数列的基础知识和概念题型训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的基础知识和概念 知识点一 数列的概念 1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2. 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 3. 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 4. 数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致. （2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别. （3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响. 知识点二 数列的分类 分类原则 数列名称 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项与项间的大小关系分类 递增数列 ＞ 其中 递减数列 ＜ 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点四 数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的和，. 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于首项； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项. 总结：（1）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 题型一：数列的周期性 例1（1）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知.故选A （2）（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【详解】由题意，对任意，有，因此，所以，所以数列是周期为4的周期数列，代入初始值计算得：，因为，所以； ，因此，因此．故选A （3）（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 【详解】因为，，所以，故是周期为3的周期数列，且，所以. （4）（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】已知数列的首项，递推公式为，依次计算前几项，；；, 因此数列是周期为3的周期数列，满足， 由于，故. 例2（1）（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，， ，，则数列是周期为4的数列，所以. （2）（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【详解】因为，所以，， ，，所以数列是周期为4的周期数列，且一个周期内的乘积：，而， 所以. （3）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【详解】因， 则数列呈周期性：，最小正周期为4，故的前2026项和为. （4）（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 【详解】的周期为4， 当时，，当时，， 当时，，当时，，由递推式可知， 当为偶数时，，故； 当为奇数时，， 归纳可得，，是偶数，故， 是奇数，，故． 例3（1）（25-26高二下·吉林长春·期中）定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（   ） A．0 B．39 C．3 D．12 【详解】因为，所以， 又是奇函数，所以，又因为在上单调递减，所以，即，又， 所以. （2）（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C．3 D．4 【详解】因为，，，， 所以数列的周期为4，故． （3）（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】依题意，，而，且， 由，得正整数的最小值为2. （4）（25-26高二下·湖北荆州·期中）数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，，，，，……，则该数列的周期为， 所以 . 例4（1）（25-26高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，其前项积为，则等于（   ） A．2025 B． C． D． 【详解】因为，，所以， ，，所以该数列的周期为， 所以故选：D （2）（25-26高二上·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为数列满足：，， 所以，，， ，，，， ，，，，， 以此类推可知当且时，，因为，故.故选：D. （3）（2026·广东云浮·一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 【详解】当是奇数时，，解得，舍去，当是偶数时，，解得；当是奇数时，，解得，的项依次是，即是周期为3的周期数列，；当是偶数时，，解得，的项依次是，即是首项为8，从第二项起是周期为3的周期数列，． 题型二：数列的单调性 例5（1）（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，递增，则； 当时，递增，若为递增数列，则，且，即，解得； 综上，.故选：B. （2）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为数列为递增数列， ，所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立，由二次函数性质知当时，有最小值，即，所以，故实数的取值范围是. （3）（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. （4）（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为时，，而要满足，故要单调递减，所以，解得，时，，要满足，则，从而， 还需满足，解得，所以实数的取值范围是. 例6（1）（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即，因为是关于n的单调递增函数，当时，取得最小值．所以，所以， 则． （2）（多选题）（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 【详解】对于A，， 由于时，，所以数列单调递增，A错误； 对于B，， 因为时，，即，所以数列单调递减，B正确； 对于C，由不等式得，可知数列单调递减，C正确； 对于D， 所以， ， 所以数列单调递减，D正确.故选：BCD （3）（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】已知， 时，，是斜率为的一次函数，单调递增， ，函数为开口向下的二次函数， 对正整数，递增，即相邻的项满足：， 代入得：，解得：，故要使时数列递增，需， 同时分段点处需满足，即，综上取值范围是.故选：C （4）（25-26高二上·山西运城·期末）在数列中，，则 （    ） A．3872 B．3882 C．3892 D．3902 【详解】，， 令，即， ， 故当时，，数列递减；当时，，数列递增， ， 又， .故选：A. 例7（1）（多选题）（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（ ） A．数列是递减数列 B． C．存在，使得 D． 【详解】令，由 ，两边取倒数得：， ，故，且所有 .选项A：由，得递增，故递减，A正确；选项B：，由递增，，故，即，B正确；选项C：当时，，C正确；选项D： 当时，不等式左边，不等式右边，，不等式不成立，D错误.故选：ABC （2）（25-26高二上·河南开封·期末）已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，，整理得， 令，则，，所以数列单调递减，故是数列的最大项，所以，所以.的取值范围为.故选：D． （3）（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 【详解】对于A，由为常数列，则，整理得，解得或，即或，故A错误；对于B，由A知，当或时，为常数列，故B错误； 对于C，由，当时，，则，同理可得，满足对于任意正整数，成立， 而，即，则为递增数列，故C正确； 对于D，由，当时，，而，则，即，，则，所以不存在正整数，使得，故D错误. （4）（多选题）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正项数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B． C． D． 【详解】由可知：，故单调递减，A正确； 由A知，故当时， ，即，B错误；由A知，故，即， 进而，C正确；由条件可得，故，D正确． （5）（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． 【详解】数列中，，显然，否则，对于A，，即，因此数列是递增数列，A正确；对于B，，则，又，则当时， ，而成立，因此，B正确； 对于C，由，得，则当时，， ，则，C错误；对于D，由，得，即，因此，D正确.故选：ABD （6）（多选题）（25-26高二上·河北衡水·期末）已知数列中，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D．数列的前项和为 【详解】对于选项B：因为，即，则，即，且，则，可得，即，所以是递增数列，故B正确； 对于选项A：因为，则，所以，故A正确； 对于选项C：因为，故C错误；对于选项D：因为，则， 即，所以数列的前项和，故D正确；故选：ABD． 题型三：数列的最大（小）项 例8（1）（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为，令 ，整理不等式得，解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减，从而，因此最大项为第项，即 . （2）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【详解】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确；由，所以，故C错误；由，，所以，故D正确.故选：C. （3）（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【详解】对分离常数得：， 令，得，当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此，因此的最大值一定出现在中，排除C、D，在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值，验证：，是所有项中的最大值，故. （4）（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，，，由， 即，解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. （5）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 【详解】， 当时，，当时，， 当时，分母，数列递减，所以在处最大，最大项为. 例9（1）（25-26高二上·吉林·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 【详解】令，解得或，所以当或时，， 即当时，，故当时递增，且， 当时，，故当时递减， 当时，，故当时递增，又，故, 所以取得最小值时的值为9.故选：A. （2）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设函数，由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，若数列仅第7项最小，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C （3）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得，所以，又，所以，即数列的最大项是第项.故选：A. （4）（多选题）（25-26高二上·河北沧州·期末）若数列满足，其前项和为，则（   ） A．是递增数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最大值 D． 【详解】因为数列均为递增数列，所以数列为递增数列，A正确； 因为， 故当时，；当时，，当时，，又为递增数列，所以无最大值，但有最小值，在和时取得最小值且，所以BC错误，D正确．故选：AD． 例10（1）（多选题）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（   ） A． B．数列为单调递增数列 C．当时，取得最大值 D．当时，数列前项积取得最大值 【详解】由，所以， 所以，所以， ，故A正确； 因为，所以，所以，所以数列不是单调递增数列，故B错误； 当时，，所以，当时，， 当时，，所以，所以当时，取得最大值，故C正确； 又，，，因为，所以当时，，所以当时，数列前项积取得最大值，最大值为，故D正确；故选：ACD. （2）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式，前项和为，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．数列单调递减 D．数列的最小项是 【详解】因为，对于A选项，当时，，则，此时数列单调递减， 当时，，则，此时数列单调递减， 故，故数列最大项为，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列最小项为，故的最大值为，B对；对于C选项，由A选项可知，数列不单调，C错；对于D选项，令，可得， 所以当时，，故数列的最小项是，D对.