4.2.2 等差数列的前n项和公式专项训练（能力提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式 1.记为等差数列的前n项和.若，，则( ) A. B. C. D. 2.设等差数列的前n项和为，若，，，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为( ) A.2 B.12 C.11 D.10 4.已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则满足的正整数n有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.已知等差数列的前n项和为，，则( ) A.7 B.8 C.9 D.10 6.记等差数列的前n项和为，且，，记为的前n项和，则( ) A. B. C. D. 7.已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为( ) A.1012 B.1013 C.2025 D. 8.小明购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为，直到全部还完为止.则购买这辆车小明最后实际共花( ) A.28.5万元 B.30.6万元 C.31.8万元 D.32.2万元 9.（多选）已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则( ) A. B.为递增数列 C.使的n的最小值为18 D.当且仅当时，最小 10.（多选）在数列中，，，数列的前n项和为，则下列说法正确的是( ) A.若，则 B.是等差数列 C. D.若，则 11.（多选）设数列的前n项和为，，，则下列说法正确的是( ) A.是等差数列 B. C.数列的前10项和是50 D.，，成等差数列，公差为 12.已知等差数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为__________. 13.已知为等差数列的前n项和，若，，则____________. 14.已知等差数列的前n项和为，若数列，，，的前项和为，则______. 15.记数列的前n项和为，已知，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前n项和. 答案以及解析 1.答案：B 解析：解法一：等差数列的前n项和（其中d是公差）.由已知可得，解得所以.故选B. 解法二：根据得，根据得，所以的公差，所以，所以. 2.答案：C 解析：解法一：由题意得，，则等差数列的公差，则，，所以. 解法二：由等差数列的性质知为等差数列，则，得，解得.故选C. 3.答案：C 解析：因为等差数列中，，，所以，即①，所以.由可得②，①②联立整理得，解得，因为n为正整数，所以n的最大值为11. 4.答案：C 解析：由，得，又，所以，整理得，所以，故选C. 5.答案：C 解析：在等差数列中，，，所以，故，，，，构成公差为2的等差数列，所以，即.故选C. 6.答案：B 解析：设，则解得所以，所以，所以 . 7.答案：D 解析：设数列的公差为d，则解得所以.设，所以，，…，所以数列的前2025项和为. 8.答案：B 解析：首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清，设每次付款数组成数列，则（万元），（万元），（万元），…，（万元），因而数列是首项为3.4，公差为的等差数列，则（万元），因此购车款最后实际共付（万元）. 9.答案：BC 解析：A选项，设公差为d，则解得故，则，A错误； B选项，因为，所以为递增数列，B正确； C选项，，令，得或（舍去），故使的n的最小值为18，C正确； D选项，解法一：由C选项可知，，，则根据二次函数的性质，可知当或9时，最小，D错误. 解法二：因为，所以当时，，当时，，当时，，故当或9时，最小，D错误.故选BC. 10.答案：BD 解析：对于A：当时，，因为，令，得到；令，得到；令，得，故A错误；对于B：因为，所以，两式相减得，令，则，且为常数，所以是以为首项，3为公差的等差数列，故B正确；对于C：因为，得到，，，…，，观察可得，所以，故C错误；对于D：因为，，，…，，观察可得，，解得，故D正确. 11.答案：ABC 解析：由，，可得是以10为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故，B正确；，又，符合上式，所以，所以是以10为首项，为公差的等差数列，A正确；又，，，所以，，所以，，成等差数列，且公差为，D错；又当时，，所以数列的前10项和是.又，，所以数列的前10项和为，C正确. 12.答案： 解析：由已知得解得故， ，. 13.答案：27 解析：解法一：因为为等差数列的前n项和，所以，，成等差数列，即，又，，所以，，解得. 解法二：设等差数列的公差为d，由题意，，得即解得则. 14.答案：135 解析：设等差数列的公差为d.由题意知数列，，，成等差数列，且公差. 记数列，，，为，其前n项和为，则，又因为数列，，，的前项和为，所以解得所以，，解得，所以. 15.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由，当时，， 两式相减得，即①， 则②， 由整理得，， 所以. 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足，所以， 故数列为等差数列，且首项为3，公差为6. （2）由（1）可知数列是首项为3，公差为6的等差数列， 所以， 则， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $