第02讲等差数列重点题型归纳讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过题型分类系统梳理等差数列知识体系，涵盖基本量计算、等差中项、性质应用等12类重点题型，按“基础概念-性质应用-综合探究”递进呈现，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+针对训练”的分层设计，如“定义法证明等差数列”通过递推关系转化培养推理能力，“前n项和最值问题”结合函数思想渗透模型观念。基础题夯实通法，综合题深化思维，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

第02讲等差数列重点题型归纳 【题型1】等差数列基本量的计算 1．设为等差数列的前n项和，已知，则的值为（   ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即，解得， 所以. 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【详解】，即， 解得：，． 2．已知为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．28 B．32 C．36 D．45 【详解】设等差数列的公差为，由，，得， 即，则，因此， 所以. 【题型2】等差中项 1．等比数列中，与的等差中项为，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由于与的等差中项为17，所以， 又由于，可得， 因为数列是等比数列，是的等比中项，有， 所以，解得， 又因为，且公比为实数且不为0，所以， 因此，故C正确. 【针对训练】 1．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设的公差为，由，得，即． 由，得，所以． 所以，所以． 2．等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【详解】由等差中项的性质可知， 所以，解得， 所以. 3．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 【详解】在等差数列中，因为，所以， 又，所以， 因为，即，解得， 所以， 所以. 【题型4】等差数列的性质 1．已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 【详解】由题可得，即，所以. 2．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于，无答案； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为10的情况下，， 解得，若，满足题干所有条件，综上的最小值为10. 【针对训练】 1．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 2．已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【详解】设该等差数列的公差为， 因为数列是递增的等差数列，所以， 因为成等比数列，， 所以，或（舍去）， 则， 故选：B. 【题型5】等差数列的最大最小项问题 1．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【详解】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 【针对训练】 1．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【详解】由，即，解得，因为,故. 故选：A. 2．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 【题型6】定义法求等差数列的通项公式 1．已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【详解】当时，， 所以（因为若，则，这与矛盾）. ∴（常数）． 又．∴数列是首项为1，公差为1的等差数列． ∴，∴． 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式： (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【详解】（1）方法1：设等差数列的公差为，， 因为，所以， 又，所以，解得， 因为，所以的通项公式为； 方法2：设等差数列的公差为， 故，，所以； （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以， 因为，所以， 则 ， 所以数列的前项和为. 【题型7】定义法证明等差数列 1．已知数列满足，且． (1)证明为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得． （2）由（1）得， 所以． 【针对训练】 1．已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． （2）因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 【题型8】累加法求数列的通项公式 1．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． （2）因为， 所以． 【针对训练】 1．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【详解】（1）因为，所以，                        当时， ，                           当时，也满足上式，                             故数列的通项公式为．              （2）由（1）知，，              ． 即 【题型9】利用an或n与Sn的关系求通项公式 1.记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 【针对训练】 1．数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 【题型10】等差数列的前n项和 1．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：.. 【针对训练】 1．已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. （2）由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 【题型11】等差数列奇偶项的和 1．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 【针对训练】 1．已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【详解】（1）因为，所以数列构成首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由，所以数列构成首项为，公差为的等差数列，得到， 设， 则， 又，所以为奇数时， 【题型12】等差数列前n项和的最值问题 1．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 2．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 【详解】（1）解：由，可得， 所以， 两式相减，可得，整理得， 所以数列是公差为2的等差数列． （2）解：由（1）知：数列的公差， 因为，可得，解得， 则， 因为，所以当或时，取得最小值，最小值为． 3．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； （2）， 则，又，故使成立的的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲等差数列重点题型归纳 【题型1】等差数列基本量的计算 1．设为等差数列的前n项和，已知，则的值为（   ） A．-3 B．0 C．3 D．6 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 2．已知为等差数列的前项和，若，，则（   ） A．28 B．32 C．36 D．45 【题型2】等差中项 1．等比数列中，与的等差中项为，若，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 2．等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 3．设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．30 B．32 C．35 D．40 【题型4】等差数列的性质 1．已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 2．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【针对训练】 1．已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知是递增的等差数列，，若成等比数列，则（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【题型5】等差数列的最大最小项问题 1．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【针对训练】 1．设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 2．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型6】定义法求等差数列的通项公式 1．已知数列满足，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式． 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式： (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． 【题型7】定义法证明等差数列 1．已知数列满足，且． (1)证明为等差数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【针对训练】 1．已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【题型8】累加法求数列的通项公式 1．在数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【针对训练】 1．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【题型9】利用an或n与Sn的关系求通项公式 1.记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【针对训练】 1．数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【题型10】等差数列的前n项和 1．已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【针对训练】 1．已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【题型11】等差数列奇偶项的和 1．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【针对训练】 1．已知数列满足，， (1)求； (2)当为奇数时，求数列的前项和 【题型12】等差数列前n项和的最值问题 1．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【针对训练】 1．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 2．记为数列的前项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值．以及此时的的取值． 3．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $