 题型06 构造法 【典例1】（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列满足，且，则________． 【答案】 【分析】由等式构造等比数列，然后通过等比数列的通项公式求得数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. . 【典例2】已知数列满足，且，则的通项公式为______. 【答案】 【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可. 【详解】设，即，所以，解得， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以． 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·重庆·阶段检测）在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为______. 【答案】 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·江苏镇江·期中）在数列中，，则______． 【答案】 【分析】利用构造法构造数列，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以数列是一个等比数列， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到数列是等比数列，求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得，则， 所以，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，即，则． 故答案为：. 题型07 倒数法 【典例1】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则____________． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【典例2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得. 【详解】数列中，，，显然， 则有，即，而， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·重庆·期中）已知数列满足，则_________． 【答案】 【分析】由已知得，根据等比数列的定义写出数列的通项公式，进而得到，即可求项. 【详解】由题设，又，数列不可能存在为0的项， 所以，故，且 所以是首项为1，公比为2的等比数列，即，故， 所以. 故答案为： 【变式2】（25-26高二下·云南临沧·期中）已知数列中，，若，则正整数的值为__________. 【答案】8 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可得，解方程即可得解 【详解】因为，可得， 因为，则，即，可得， 对任意的，所以，等式两边取倒数可得，则， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为1， 所以，故， 由可得. 故答案为：8. 【变式3】（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列满足，则数列的前项和为______． 【答案】 【分析】由递推公式可得，即可得到是以为首项，为公差的等差数列，从而求出的通项公式，则，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：因为， 所以，即，即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，则， 令数列的前项和为， 则 故答案为： 第三部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. 2．（25-26高二下·广西桂林·期末）记为数列的前n项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】应用，再结合等比数列定义及通项公式计算求解. 【详解】当时，，解得； 当时，，化简得， 即数列是首项为2、公比为3的等比数列，故. 3．（26-27高三上·云南·开学考试）已知为等比数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值. 【详解】因为，所以当时，． 两式相减，得，所以，即等比数列的公比为． 当时，，解得，所以， 所以． 4．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．3 B．18 C．52 D．54 【答案】D 【详解】解：已知为等比数列，，① 则，② 当时，，即，③ ， 可得，代入③可得， 则，所以，D正确. 5．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 所以. 6．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 则，化简得， 则，即， 因为，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. 二、多选题 7．（2027·湖南衡阳·一模）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．取最小值时 【答案】ABD 【分析】令计算得到A选项；对变形得到，由等差数列的定义和通项公式得到，进而得到和判断BD两个选项；由计算得到C选项. 【详解】对于A，由，，可得，即，A正确； 对于B，条件变形有，所以是以3为首项，1为公差的等差数列， 则，所以，B正确； 对于D，，，由二次函数的对称性可知时取最小值， D正确； 对于C，由，得，作差得， 而，符合上式，所以，即不是等差数列，C错误． 8．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前99项和为99 D．若数列满足，则的前50项和为2132 【答案】ABD 【分析】先构造数列，知其前项和求通项，进而再求出可判断选项A；选项B，利用等差数列前项和公式求解即可；选项C，两项并一项，并项为常数列求和；选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由， 设，则， 所以当时，， 两式相减得，， 当时，也适合上式. 则，解得，， 所以，故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则， 故选项AB正确； 选项C，数列的前项和 ，故C项错误； 选项D，， 则前项和为， 故D项正确. 三、填空题 9．（26-27高二·全国·一轮复习）已知数列满足，，则________. 【答案】 【分析】由两边同时除以，采用累加求和的方法求通项. 【详解】若，则，即，这与矛盾， 所以， 由两边同时除以， 得， 则，，…，，， 上面的式子相加可得：， ， 当时，，满足条件，      所以. 10．（25-26高二下·河南驻马店·期末）数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以是以3为常数的常数数列， 所以，所以. 11．（25-26高二下·福建福州·期中）已知数列中，满足，，则数列的通项公式___________ 【答案】 【分析】利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】在数列中，，， 当时，，，，， 上述所有等式相加得， 所以， 也满足，故对任意的，. 12．（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由题设条件可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 13．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在数列中，已知，且，则__________． 【答案】 【分析】根据已知有且，应用累加法求数列通项，注意验证即可得. 【详解】由题设，当，， 所以，，，， 将上式累加可得， 所以，显然也满足， 所以. 故答案为： 14．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列满足，且数列的前项和为，则______. 【答案】 【分析】应用得出，再应用裂项相消法计算求解. 【详解】若，则； 若，则. 所以，，即. 又也满足，所以. 由于， 所以. 故答案为：. B能力提升 1．（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）若数列的前项和为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据递推关系式可构造出，从而证得数列为等比数列；根据等比数列通项公式、求和公式，采用分组求和法可求得结果. 【详解】，， 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， . 2．（2026·浙江·二模）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A．1025 B．1023 C． D． 【答案】A 【分析】结合题意得到数列的通项公式，最后求解即可. 【详解】因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故，即， 令，得． 3．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）已知数列的前项和为，，则的通项公式为________． 【答案】 【分析】通过对递推公式变形，构造出等差数列来求解数列的通项公式. 【详解】对两边同时除以， 得，即， 则是首项为，公差为的等差数列， 故，得． 4．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 5．（2027高二·全国·专题练习）设 ，求 的通项公式. 【答案】 【详解】定义 则 ， 根据递推关系，得: ， 等式左边 ，等式右边 . 整理，得: ， 因此 代入 验证结果正确. 学科网（北京）股份有限公司 $