故选：ABD. （3）（多选题）（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（    ） A．使的项有2项 B．满足的的值共有6个 C．既有最小值，又有最大值 D．有最小值，无最大值 【详解】对于A，因为，因为为奇数，所以只有当时，即或时，，故A正确；对于B中，当时，满足； 当时，满足；当时，，所以，满足时，，共有4个值，所以B不正确；对于C中，由数列的通项公式为， 可得，当时，数列的各项小于1，且是单调递减数列； 当时，数列的各项大于1，且是单调递减数列，所以，数列的最小项为，最大项为，所以C正确；对于D中，由上述中的讨论，可得在中，只有和为负数，且， 所以存在最小值或，从第8项开始，为正数，结合，可知随着的增大而增大，所以无最大值，所以D正确. （4）（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【详解】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确；对于B，由，得当时， ，将以上各式相加得， 所以，又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为，所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确.故选：ABD. （5）（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，，，， ，记为， 当时，， 当时，，即， ，，，， 当时，，故，当时，，故， 当时，，在时递减，在时递增，最小值出现在处，，故答案为：． （6）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 【详解】由题意得， 当时，，由双勾函数性质可知，随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去；当时，，，由双勾函数性质可知，随着的增大而增大，而，满足题意； 当时，，此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，，随着的增大而增大，而，满足题意； 当时， ，，由双勾函数性质可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，而，所以当，即，符合题意；当时，，此时数列的最小项为或，由题意可得，解得，所以，当时，即时，必有，不符合题意舍去；综上，实数的取值范围为，即最小值为.故答案为：. 题型四：求通项公式 例11（1）（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【详解】由题知，则，又，所以，，，，将各式相加可得：，即，所以. （2）2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意，，，令，得，又可得，所以，当时也符合上式，所以，则，所以. （3）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【详解】由可得， 则 . （4）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在数列中，，，则_______． 【详解】因为，则，，…， 累加可得，，所以.故答案为：. （5）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 例12（1）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】由，得， ∴，，，， ，. 累加上式可得， ，. （2）（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且，显然均满足上式，所以.故选：C （3）（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得，又＝1，所以（），因为＝1满足上式，所以，因为，所以. （4）（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________. 【详解】由，得，所以，， 则.故答案为：. 例13（1）已知数列满足，，求数列的通项公式. 【详解】由，得， 所以，将以上各式相乘，可得，因为，所以，又因为满足上式，所以数列的通项公式为． （2）（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【详解】观察可得，，，所以，又， 所以． （3）2026·江苏扬州·二模）已知为数列的前项和，若，则________. 【详解】当时，，即，解得；当时，，所以，即，整理得，所以，所以数列为常数列，所以，所以，所以． （4）（2026·湖北荆州·三模）已知数列的前n项和为，； （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）因为，所以，则，又，不符合上式，所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立，即恒成立，因为在上单调递增，所以，则的最大值为，则，综上，实数的取值范围为. （5）（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． （1）写出数列的前3项：，，； （2）求出的通项公式． 【详解】（1）由数列的前n项和为，得， ，． （2）当时，， 而不满足上式，所以的通项公式为． （6）（25-26高二上·重庆·期中）已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式. 【详解】（1）由，，故或时，取最小值为； （2）当时，，当时，， 显然不满足上式，故. （7）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式. （2）设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【详解】（1）当时，， 当时，所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以，所以 当时，单调递增;当时，单调递减.因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 题型五：数列的恒成立问题 例14（1）（25-26高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 当时，则，两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列，所以，即. 因为，即，可得，设，则， 令，解得，当时，数列递增；当时，；当时，数列递减，所以的最大值为.因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是.故选：C. （2）（25-26高二上·江西·阶段检测）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，， 当时，， 即，当时也满足，， 对，恒成立，， ，当且仅当时，等号成立，，即，实数m的取值范围是.故选：B. （3）（25-26高二上·山东·阶段检测）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】令，则， 由，，…，， 累加得，故， 因为为单调递增数列，所以恒成立，则，，， 因为，所以，解得.故选：A. （4）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则；故的取值范围为.故选：A 例15（1）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【详解】由，而，显然，则，所以数列单调递减，即（时取等号），则，A对，由，结合A分析，则（时取等号），B对，由，则，结合已知及A分析，有，故，由B知（当且仅当时右侧等号），而，综上，则（当且仅当时右侧等号）， 所以，即（当且仅当时左侧等号成立），所以，C对，由，则， 所以，则，D错.故选：ABC （2）（多选题）（25-26高三上·山东淄博·期中）已知数列满足则（   ） A． B． C． D． 【详解】对A，，令得，即，解得，故A正确；对B，，，由，可得，则，根据对勾函数性质知在上单调递增，且，当且仅当时等号成立，则在上单调递减，则为递减数列，从而，故B正确； 对C，由得， ，故C正确；对D，因为，且，， ，结合，则，故D不正确，故选：ABC． 题型六：数列的应用 例16（1）（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】根据数列前项和的性质，对任意，有， 因此：， 结合斐波那契数列的递推关系，可得，， 代入上式得： 已知，故原式的值为. （2）（2026·广东广州·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为____________ 【详解】设截成的 小段按长度从小到大排列为 ，每段不小于 . 任意三段不能拼成三角形的充要条件是：对于任意 ，均有 . 为使 最大，各段应取满足条件的最小长度，即从最短段开始依次取 ，， 并令后续每段等于前两段之和（斐波那契递推），得到序列 . 前 项之和为 ，剩余 可并入末段， 得 ，总和为 ，且任意三段均不满足三角形条件，故可以为， 当时，斐波那契数列前 项之和大于 ，超出总长度，故 不可行，综上所述，的最大值为. （3）（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 【详解】由损益规律可知，解得.故选：B （4）（25-26高二上·安徽合肥·期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有________种上楼方法. 【详解】由题意若只有一个台阶，则有种方法； 若只有两个台阶，则有种方法； 若只有三个台阶，则有种方法； 若只有四个台阶，则有种方法； 若只有五个台阶，则有种方法； 以此类推，要想到达第个台阶，前一步可能在第个台阶处向上迈一步到达，也可能在第个台阶处向上迈两步到达，所以满足，且该数列与题干中定义的斐波那契数列初始项不同，是以斐波那契数列的第二项为首项，符合斐波那契数列规律，所以列出前项： ，所以有个台阶，上楼有种方法.故答案为： 例17（1）（25-26高二下·江西鹰潭·期中）“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（   ） A． B． C． D． 【详解】选项A：由题意，， 所以，令，则，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：由题意，， 所以 又，所以，则，故C正确； 选项D：由题意，，所以，故D错误. （2）（多选题）（25-26高二下·四川成都·期中）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ）    A． B． C． D． 【详解】由题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，该蜜蜂爬到第2号蜂房的路线数为2， 该蜜蜂爬到第3号蜂房的路线数为3，该蜜蜂爬到第4号蜂房的路线数为5， 该蜜蜂爬到第5号蜂房的路线数为8，，该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为，即，所以，，，故A正确； 由，得， 所以，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以，故D正确. （3）（多选题）（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）登高山有若干层台阶，每次向上只能走1级台阶或跨2级台阶，例如走到第2层可以选择直接跨2级或者连续走2次1级共2种方法，设走到第层台阶的方法数是，于是，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【详解】由于走到第级台阶可以从第级向上走一步，或者从第级向上跨两步， 所以，由且可知，该数列的前11项：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，所以A正确，B错误；因为，所以， 则，故C正确；因为，所以，所以，而符合上式，所以D正确. （4）（多选题）（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． 【详解】对于A：因为，所以， ，故A错误； 对于B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…， 它们除以3所得的余数为：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 可以发现余数是以1，1，2，0，2，2，1，0为周期的，在一个周期内有2个能被3整除的数， 又，，所以该数列的前2026项中能被3整除的有项，故B正确； 对于C： 因为，即， 所以， 所以，故C正确；对于D：因为 ， 因为，所以，故D正确. （5）（多选题）（25-26高二下·湖北恩施·阶段检测）恩施烈士陵园的阶梯是陵园的重要组成部分，不仅具有实用功能，还融合了自然与人文景观.人们去瞻仰烈士陵园，首先必须走该阶梯，每步上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，不考虑实际阶梯数的限制，下列结论正确的是（ ） A． B．（） C． D． 【详解】对于A：一次上1个或2个台阶，则爬上第个台阶的方法数为1，所以； 爬上第个台阶的方法数有“一次上1个台阶，再上1个台阶”和“一次上2个台阶”2种，即； 爬上第个台阶的方法数是爬上第1个台阶的方法数和爬上第2个台阶数的和，即； 爬上第个台阶的方法数爬上第2个台阶的方法数和爬上第3个台阶数的和，即； 爬上第个台阶的方法数爬上第3个台阶的方法数和爬上第4个台阶数的和，即； 爬上第个台阶的方法数爬上第4个台阶的方法数和爬上第5个台阶数的和，即，故A正确； 依次类推，爬上第个台阶的方法数为爬上第n个台阶的方法数和爬上第台阶数的和，即，对于B：，故B正确；对于C：结合A分析知：，，故C错误； 对于D：，，又因为当时，，所以当时， ，所以，故D正确. 课后练习题 1.（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列.故选：B 2.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等，所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误；选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为，而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误.故选：B 3.（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【详解】对于数列，，，，…，由观察法可得其通项公式可以为：，故A正确； 对于B，在通项公式中，取，可得，显然与数列第二项不符，故B错误； 对于C，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故C错误； 对于D，在通项公式中，取，可得，显然与数列第三项不符，故D错误. 4.（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 【详解】由根与系数的关系得，， 则， 又，， 所以，，，即. 5.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【详解】因为，所以，， ，，,，，，. 6.（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列满足，则（    ） A． B． C．4 D． 【详解】因为，所以，即数列是周期为3的周期数列,因为，所以， 7.（25-26高二上·湖北武汉·期末）若数列的通项公式，则（   ） A．162 B．182 C．198 D．242 【详解】因为函数在上均为增函数，所以在上为增函数所以数列为单调递增数列，所以 ，又， 所以，故选：C 8.（25-26高二下·广东·期中）已知数列满足，.若，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】，，故， 当时，，，.故正整数的最小值是2. 9.（25-26高二下·安徽·期中）若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（    ） A．17 B． C． D． 【详解】由数列的前两项都是奇数，两奇数之和为偶数，偶数与奇数之和为奇数， 可得各项依次为奇奇偶，奇奇偶，奇奇偶，…，所以数列的前若干项依次为， 将看作一组，每组3个数的和为，所以数列的前50项和为. 10.（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【详解】由题意有，且，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列， 则，则数列是以为周期的周期数列，则. 11.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】设数列的最大项为， 则，即，化简得，解得， 所以，又，所以，即数列的最大项是第项.故选：B 12.（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为对且，都有成立，所以是上的增函数， 解得，所以. 数列满足，且是递增数列， 所以，即，解得，所以故. 13.（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】数列满足，，，则.令，则，故可得，且，故为递增数列，且，因，则数列为递减数列.对于A，因为递减数列，故，故A错误；对于B，因为，所以.因为递增数列，当时，，故，即，则，故，即B错误；对于C，成立，故C正确；对于D，由（仅取等号，均大于2），累加得， 当时，，即，故D错误. 14.（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 【详解】因为，所以， 当为奇数时，，为偶数时，， 所以，其中项中奇数项有1013个，即有个1相乘得，偶数项有个，即有1012个相乘得，故结果为. 15.（多选题）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【详解】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误对于B，由，即数列为递减数列，B正确，对于C，由观察法可知，C错误，对于D，由，解得，D正确，故选：BD 16.（多选题）（25-26高三上·山西太原·期中）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．单调递减 【详解】因为数列的前项和， 所以当时，，所以， 当时，不符合上式，所以，故C不正确； 所以，故A，B正确； 当时，， 当时，，所以数列先增后减，故D不正确.故选：AB. 17.（多选题）（25-26高二下·广东韶关·期末）已知为数列的前项和，，则（   ） A．为定值 B．数列是递增数列 C． D．数列是递增数列 【详解】对于A选项，当且时， ，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，故数列不单调，B错；对于C选项，令，可得， 因为，当时，，当时，，当时，. 故，C对；对于D选项，当时，，所以，当时，，即，故数列是递增数列，D对.故选：ACD. 18.（多选题）（2026·山西晋城·三模）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【详解】对于A，，，而， ，故A错误；对于B，，而，则，即， ，故B正确；对于C，，而， 当时，，故C正确；对于D，，， 当时，，且， ，故D正确． 19.（多选题）（25-26高二下·四川成都·阶段检测）若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则（    ） A． B．是奇数 C． D． 【详解】由，，可得，所以A正确； 可知连续三项中前两项为奇数，第三项为偶数，即当时，为奇数，为偶数， 可知，所以是奇数，B正确；由，可得， 即， 累加得， 化简得，即，所以C错误； 由可得， 即，因为，所以， 累加得， 可知，所以， 即，即，所以D正确； 20.（多选题）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，，，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以，，故A正确，B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D错误． 21.（多选题）（25-26高二上·陕西西安·期末）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（    ） A．若，则使得需要步“雹程”; B．若，则; C．若，则数列的前项和为; D．若，则m的所有可能取值之和为. 【详解】对于A：当时，根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1， 则使得需要10步“雹程”，A正确．对于B：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列，，故，B正确． 对于C：当时，，，，，…，则数列是周期为3的周期数列， 故数列的前2025项和为，C错误． 对于D：当时，则或，当时，则，进一步可得，所以或，所以或，即或；当时，则，进一步可得或，所以或，所以或或或，即或或或. 所以m的所有可能取值之和为，故D正确．故选：ABD. 22.（25-26高二上·江苏常州·期末）已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 【详解】已知是关于正整数的开口向上的二次函数， 对称轴为，开口向上的二次函数的最小值出现在距离对称轴最近的正整数位置， 又数列中最小项为第项，故，解得，综上：. 23.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知数列的通项公式为，则__________. 【详解】因为，所以， 当时，，当时，， 则 .故答案为： 24.（25-26高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 【详解】因为点在函数的图象上，故. 当时，. 当时，.因此. 对于数列，，故.当时，. ，，. 当时，.由得，即，解得，故当时，单调递增.比较，，，得的最小项为. 故答案为：；. 25.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是______. 【详解】由，当时，； 当时，满足上式，则，由， 则对任意都成立，即，则数列单调递增，因此.故答案为：5. 26.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若数列所有项都不为零，且，则______. 【详解】设，则， 从而数列是周期为3的数列，且，又，则，即，，所以. 27.（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故.所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以.所以的取值范围为. 28.（26-27高三上·广东广州·开学考试）已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 【详解】由，得当时，， 两式相除得，当时，，符合上式，故， 又，所以，所以， 令， 令，得，因为，所以，故， 则，所以当时，，即；当时，，所以，即当时，取得最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的基础知识和概念 知识点一 数列的概念 1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2. 数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 3. 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 4. 数列项的三大性质（对比集合元素） （1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致. （2）可重复性：数列内数字允许重复，集合元素具有互异性，二者存在区别. （3）有序性：数字相同但排列顺序不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响. 知识点二 数列的分类 分类原则 数列名称 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限，存在最后一项 无穷数列 项数无限，无末尾项 按项与项间的大小关系分类 递增数列 ＞ 其中 递减数列 ＜ 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数M，使 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 （2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点四 数列的前项和 1.定义：表示数列前项相加的和，. 2.通项与前项和转换公式 推导说明 时，前1项和直接等于首项； 时，用前项和减去前项和，即可得到第项. 总结：（1）若数列的前项和为，通项公式为，则 注意：根据求时，不要忽视对的验证． （2）在数列中，若最大，则若最小，则 题型一：数列的周期性 例1（1）（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． （2）（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 （3）（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． （4）（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 例2（1）（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·天津西青·三模）已知数列满足，则该数列的前2026项的乘积等于（    ） A．2024 B．2025 C． D． （3）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 （4）（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足则（    ） A． B． C． D． 例3（1）（25-26高二下·吉林长春·期中）定义在上的奇函数单调递减，数列满足，若，则（   ） A．0 B．39 C．3 D．12 （2）（25-26高二下·河南南阳·期中）在数列中，，，则（    ） A． B． C．3 D．4 （3）（25-26高二下·陕西安康·期中）已知数列，若，则正整数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （4）（25-26高二下·湖北荆州·期中）数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 例4（1）（25-26高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，其前项积为，则等于（   ） A．2025 B． C． D． （2）（25-26高二上·山东临沂·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·广东云浮·一模）已知数列的前n项和为，且满足，，则_________． 题型二：数列的单调性 例5（1）（25-26高三上·河北衡水·阶段检测）已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6（1）（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． （3）（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·山西运城·期末）在数列中，，则 （    ） A．3872 B．3882 C．3892 D．3902 例7（1）（多选题）（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（ ） A．数列是递减数列 B． C．存在，使得 D． （2）（25-26高二上·河南开封·期末）已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·北京昌平·二模）已知数列满足，则（    ） A．当为常数列时， B．对于任意，为递减数列 C．当时，为递增数列，且对于任意正整数，成立 D．当时，为递减数列，且存在正整数，使得成立 （4）（多选题）（25-26高二下·浙江·开学考试）已知正项数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A．是递减数列 B． C． D． （5）（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期末）已知数列满足，则（    ） A．是递增数列 B． C． D． （6）（多选题）（25-26高二上·河北衡水·期末）已知数列中，，则（   ） A． B．是递增数列 C． D．数列的前项和为 题型三：数列的最大（小）项 例8（1）（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 （2）（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． （3）（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 （5）（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）已知数列的通项公式为，则数列最大的项的值为_________. 例9（1）（25-26高二上·吉林·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 （2）（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 （4）（多选题）（25-26高二上·河北沧州·期末）若数列满足，其前项和为，则（   ） A．是递增数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．当且仅当时，取得最大值 D． 例10（1）（多选题）（25-26高二上·江苏宿迁·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，下列说法正确的有（   ） A． B．数列为单调递增数列 C．当时，取得最大值 D．当时，数列前项积取得最大值 （2）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列的通项公式，前项和为，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．数列单调递减 D．数列的最小项是 （3）（多选题）（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知数列的通项公式为，前项和为，前项积为.则下列结论中正确的是（    ） A．使的项有2项 B．满足的的值共有6个 C．既有最小值，又有最大值 D．有最小值，无最大值 （4）（多选题）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 （5）（2026·河北邯郸·模拟预测）数列的前项和为，数列满足，若，则数列的最小项为__________． （6）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为________. 题型四：求通项公式 例11（1）（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 （2）2026·江苏徐州·一模）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． （4）（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）在数列中，，，则_______． （5）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 例12（1）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）在数列中，，数列的递推公式为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 （2）（25-26高二上·重庆·阶段检测）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． （4）（2026·广西百色·三模）已知数列中，，，则________. 例13（1）已知数列满足，，求数列的通项公式. （2）（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． （3）2026·江苏扬州·二模）已知为数列的前项和，若，则________. （4）（2026·湖北荆州·三模）已知数列的前n项和为，； （1）求的通项公式； （2）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； （5）（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）已知数列的前n项和为． （1）写出数列的前3项：，，； （2）求出的通项公式． （6）（25-26高二上·重庆·期中）已知数列的前项和为 （1）求的最小值，并求此时的值： （2）求出的通项公式. （7）（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式. （2）设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 题型五：数列的恒成立问题 例14（1）（25-26高二上·河北衡水·期末）在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·江西·阶段检测）已知数列满足，，若对，，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东·阶段检测）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 例15（1）（多选题）（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知数列满足：且，数列的前项和，则以下选项正确的有（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高三上·山东淄博·期中）已知数列满足则（   ） A． B． C． D． 题型六：数列的应用 例16（1）（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． （2）（2026·广东广州·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，那么的最大值为____________ （3）（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 （4）（25-26高二上·安徽合肥·期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有________种上楼方法. 例17（1）（25-26高二下·江西鹰潭·期中）“斐波那契螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，也称为“黄金螺旋曲线”，图中小正方形的边长从小到大分别为斐波那契数列，其中，小正方形的面积从小到大记为数列，小正方形所对应扇形的面积从小到大记为数列，则正确的结论为（   ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高二下·四川成都·期中）假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ）    A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）登高山有若干层台阶，每次向上只能走1级台阶或跨2级台阶，例如走到第2层可以选择直接跨2级或者连续走2次1级共2种方法，设走到第层台阶的方法数是，于是，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高二下·辽宁大连·阶段检测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ） A． B．该数列的前2026项中能被3整除的有506项 C． D． （5）（多选题）（25-26高二下·湖北恩施·阶段检测）恩施烈士陵园的阶梯是陵园的重要组成部分，不仅具有实用功能，还融合了自然与人文景观.人们去瞻仰烈士陵园，首先必须走该阶梯，每步上1个或2个台阶，设爬上第个台阶的方法数为，不考虑实际阶梯数的限制，下列结论正确的是（ ） A． B．（） C． D． 课后练习题 1.（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 2.（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 3.（25-26高二下·陕西汉中·期中）数列，，，，…的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 4.（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 5.（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 6.（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列满足，则（    ） A． B． C．4 D． 7.（25-26高二上·湖北武汉·期末）若数列的通项公式，则（   ） A．162 B．182 C．198 D．242 8.（25-26高二下·广东·期中）已知数列满足，.若，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（25-26高二下·安徽·期中）若数列满足，当时，，则称为斐波那契数列.令，则数列的前50项和为（    ） A．17 B． C． D． 10.（25-26高二下·湖北十堰·阶段检测）斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 12.（25-26高三下·江西宜春·阶段检测）已知函数，若满足且，都有成立，则实数a的取值范围为M；若数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围为N．那么下列M与N关系正确的是（    ） A． B． C． D． 13.（25-26高二下·湖北·阶段检测）若数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 14.（2026·陕西渭南·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（    ） A．2025 B．-1 C．2026 D．1 15.（多选题）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 16.（多选题）（25-26高三上·山西太原·期中）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．单调递减 17.（多选题）（25-26高二下·广东韶关·期末）已知为数列的前项和，，则（   ） A．为定值 B．数列是递增数列 C． D．数列是递增数列 18.（多选题）（2026·山西晋城·三模）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 19.（多选题）（25-26高二下·四川成都·阶段检测）若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则（    ） A． B．是奇数 C． D． 20.（多选题）（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 21.（多选题）（25-26高二上·陕西西安·期末）任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”）．现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足（m为正整数），当为偶数，则；当为奇数，则，下列结论正确的有（    ） A．若，则使得需要步“雹程”; B．若，则; C．若，则数列的前项和为; D．若，则m的所有可能取值之和为. 22.（25-26高二上·江苏常州·期末）已知，若数列中最小项仅为第项，则___________． 23.（25-26高二上·广西·阶段检测）已知数列的通项公式为，则__________. 24.（25-26高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，点在函数的图象上，则数列的通项公式为_____；若数列满足，则的最小项的值为_____． 25.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知数列的前n项和，若，数列中 ，的最小值是______. 26.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若数列所有项都不为零，且，则______. 27.（25-26高二上·吉林长春·期末）已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 28.（26-27高三上·广东广州·开学考试）已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $