第01讲 4.1数列的概念专项训练（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第01讲 4.1数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：数列的概念 1、数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 2、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 知识点02:数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【即学即练1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①；②；③；④． 【答案】①是集合，不是数列；②③④是数列；②④是有穷数列，③是无穷数列 【分析】根据数列的概念与数列的项数特征逐一判断即可. 【详解】对于①，将元素用花括号括起来，表示的是集合； 对于②，③，④均具备数列的特征，所以都是数列； 从项数角度，②，④的项数有限，为有穷数列，而③的项数无限，故是无穷数列. 知识点03：数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 知识点04：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点05：数列的性质 1、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【即学即练2】（25-26高二下·全国·课堂例题）在数列中，，则是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 【答案】B 【分析】判断的正负后可得. 【详解】，故，所以是递减数列． 故选：B. 2、数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 知识点06：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【即学即练3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据给定的前n项和公式，依次赋值计算即得. （2）利用结合已知求出通项． 【详解】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． 第三部分 题型精讲 题型01数列的概念及分类 【典例1】（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 【典例2】（多选）（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【答案】ABC 【分析】利用数列的定义可判断A选项；利用观察法求出数列通项公式可判断B选项；利用常数列的定义可判断C选项；利用数列的单调性和无穷数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列，，，与，，，是两个数列，故A错误； 对于B选项，数列，，，，的通项公式是，故B错误； 对于C选项，，，，，是摆动数列，故C错误； 对于D选项，，，，，是递增数列，也是无穷数列，故D正确. 故选：ABC. 【变式1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【答案】D 【分析】根据无穷数列的概念可知A正确；由恒成立可知B正确；根据常数列的概念可知C正确；根据数列的单调性可知D错误. 【详解】对于A ，显然是无穷数列，故A正确； 对于B，因为，即，即是递增数列，故B正确； 对于C，因为，，，故不是常数列，故C正确； 对于D，由B知，是递增数列，当趋近于无穷大时，也趋近于无穷大，所以中无最大项，故D错误. 故选：D 【变式2】（25-26高二·全国·课后作业）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，，与数列，，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 【答案】D 【分析】根据数列的概念，逐项判断即可. 【详解】例如无穷个3构成的常数列3，3，3，…的各项都是3，故A错误； 数列，0，1与数列0，1，中项的顺序不同，即表示不同的数列，故B错误； 是一个集合，故C错误；根据数列的分类，数列2，5，2，5，…，2，5，…中的项有无穷多个，所以是无穷数列，D正确. 故选：D. 【变式3】（25-26高二下·全国·课后作业）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________． 【答案】 ① ②③ ① ② 【分析】根据数列的分类特征得到答案. 【详解】①为有穷数列，②③为无穷数列，①为递增数列，②为常数列，③为摆动数列， 故答案为：①，②③，①，② 题型02根据数列的前几项求通项公式 【典例1】（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为 【典例2】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过逐项验证即可判断. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 【变式1】（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）数列的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 【变式2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列1，，，，，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：对于A，设数列1，，，，，…的第项为， 则，，， ，， 故数列的一个通项公式为. 方法二：对于A，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 故数列1，，，，，…的通项公式可以为，A正确. 对于B，当时，，故B错误， 对于C ，当时，，故C错误， 对于D，当时，，故D错误， 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得该数列的通项公式可以为． 题型03数列中具体某项的求解与判断 【典例1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列1，，，-2，，，则该数列的第6项为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据数列前几项找出规律，求出第6项即可. 【详解】观察数列可得，奇数项为正，偶数项为负，且绝对值是按自然数顺序依次开平方， 所以第6项为偶数项，是负数，绝对值为，即. 故选：A. 【典例2】将正整数按下表的规律排列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则数字2010出现在（   ） A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 【答案】D 【分析】根据数字个数规律，前行的数字个数为，再计算2010的行与列即可. 【详解】第行有个数字，前行的数字个数为． ，，且，，因此2010在第45行． 又，且第45行有（个）数字，故2010在第（列）， 故选：D． 【变式1】（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 【答案】A 【分析】根据给定操作，依次写出每次“洗牌”后的新数列即可. 【详解】数列经过一次“洗牌”变为， 再经过一次“洗牌”变为，第三次“洗牌”后变为， 所以所得新数列是. 故选：A 【变式3】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 【答案】 【分析】寻找规律，得到分母为的数个数为个，推出第50个数的分母为11，为第50个数，得到答案. 【详解】分母为的数个数为个， 其中，故第50个数的分母为11， 其中为第47个数，为第50个数. 故答案为： 题型04利用递推关系求数列的项或通项 【典例1】（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据题干已知的递推公式，结合累加法，即可求出的值. 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 【典例2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 【变式1】（25-26高二下·广东珠海·期末）数列满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列的递推公式和首项，依次代入即可计算求解. 【详解】由题意得，. 【变式2】（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，， 所以，. 【变式3】（25-26高一下·上海·期末）数列中，，，则__________． 【答案】 【详解】当时，代入，得， 当时，代入，得. 题型05数列的单调性的判断及其应用 【典例1】（多选）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数列的通项公式及递推关系，结合相关函数的区间单调性依次判断各项的正误. 【详解】A：函数在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 而，易知在上单调递增，符合； B：函数在在上单调递减，在上单调递增， 由，且， 又，故在上单调递增，符合； C：由，故在上单调递增，符合； D：对于，当时在上单调递减，不符合. 故选：ABC 【典例2】（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出. 【详解】因为对于任意都有， 所以数列单调递减，可得， 当时，若，单调递减， 而时，单调递减，只需，解得， 当时，若，单调递增，不符合题意， 综上: 实数的取值范围为, 故选：C 【变式1】（24-25高二下·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列单调递增的性质得到恒成立，进而求出的取值范围. 【详解】因为是单调递增数列，所以对任意恒成立. 已知，则. 所以. 化简不等式 对进行化简： ， 则，移项可得. 因为对任意恒成立，即要小于的最小值. 因为，那么随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为，所以，解得. 故选：D. 【变式2】（多选）（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】时，比较与的大小， 对于A，， 所以数列是递增数列，A正确； 对于B，， 所以数列是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列是递减数列，C错误； 对于D，， 所以数列是递增数列，D正确. 故选：AD 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 【答案】 ， 因为，所以，所以， 所以，又， 所以，即，． 所以是递增数列． 【分析】计算，利用指数函数的单调性进行证明. 【详解】略 题型06求数列中的最大(小)项 【典例1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 【变式1】（多选）（2027高三·全国·专题练习）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 【答案】AD 【分析】根据数列的首项与项的符号易判断A，B两项；再由赋值与作差法判断函数的单调性即可判断C，D两项. 【详解】由题意得， 当时，，∴， 则的最大项为，故A正确，B错误； 因， ， ， 即， 由 ， 可知当时，，即； 当时，，即； 即的最小项为．即C错误，D正确. 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为第______项. 【答案】7 【分析】利用时，求得，从而得出，再设的第项最大， 解不等式组可得． 【详解】因为，当时，， 时，， 经检验也符合， 所以， 则， 假设的第项最大， 则，即，解得, 又，所以. 故答案为：7. 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 【答案】(1)， (2)最小项为首项，无最大项 【分析】（1）根据已知直接计算即得； （2）由（1）得单调性后可得最值. 【详解】（1）由题可知，， ，即． （2）由（1）可得数列是递增数列，则最小项为首项，即，无最大项. 题型07与周期有关的数列问题 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】求出数列前几项得出周期，再利用周期可得答案. 【详解】因为，， 所以，， ， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于______. 【答案】 【分析】先根据递推公式推导数列的周期，再利用周期性质计算的值。 【详解】由递推关系， 可得：， 进一步推导得：， 因此数列是周期为6的周期数列， 又，故， 又，令，得，所以， 又，所以. 【变式1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 【答案】4 【分析】根据递推关系，求出数列的前5项，得到数列的周期，根据周期性求出问题. 【详解】由题意得， 由于递推关系是相邻两项的关系， 所以数列是周期为3的周期数列， 故. 【变式2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值. 【详解】由题意，，，根据递推公式， 所以，， 即，，因此数列是周期为的周期数列. 又因为，故. 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 【答案】 【详解】由条件可知，， 即，则， 所以数列的一个周期为， 所以. 题型08根据数列的前项和求 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 【答案】 【详解】当时，； 当时，， 又时，， 所以. 【典例2】（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 【答案】 【分析】由题设中的递推关系可得，据此可求，求出可得. 【详解】因为，故，故， 整理得，当时，有， 故， 而，故，而， 故，故，故， 而，也满足上式，故. 