第四章数列单元卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

高中数学单元测试 —— 第四章 数列 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知数列为等差数列，若，，则数列的公差为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若成等差数列；成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 4．（本题5分）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 5．（本题5分）已知为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C．15 D．63 6．（本题5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（   ）      A．， B．， C．， D．， 7．（本题5分）已知数列的通项公式为：，数列的前n项和为，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则实数c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知数列的前项和为，，，则首项的值可能为（   ） A．2 B． C．0 D． 二、多选题 9．（本题6分）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 10．（本题6分）已知是等差数列的前项和，，且，则（    ） A．公差 B． C． D．时，最大 11．（本题6分）对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的.若这样的正数不存在，则称数列是无界的.记数列的前项和为，下列结论错误的是（   ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 三、填空题 12．（本题5分）已知等比数列，，，则公比____. 13．（本题5分）数列是正项数列，若，且，，则_______． 14．（本题5分）已知正项数列满足，且，若存在，使得，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知数列，满足，，且是公差为1的等差数列，是公比为2的等比数列． (1)求，的通项公式； (2)求的前n项和． 16．（本题15分）已知是数列的前n项和，． (1)求数列的通项公式 (2)设为数列前n项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值． 17．（本题15分）已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的最大值； (3)设，求数列的前项和． 18．（本题17分）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 19．（本题17分）在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的积，形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“积扩充”．如：数列2，3经过第一次“积扩充”后得到数列2，6，3；第二次“积扩充”后得到数列2，12，6，18，3；…．设数列1，2，4经过第次“积扩充”后所得数列的项数记为，所有项的积记为． (1)求和； (2)求和． (3)求数列的前项积． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中数学单元测试 —— 第四章 数列》参考答案 1．A 【分析】根据公差的计算公式即可求解． 【详解】． 2．A 【分析】由等差数列定义及等比中项性质即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则，所以， 又由等比中项性质，，所以， 又设公比为，，所以 所以 . 故选：A. 3．C 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【详解】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C 4．C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得，所以． 5．D 【分析】由等比数列前项和公式结合条件即可求得公比，进而求得的值. 【详解】因为，且， 所以有，即， 则有，所以公比， 所以， 故选：D． 6．B 【分析】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为，根据这两个数列前四项的值，可归纳得出、的值. 【详解】设正方形数构成的数列为，五边形数构成的数列为， 则，，，，由此得出， ，，，， 由此得出. 故选：B. 7．B 【分析】根据题意可得数列为递增数列，讨论n的奇偶性结合恒成立问题分析求解. 【详解】∵， ∴数列为递增数列， 若对任意的正整数n，不等式恒成立，则有： 当为奇数时，则，故，即； 当为偶数时，则，故，即； 综上所述：实数c的取值范围是. 故选：B. 8．B 【分析】根据题意，得到，求得数列是周期为的数列，设，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设数列的首项为， 由，可得，所以且，可得， 则， 所以数列是周期为的数列，即， 又由， 所以，可得， 整理得，即， 解得或，结合选项，可得. 故选：B. 9．BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 10．BC 【分析】根据已知条件列方程，根据等差数列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由得， 由于，所以，，， 所以A，D选项错误，B选项正确. 因为，故C选项正确. 故选：BC. 11．ABD 【分析】根据数列有界和无界的定义，分别对各选项中的数列进行分析判断. 【详解】对于A选项，已知，对于任意正整数，都有，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，A选项错误. 对于B选项，已知，当足够大时，的值会随着的增大而无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，B选项错误. 对于C选项，已知，当时，. 当时，. 当时，上式也成立，所以. 则，因为，所以，取，满足对一切正整数，都有，所以数列是有界的，C选项正确. 对于D选项，已知，则. 当无限增大时，2n也无限增大，不存在正数，使得对一切正整数，都有，所以数列是无界的，D选项错误. 故选：ABD. 12． 【分析】由等比数列的性质计算可得. 【详解】由题意得， 解得. 故答案为：2. 13．3 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．30 【分析】根据题意可得为等差数列，从而得到，利用裂项相消求出即可求解. 【详解】，则， 两边同除以得：，即， 为等差数列，设数列的公差为， 又， 则， ， 即，解得， ， ， . ∴解得. 故答案为： 15．(1)， (2) 【分析】（1）结合等差数列和等比数列的通项公式求解即可； （2）根据分组求和即可. 【详解】（1）根据题意，可得， 所以，， 所以， 所以，， （2）由（1）知，， ． 16．(1) (2) 【分析】(1)利用代入即可求得通项公式； (2)裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值. 【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为. （2）因为为数列前n项的和，令， 则， ，因为对一切恒成立， 则，因为，当且仅当时，等号成立. 所以,所以实数的最大值为. 17．(1)证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【详解】（1）略 （2）由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； （3）因为， 所以 ， 所以 ． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 19．(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据“积扩充”的概念直接求解即可； （2）由题意，变形为，然后利用等比数列的定义及通项公式求得；设，则，即，然后利用等比数列的定义及通项公式求得，进而得； （3）对两边取对数得，结合等比数列求和公式利用并项求和法求得，即可得解. 【详解】（1）由题意，，，. （2），所以， 又因为，所以，所以， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 设，则，即， 又因为，所以，所以， 所以数列是以6为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 所以. （3）要求， 只需求， 又， 所以 ， 所以，所以. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $