第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式专项训练（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】A 【分析】先根据等差数列的性质得出，再代入等差数列前项和公式即可求解. 【详解】因为是等差数列，所以，即， 所以. 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将个偶数项分别与其前一项奇数项对应，利用等差数列相邻项之差均为公差，把偶数项之和转化为已知的奇数项之和求解． 【详解】. 第三部分 题型精讲 题型01等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列公差为， ，解得， ． 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 则，即， 所以. （2）由（1）知，， 则. 【变式1】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【详解】由，可得，又， 所以，即， 所以， 所以. 【变式2】（2026·广西河池·三模）已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式化简已知等式得到的值，再结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式，代入得： ， 整理得， 根据等差数列前项和公式，可得：， 又， 因此. 【变式3】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知等差数列，，公差为1，则前n项和________． 【答案】 【详解】由已知数列是等差数列，所以， 因为，， 所以，即， 所以， 所以. 题型02利用前项和公式判断是否为等差数列 【典例1】（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【分析】利用的关系先确定通项公式，结合等差数列与等比数列的定义判定即可. 【详解】当时，， 当时，，作差得， 显然时，也满足上式，故， 显然，由等差数列与等比数列的定义知A正确，B、C、D错误. 故选：A 【典例2】（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列的前n项和为，且满足，则“数列为等差数列”的充要条件是__________． 【答案】 【分析】利用数列前项和与通项的关系求出的表达式，结合等差数列定义求得，再反向验证充分性即可. 【详解】 当时，； 当且时， . 若为等差数列，则需满足上式， 即， 解得. 当时，， ， 满足上式， 所以. 此时，故是公差为2的等差数列. 综上，充要条件为. 【变式1】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ） A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】ABC 【解析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则 所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题． 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 【答案】(1)是 (2)不是 【解析】略 题型03等差数列片段和性质 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，所以成等差数列， 又，所以， 所以． 【典例2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，则___________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的部分和性质可得，，，成等差数列，设，分别用表示即可得. 【详解】由等差数列前项和的性质可得：，，，成等差数列． 令，则，，，成等差数列． 由，设，得， 则，，， 所以，， 所以． 故答案为：. 【变式1】（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 【变式2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 【答案】C 【分析】根据等差数列片段和的性质有成等差数列，再由等差中项的性质列方程求值. 【详解】由题知成等差数列， 所以，即，解得. 故选：C 【变式3】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 【答案】 【分析】利用等差数列前项和的性质求解. 【详解】若为等差数列，其前项和满足：仍成等差数列， 所以，则 解得. 题型04比值问题（含同角标和不同角标） 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 【典例2】（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 【变式1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 【变式2】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，再利用关系即可求解. 【详解】∵，又因为等差数列的前项和分别为， 则设 ∴. 【变式3】（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和公式、等差数列下标性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 题型05等差数列前项和的最值问题 【典例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【答案】(1) (2) ，最大值为135，对应的为9或10 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差求出通项公式. （2）由（1）结合等差数列前项和公式求出，进而求出最大值及对应的值. 【详解】（1）在等差数列中，，解得， 因此数列的公差， 所以的通项公式. （2）由（1）得， 由，得当或时，取得最大值135， 所以的最大值为135，对应的为9或10. 【典例2】（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. (2)令，求数列的前项的和最小值. 【答案】(1) 由题意得，，① 当，得，解得：， 当，得，② 得，， 化简得，，进而得到， ，又由为正项数列得，，故有， ，所以，， 故数列是等差数列，又，所以. (2) 【分析】（1）利用的关系式，把转化成关于的递推公式，因式分解，利用等差数列的定义即可证明； （2）求出的通项公式，利用等差数列的求和公式求出前项和的表达式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，，易知为等差数列， 设的前项和为，故有， 根据二次函数的性质，的对称轴为， 因为为正整数，明显地，取或时，有最小值， 故最小值为， 所以数列前项的和最小值为. 【变式1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若单调递减，求的最值. 【答案】(1)或. (2)最大值为， 无最小值 【分析】（1）设的公差为，则，然后解得或2，再根据求通项即可； （2）根据题意得，进而得到，结合二次函数性质可得最值． 【详解】（1）设的公差为， 由题意可得，    即，解得或2， 于是或； （2）由单调递减可知， 故，    当且仅当时， 取得最大值为，    由二次函数图象知无最小值． 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：数列为等差数列； (3)令，的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 由（1）得， 所以， 则， 所以数列是以为公差的等差数列； (3) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）先根据等差数列的前项和公式求出，即可求出数列的通项公式，再根据等差数列的定义即可得证； （3）先求出数列的通项公式，再求出数列符号的分布情况，进而可得出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由， 得，解得， 所以； （2）略 （3）由（1）可知， 所以， 由二次函数性质可知当或时，取得最大值，最大值为. 【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是等差数列的前n项和，，. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公差为，然后根据题意列方程组可求出和，从而可求出通项公式； （2）由（1）可求出，对其配方后可求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，所以，① 由，得，所以，② 由①②解得，，所以； （2）因为，，所以 ， 当时，最大，最大值为. 题型06符合条件的最值问题 【典例1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【答案】ACD 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 【典例2】（多选）（25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【答案】BCD 【分析】对于：因为等差数列是递增数列，即可判断公差的正负； 对于：利用等差数列的通项公式，可化简为，即可判断的正负； 对于：利用的公式，结合可得：，再结合数列的性质，即可得取得最小值时，的取值； 对于：令，解得的取值范围，结合，即可得出时，的最小值； 【详解】对于：因为等差数列是递增数列，所以公差，故选项错误； 对于：，因为，所以，故选项正确； 对于：，将代入得：， 因为，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值， 又因为，所以当或者时，取得最小值，故选项正确； 对于：因为，令得或， 又因为，所以时，的最小值为10，故正确. 故选： 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【分析】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【详解】设等差数列的公差为，因为， ， 当时，有， 得， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC 【变式2】（多选）（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知是等差数列的前n项和，且,,则下列说法正确的是（   ） A． B． C．和均为最大值 D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】由可得，， 得， 由得，所以等差数列的公差，故选项B正确；选项D正确； 所以为正，，从第8项起均为负，故和均为最大值，选项C正确； 所以，即，故选项A不正确； 【变式3】（多选）（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 【答案】BC 【分析】利用等差数列的性质可知，进而得出，，依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对于A，等差数列中，因为，，，， 所以，公差，数列是递减数列，故A错误； 对于B，由于，所以，故B正确； 对于C，由于，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确； 对于D，，，因此，当时，的最大值为，故D错误. 题型07求数列的前项和问题 【典例1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 【变式2】（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设的公差为，则， 解得，所以的通项公式为， ； （2）由（1）得，令，解得， 当时，数列的前项均为正数， 则； 当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数， 则， ， 综上，. 【变式3】（25-26高二下·江西·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于与的方程组，计算即可求解； （2）先求，讨论的符号去绝对值，再结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得，   所以 ； （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ；       综上所述：. 题型08等差数列奇数项偶数项和 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 故此数列的项数为. 【典例2】（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据已知有得，再结合求公差. 【详解】前项中，奇数项共项，偶数项共项， 由前项和为，奇数项和为， 因此偶数项和为， 设等差数列的公差为， 每一个偶数项比对应前一个奇数项多1个公差，共组， 因此， 由，得， 两式相减， 因此数列公差为. 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 【变式2】（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 【变式3】（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 【答案】5 【详解】由题意，可知 前12项中偶数项共6项，奇数项共6项， 故，． 题型09数列求和（倒序相加法） 【典例1】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 【典例2】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 【变式1】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 【变式2】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的图像关于点成中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围. 【详解】因为 ，所以的图像关于点成中心对称． 因为， 所以， 两式相加得，所以． 由，得， 所以． 令， 则当时，在上单调递减； 当时，在单调递增． 又，所以，所以， 即的取值范围是． 【变式3】已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 【答案】，由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. 【分析】根据对数运算证明为定值，再根据证明结果，利用倒序相加法求和，即可求解通项公式. 【详解】略 题型10 数列求和（裂项相消法） 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足. (1)写出数列的前三项，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)前三项为，，，通项公式为 (2)数列的前项和为。 【详解】（1）： ； ：； ：. 由已知条件可知当时：. 两式相减得：，. 当时，，也满足此公式，所以通项公式为. （2）. 设前n项和为，. 【典例2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设公差为，由，得，，解得， ∴； （2）由得， ∴； （3）， . 【变式1】（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1），， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； （2）， 前n项和为． 【变式2】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． （2）由（1）得，， 所以，     则，解得，又因为，所以的最大值为． 【变式3】（25-26高二下·河南开封·期末）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，，则，即， 因此数列是公差为的等差数列， 又，则， 所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以数列的前项和． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用裂项相消法，得到，从而得，即可求解. 【详解】因为，则的前项和为， 由，解得. 2．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求得正确答案. 【详解】由题可得，即，所以. 3．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 4．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 5．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得数列是等差数列，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由，知数列是等差数列，公差， 又，所以，故A正确. 6．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 7．（多选）（25-26高三上·广西河池·期末）记为等差数列的前项和，为的公差，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列通项公式及前项和公式可求解. 【详解】由题意得，， 可得,A正确，B错误. 又成立，C正确， 又即,D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（25-26高三上·云南昭通·期末）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A．公差 B． C． D．当时，最小 【答案】BCD 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 9．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 【答案】 7 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 又，即，所以，即， 可得，即，解得，故， 所以. 10．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． 【答案】4 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得和，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，首项为. 则，解得，所以. 根据等差数列前项和公式有， 所以为开口向下的二次函数，对称轴：. 所以当时，取最大值：. B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质、通项公式和前项和公式计算化简，结合选项，依次判断即可. 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. 2．（26-27高二上·河北保定·期中）定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】先求出（），再利用裂项相消法求出，从而可得，故可求参数的最小值. 【详解】由题设有，故， 当时，， 故当时，有，所以， 而，故，故（） 所以， 故， 故对，总有恒成立，且当时，， 故，故，故. 故实数的最小值为. 3．（多选）（2027·湖南衡阳·一模）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．取最小值时 【答案】ABD 【分析】令计算得到A选项；对变形得到，由等差数列的定义和通项公式得到，进而得到和判断BD两个选项；由计算得到C选项. 【详解】对于A，由，，可得，即，A正确； 对于B，条件变形有，所以是以3为首项，1为公差的等差数列， 则，所以，B正确； 对于D，，，由二次函数的对称性可知时取最小值， D正确； 对于C，由，得，作差得， 而，符合上式，所以，即不是等差数列，C错误． 4．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【分析】根据等差数列下标和性质求出数列的通项公式，再结合等差数列求和公式以及分组求和即可. 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 5．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】33 【分析】分析可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则也为等差数列， 可得，即，解得. C综合素养 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，作差可得，从而得到数列是等比数列，再利用等比数列的通项公式即可. （2）将代入可得其通项公式，从而转化出，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，. 所以，即. 又，满足. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. （2） 所以. 所以. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证: 【答案】(1) (2)由(1)得， 则 因， 所以，即成立. 【分析】（1）首先设等差数列公差为，利用条件解方程组即可； （2）通过第一问的，代入，利用裂项相消可求出，利用数列性质即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则， 又成等比数列，所以，则 化简得，即， 解得， 所以. （2）略 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)数列中，由，得， 而，所以， 因此为等比数列，其首项为1，公比为2. (2) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）因为，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）略 （2）根据（1）可得，即， 则， 所以. 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数λ的取值范围为． 5．（25-26高二上·天津河西·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)当等于多少时，最大？最大值是多少？ (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当时，最大，最大值是 (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，据题意求出，由可得的通项公式； （2）求出的前项和公式，根据二次函数的最大值求法求得的最大值； （3）分析的项的特征，分段写出数列的通项公式，结合等差数列的前项求法，即可分段写出其前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得. 所以的通项公式为； （2）由（1）知，. 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以当时，最大，最大值是. （3）令，得，所以 . 因为，所以. 所以当时，； 当时，. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 4.2.2等差数列的前n项和公式 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等差数列的前项和公式 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 【即学即练1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 知识点02：等差数列前项和公式的函数特征 等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)． 知识点03：等差数列前项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练2】（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01等差数列前项和的基本量计算 【典例1】（25-26高二下·辽宁大连·期末）设等差数列的前n项和是，已知，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【变式1】（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．6 B． C． D．8 【变式2】（2026·广西河池·三模）已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 【变式3】（25-26高一下·上海青浦·期末）已知等差数列，，公差为1，则前n项和________． 题型02利用前项和公式判断是否为等差数列 【典例1】（24-25高二下·北京·阶段检测）已知数列的前n项和，则是（   ） A．公差为4的等差数列 B．公差为2的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【典例2】（25-26高二下·江西南昌·期末）若数列的前n项和为，且满足，则“数列为等差数列”的充要条件是__________． 【变式1】（多选）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（    ） A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知等差数列前项和为，则______. 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为． (1)若，则是等差数列吗？ (2)若，则是等差数列吗？ 题型03等差数列片段和性质 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24 【典例2】（25-26高二上·河北·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，则___________． 【变式1】（25-26高二上·河南郑州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．154 B．164 C．186 D．196 【变式3】（25-26高二下·云南玉溪·期末）记为等差数列的前项和，若，，则______________． 题型04比值问题（含同角标和不同角标） 【典例1】（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【变式1】（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河南周口·阶段检测）设等差数列的前项和分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）设等差数列的前项和分别是，若，则___________． 题型05等差数列前项和的最值问题 【典例1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，， (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值以及对应的的值． 【典例2】（25-26高二下·广东珠海·期中）已知正项数列的前项和为，且（）. (1)求证：数列是等差数列. (2)令，求数列的前项的和最小值. 【变式1】（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，若单调递减，求的最值. 【变式2】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：数列为等差数列； (3)令，的前项和为，求的最大值． 【变式3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知是等差数列的前n项和，，. (1)求； (2)求的最大值. 题型06符合条件的最值问题 【典例1】（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（   ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为31 【典例2】（多选）（25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（    ） A． B． C．取得最小值时，或5 D．时，的最小值为10 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期末）设等差数列的前项和，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【变式2】（多选）（25-26高二下·陕西渭南·期中）已知是等差数列的前n项和，且,,则下列说法正确的是（   ） A． B． C．和均为最大值 D． 【变式3】（多选）（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知等差数列的前项和为，且，，，则（    ） A．数列是递增数列 B． C．当时，最大 D．当时，的最大值为15 题型07求数列的前项和问题 【典例1】（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【典例2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【变式1】（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【变式2】（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）记为等差数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式与前n项和公式； (2)求数列的前n项和. 【变式3】（25-26高二下·江西·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型08等差数列奇数项偶数项和 【典例1】（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．39 B．9 C．19 D．29 【典例2】（25-26高二下·江西上饶·期末）等差数列中，前项和为104，其中奇数项之和为40，且，则数列公差为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【变式3】（2027高三·全国·专题练习）一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与前12项中奇数项的和之比为，则公差________． 题型09数列求和（倒序相加法） 【典例1】（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【典例2】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【变式1】（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【变式2】（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，数列满足.求证：为定值，并求数列的通项公式； 题型10 数列求和（裂项相消法） 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知数列满足. (1)写出数列的前三项，并求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【典例2】（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知等差数列前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求； (3)设数列的前项和为，求． 【变式1】（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【变式2】（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【变式3】（25-26高二下·河南开封·期末）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2026高三·全国·专题练习）数列中，，若的前项和为，则项数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州毕节·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，若，则=（     ） A．8 B．10 C．13 D．26 3．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 5．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（多选）（25-26高三上·广西河池·期末）记为等差数列的前项和，为的公差，，，则（   ） A． B． C．D． 8．（多选）（25-26高三上·云南昭通·期末）数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A．公差 B． C． D．当时，最小 9．（26-27高三上·黑龙江大庆·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且，，则__________. 10．（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）已知等差数列中，，，则的前项和的最大值为________． B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 2．（26-27高二上·河北保定·期中）定义为数列的“均匀平均值”．若数列的“均匀平均值”为1，设数列的前项和为，且对任意的恒成立，则实数的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 3．（多选）（2027·湖南衡阳·一模）记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．取最小值时 4．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 5．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则__________． C综合素养 1．（25-26高二下·广东茂名·期末）数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证: 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 5．（25-26高二上·天津河西·阶段检测）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)当等于多少时，最大？最大值是多少？ (3)求数列的前项和． 学科网（北京）股份有限公司 $