【变式1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 【变式2】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 【答案】 【分析】由可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的前项和， 当时，， 当时，， 不满足，所以. 故答案为：. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】当时，推导出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】数列中，，前项和，且， 当时，，整理可得. 所以，，，，， 将以上个式子的等号两端分别相乘，得到. 又因为，所以. 也满足，故对任意的，. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 【答案】B 【详解】由，， 得． 2．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据递推法则推导计算即可. 【详解】根据法则可得，因为，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为不是正整数，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为为正整数但写出过，所以. 3．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 4．（25-26高二下·湖南·期末）若是数列的前项和，，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【详解】因为，，， 因此. 5．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，求得，，结合题意，将问题转化为求解的最大值，令，得，结合二次函数性质计算求解. 【详解】因为①， 所以当时，，解得， 当时，②， 由①-②可得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 故由，可得，其中③． 令，则， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，故③式最大值为120，则， 则实数的取值范围为. 6．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）若数列满足，，则（   ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由题意知，，，所以. 由，得，两个式子相除得， 所以数列是以2为周期的周期数列，所以． 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在数列中，，则的值为（   ） A． B．2 C．－1 D． 【答案】B 【详解】，， ，， 则是以为周期的数列，，故选项B正确. 8．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得的对数函数单调递增，设，则有，二次函数部分在上单调递增，设，则有，结合的取值范围，可得，因为为递增数列，所以有，即，综上，可求得的取值范围. 【详解】由题意得，则有时，， 当时，， 因为为递增数列， 设， 当时，数列单调递增， 则有，且 即，， 整理得，因为，所以， 设，易得时单调递增， 且有，即，，解得， 综上，的取值范围是， 故选：C. 9．（多选）（25-26高二上·云南德宏·期末）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】归纳出周期，利用周期性可得答案. 【详解】数列 ，由 和 ， 得： 由， ，得数列周期为 ， ，故 A 正确； 由数列周期为 ，得，故 B 错误； 由数列周期为 ，，故 C 正确； 故 D 错误. 故选：AC 10．（多选）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（   ） A． B．数列为单调递增数列 C．当时，取得最大值 D．当时，数列前项积取得最大值 【答案】ACD 【分析】由得，进而求即可判断A，先求出即可判断B，分，和讨论，即可判断C，当时，计算，由即可判断D. 【详解】由，所以， 所以，所以， ，故A正确； 因为，所以， 所以，所以数列不是单调递增数列，故B错误； 当时，，所以，当时，， 当时，，所以，所以当时，取得最大值，故C正确； 又，，， 因为，所以当时，，所以当时， 数列前项积取得最大值，最大值为，故D正确； 故选：ACD. 11．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 【答案】26 【分析】递推求得周期 2，奇数项恒为 2、偶数项恒为 4；前 9 项含 5 个奇数项、4 个偶数项，分别相加得到总和 26. 【详解】， 当 ： 当 ： ： 数列周期为：，奇数项为，偶数项为 所以. 12．（25-26高二下·浙江温州·期末）若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 【答案】24 【分析】利用递推关系进行求解． 【详解】因为， 当时，，解得， 当时，，解得或， 当时，，解得或或， 则的所有可能取值的和为：． 13．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】根据题意，当时，，作差化简得，利用累乘法，即可求得答案。 【详解】因为，所以当时，， 两式作差可得， 整理得， 因为，， 令，则，所以， 所以，所以， 则， 当时，也符合上式，综上，. 14．（23-24高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】利用计算通项公式. 【详解】时，， 时，， 不适合上式， 数列的通项公式为. B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数列的递推公式判断出数列为周期数列，再根据数列的周期性求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：D. 2．（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】先通过递推公式算出数列的周期为4，且一个周期内的项乘积为1，再用2026除以周期得到余数，最后用周期乘积和余下两项即可计算结果. 【详解】因为，所以，， ，， 所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：， 而， 所以. 3．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（    ） A． B．是奇数 C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A列出前9项即可判断；找出奇偶三循环规律，计算2026除以3的余数判断奇偶得出B；C项通过裂项计算偶数项和，对比即得；D项通过结合扇形面积公式与平方和结论化简验证等式. 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 4．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 【答案】/ 【分析】求出数列的通项公式，找出数列的项最大值、最小值，根据题意可得不小于最大最小值之差可得解. 【详解】当时，， 当时，， 经检验，当时也适合. 所以 即奇数项递减趋向，偶数项递增趋向， 所以数列的最大值为，最小值为，数列中的项都在区间内， 由题意：存在，全部落在区间，则区间长度至少等于最大值与最小值的差， 所以. 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最小项为，最大项为． (2) 【分析】（1）由题可得，结合函数的单调性即可求出数列的最小项和最大项； （2）由题可得，要使，结合函数的单调性，则，解不等式即可求解. 【详解】（1）若，则． 于是，结合函数的单调性，可知，且． 故数列的最小项为，最大项为． （2）对进行变形，可得．因为不等式对任意的恒成立， 所以结合函数的单调性，可知应满足，解得．故实数a的取值范围是． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)最大项为，最小项为 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性，分析数列的单调性，可求数列的最大、最小项. （2）分析函数的单调性，结合，可求的取值范围. 【详解】（1）∵，(，且). 又，∴ ()． 因为函数在和上单调递减， 可知，（）. ∴数列中的最大项为，最小项为. （2）， 已知对任意的，都有成立， 因为函数在和上单调递减， 可知，即. 故的取值范围是． 7．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验时的情况是否满足时的通项公式． （2）已知条件得到关于的不等式，通过构造数列，求出数列的最小值，进而确定的取值范围． 【详解】（1），则当时，， 当时，，不符合， 所以． （2）因为，，所以，． 令，则， 当时，不妨设的第n项的值最小， 只需令， 解得， 又， 所以的最小值为， 所以，即的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 4.1数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：数列的概念 1、数列的概念 一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是,,…,,…,简记为. 2、数列与函数的关系 由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系： 所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列. 另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列. 知识点02:数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中 递减数列 常数列 【即学即练1】（25-26高二下·全国·课堂例题）下列各题哪些是数列？若是数列，则哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ ①；②；③；④． 知识点03：数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 知识点04：数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 知识点05：数列的性质 1、数列的单调性 若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）； ①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项； ②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项； 【即学即练2】（25-26高二下·全国·课堂例题）在数列中，，则是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 2、数列的周期性 一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期. 知识点06：数列的前项和 1、数列前项和的概念 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即 2、数列前项和与通项的关系 当时， 当时， 用 化简得： 所以： 【即学即练3】（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． (1)写出数列的前3项：，，； (2)求出的通项公式． 第三部分 题型精讲 题型01数列的概念及分类 【典例1】（25-26高二下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ） A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【典例2】（多选）（24-25高二下·甘肃定西·期末）下列叙述不正确的有（　　） A．数列，，，与，，，是同一数列 B．数列，，，，的通项公式是 C．，，，，是常数列 D．，，，，是递增数列，也是无穷数列 【变式1】（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，设，则下列说法中错误的是（    ） A．是无穷数列 B．是递增数列 C．不是常数列 D．中有最大项 【变式2】（25-26高二·全国·课后作业）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，，与数列，，是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列 【变式3】（25-26高二下·全国·课后作业）给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是_______，递增数列是________，常数列是________． 题型02根据数列的前几项求通项公式 【典例1】（25-26高二下·河南南阳·期中）已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C．D． 【典例2】（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知数列，则该数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）数列的一个通项公式（   ） A． B． C．D． 【变式2】（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列1，，，，，…的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）数列，，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C．D． 题型03数列中具体某项的求解与判断 【典例1】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列1，，，-2，，，则该数列的第6项为（     ） A． B． C． D．6 【典例2】将正整数按下表的规律排列： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则数字2010出现在（   ） A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 【变式1】（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（      ） A．8，7，6，5，4，3，2，1 B．1，2，3，4，5，6，7，8 C．2，4，6，8，1，3，5，7 D．1，3，5，7，2，4，6，8 【变式3】（24-25高一上·上海青浦·开学考试）某种规律排列的一列数： 那么第50个数是___________. 题型04利用递推关系求数列的项或通项 【典例1】（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【典例2】（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【变式1】（25-26高二下·广东珠海·期末）数列满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列满足，，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．10 【变式3】（25-26高一下·上海·期末）数列中，，，则__________． 题型05数列的单调性的判断及其应用 【典例1】（多选）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）下列数列中，一定是单调递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·黑龙江大庆·期末）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高三·全国·一轮复习）数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 题型06求数列中的最大(小)项 【典例1】（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（多选）（2027高三·全国·专题练习）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 【变式2】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列的前n项和，数列满足，则数列的最大项为第______项. 【变式3】（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列的通项公式为． (1)计算，并判断其符号； (2)求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？ 题型07与周期有关的数列问题 【典例1】（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，，则等于______. 【变式1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，，则______． 【变式2】（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知数列满足，，则________． 【变式3】（25-26高一下·上海·期中）已知数列，若，且（为正整数）， 则数列的第35项为________________． 题型08根据数列的前项和求 【典例1】（23-24高二上·北京·期末）已知数列的前项和，则__________． 【典例2】（2026·重庆渝中·三模）已知数列 前 项和为 ，且满足 ，则当 时， _____. 【变式1】（25-26高一下·上海闵行·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【变式2】（25-26高二上·天津津南·阶段检测）已知数列的前项和，则数列的通项公式是_____. 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，前项和，求数列的通项公式. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 2．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 3．（25-26高二下·四川内江·期末）已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 4．（25-26高二下·湖南·期末）若是数列的前项和，，则的值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知数列的前项和，若，使得成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．D． 6．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）若数列满足，，则（   ） A．1 B．2 C．5 D．10 7．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在数列中，，则的值为（   ） A． B．2 C．－1 D． 8．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数数列满足，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（25-26高二上·云南德宏·期末）已知数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（   ） A． B．数列为单调递增数列 C．当时，取得最大值 D．当时，数列前项积取得最大值 11．（25-26高二下·广东广州·期末）已知数列的首项，满足（），则这个数列的前项的和______． 12．（25-26高二下·浙江温州·期末）若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________． 13．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 14．（23-24高二上·福建龙岩·阶段检测）已知数列，其前n项和为，，求数列的通项公式. B能力提升 1．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的前项和为，，，则=（ ） A． B． C． D． 2．（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 3．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（    ） A． B．是奇数 C． D． 4．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 5．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，其中． (1)若，求数列的最小项和最大项； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中， (且)． (1)若，求数列中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的，都有成立，求的取值范围． 7．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前n项和满足． (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $