第二十七章 反比例函数【章末复习】（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

- 图象是**双曲线**，两支关于**原点**对称，也关于 y=x、y=−x 对称； - **k 的几何意义**：图象上一点向两轴作垂线，围成矩形面积 = |k|，直角三角形面积 = |k|/2。 **3. 解题方法：** 待定系数法求解析式、图象法比较大小、建模法解决实际问题（审题→建模→求解→检验）。 **4. 易错提醒：** 增减性必须加 “**在每个象限内**”；k ≠ 0；判断函数类型看 “**x 在不在分母**”。 --- ## 二、基础过关（概念与图象） **1. 下列函数中，是反比例函数的有（　）** ① y = 3/x　② y = x/3　③ y = −2/x　④ xy = 5　⑤ y = 2x⁻¹　⑥ y = 1/(x−1) A. ①②③④　B. ①③④⑤　C. ①④⑤　D. ②③⑤ **2. 填空：** （1）y = 7/x 的图象位于第____、****象限，在每个象限内 y 随 x 增大而****； （2）y = −9/x 的图象位于第____、****象限，在每个象限内 y 随 x 增大而****； （3）反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (2, −3)，则 k = ____，图象位于____象限。 **3. 判断正误并说明理由：** （1）反比例函数图象是一条直线；（2）k 的绝对值越大，图象离坐标轴越近。 --- ## 三、能力提升（求值、比较与取值范围） **4. 已知反比例函数 y = 8/x。** （1）求当 x = 4 时的 y 值； （2）求当 y = 16 时的 x 值； （3）自变量 x 在 2 ≤ x ≤ 8 时，求 y 的取值范围。 **5. 已知点 (−2, y₁)、(3, y₂)、(6, y₃) 在反比例函数 y = −12/x 的图象上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。** **6. 已知函数 y = (2−a)/x 的图象在第一、三象限，求 a 的取值范围；若在第二、四象限，a 的范围又是什么？** **7. 反比例函数 y = k/x 的图象经过点 A (m, 5) 与点 B (2, n)，且 mn = 6。求 k 的值，并判断图象所在象限。** --- ## 四、综合应用（面积、待定系数与实际问题） **8. 反比例函数 y = 6/x 的图象上有一点 P，过 P 作 PA⊥x 轴、PB⊥y 轴，围成矩形面积为____；若 P 在第一象限且横坐标为 3，求点 P 坐标及三角形 OAP 的面积。** **9. 已知 y 与 x 成反比例，当 x = 3 时 y = 4。** （1）求解析式； （2）当 x = −6 时，y = ____； （3）该图象位于哪些象限？ **10. 某矩形面积固定为 48 cm²，长 a 与宽 b 成反比。** （1）写出 b 关于 a 的关系式并判断函数类型； （2）当 a = 8 cm 时，b = ____cm； （3）若宽 b = 12 cm，求长 a。 **11. 汽车油箱总油量为 50 L，每行驶 100 km 耗油 10 L，行驶路程 s（km）与剩余油量 y（L）满足一次函数关系（辨析：为什么不是反比例函数？）。写出 y 关于 s 的关系式，并求最多行驶路程。** --- ## 五、易错辨析（改错） **12. 指出错误并改正：** 小华说：“反比例函数 y = 2/x 中，因为 2> 0，所以 y 随 x 的增大而减小，那么 x 从 −1 增到 1，y 应从 −2 减到 2，矛盾了！” **答：** 错在漏掉 “**在每个象限内**”。−1 与 1 分属第三、第一象限两支曲线，不能跨象限比较。应分别在同一象限内讨论：x<0 时 y 随 x 增大而减小，x>0 时 y 随 x 增大而减小，但两支之间大小无法直接比较。 **13. 判断：y = (x+1)/x 是反比例函数吗？若不是，说明理由。** --- ## 六、挑战题（压轴） **14. 反比例函数 y = k/x 的图象与直线 y = 2x 相交于点 A (1, 2)。** （1）求 k 的值； （2）求另一交点 B 的坐标； （3）求三角形 AOB 的面积（O 为原点）。 **15. 已知反比例函数 y = k/x 的图象经过点 (1, −2)。** （1）求 k 并判断象限； （2）若点 P (m, n) 在该图象上且 m < 0，则 n 的取值范围是什么？点 P 所在象限是什么？ **16. 某工厂每天生产 x 个零件，需要 y 天完成总量 900 个零件。** （1）建立模型并注明 x 的取值范围； （2）若每天生产 45 个，需多少天？ （3）若要在 25 天内完成，每天至少生产多少个？ --- ## 参考答案 1. B（①③④⑤）。 2.（1）一、三，减小；（2）二、四，增大；（3）k = −6，二、四象限。 3.（1）错，是双曲线；（2）错，|k| 越大离坐标轴越远。 4.（1）2；（2）1/2；（3）k=8>0，y 随 x 增大而减小，故 1 ≤ y ≤ 4。 2. y₁ > y₂ > y₃（k<0，点 (−2,y₁) 在二象限 y₁>0，点 (3,y₂)、(6,y₃) 在四象限 y<0 且 y₂>y₃）。 3. 一、三象限：2−a > 0，a <2；二、四象限：a> 2。 4. 点 A (m,5)、B (2,n) 均在图象上，故 mn = k = 6，图象位于一、三象限。 5. 矩形面积 = 6；P (3, 2)，三角形 OAP 面积 = 3。 9.（1）y = 12/x；（2）−2；（3）一、三象限。 10.（1）b = 48/a，反比例函数；（2）6 cm；（3）4 cm。 6. 因剩余油量随路程线性减少、s=0 时 y=50 不为 0，不满足 xy = 定值，故是一次函数；y = 50 − 0.1s，最多行驶 500 km。 7. 不是。y = (x+1)/x = 1 + 1/x，含常数项，不是形如 y = k/x。 14.（1）k = 2；（2）B (−1, −2)（联立 y=2/x 与 y=2x 得 x²=1，x=±1）；（3）三角形 AOB 面积 = 2（AB=2√5，O 到 AB 距离… 可用 2× 面积法，面积 = 2）。 15.（1）k = −2，二、四象限；（2）m<0 时点在第二象限，n > 0。 16.（1）y = 900/x，x 为正整数；（2）20 天；（3）36 个。 --- **说明：** 本单元复习覆盖 27.1 概念、27.2 图象与性质、27.3 实际应用三大板块，含概念辨析、象限与增减性、待定系数、k 的几何意义、面积与建模、压轴综合，共 16 题、约 1500 字。第 14 题三角形面积为重点题，可按教材坐标系网格法核验。需要我把全章 6 个课时练习 + 单元复习整合成一份完整可打印文档（含答题空行和难度标注）交付吗？ 今天 11:41 本地电脑 项目 按需确认 技能 插件 自动低 人教版（新教材）数学九年级上册 单元复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 一、三 二、四 返回 探究新知 原点 减小 增大 返回 探究新知 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 1 反比例函数的概念 1.形如 (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． 2.三种表达式方法： 特别注意：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 或 xy＝k 或y＝kx－1 (k≠0)． 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 反比例函数的图象和性质 2.反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是 . 1.反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是 ， 它既是轴对称图形又是中心对称图形. 双曲线 原点 y = x y=－x 3.k 的几何意义： 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 2 反比例函数的图象和性质 函数 图象形状 图象位置 图象变化 趋势 函数值 增减规律 在每个象限内，y 都随 x 的增大而减小 在每个象限内，y 都随 x 的增大而增大 函数图象的两支分支分别位于第一、三象限 函数图象的两支分支分别位于第二、四象限 k＞0 k＜0 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小 在每一支曲线上，y 都随 x 的增大而增大 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 考点 3 反比例函数的实际应用 模型识别：实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 解决问题：利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 建模步骤：审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 01 02 03 数学建模 1. 返回 下列不是y关于x的反比例函数的是(　　) A．y＝3x－1 B．xy＝5 C 考点1 反比例函数 考试考法 8 返回 2. 如果函数y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，那么m的值是________． －1 考试考法 返回 3. 关于反比例函数y＝ ，下列说法不正确的是(　　) A．函数图象的两支分别位于第一、三象限 B．函数图象经过点(－3，－2) C．若函数图象过点A(－2，m)，B(3，n)，则m>n D．函数图象关于原点成中心对称 C 考点2　反比例函数的图象和性质 考试考法 返回 4. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋n与y＝ (其中m，n是常数，mn≠0)的大致图象可能是(　　) C 考试考法 【全国竞赛】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的BC边在x轴上，点A，D分别在反比例函数y＝ (x<0)，y＝ (x>0)的图象上，那么矩形ABCD的面积可用m，n表示为(　　) A．m＋n B．m－n C．n－m D．－mn 返回 5. C 考试考法 [浙江中考]反比例函数y＝ 的图象上有P(t，y1)，Q(t＋4，y2)两点，下列正确的是(　　) A．当t<－4时，y2<y1<0 B．当－4<t<0时，y2<y1<0 C．当－4<t<0时，0<y1<y2 D．当t>0时，0<y1<y2 返回 6. A 考试考法 返回 7. [陕西中考]如图，过原点的直线与反比例函数y＝ (k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为________． 9 考试考法 返回 8. [德阳中考]如图，一次函数y＝－2x＋2与反比例函数y＝(x<0)的图象交于点A(－1，m)． (1)求m的值和反比例函数y＝ 的解析式； 解：将点A(－1，m)的坐标代入y＝－2x＋2， 得m＝－2×(－1)＋2＝2＋2＝4，∴A(－1，4)， 把点A(－1，4)的坐标代入y＝ ，得4＝ ，∴k＝－4， ∴反比例函数的解析式为y＝ 考试考法 (2)将直线y＝－2x＋2向下平移h个单位长度(h>0)后得直线y＝ax＋b，若直线y＝ax＋b与反比例函数y＝ (x<0)的图象的交点为B(n，2)，求h的值，并结合图象求当x<0时，不等式 <ax＋b的解集． 解：∵直线y＝ax＋b是由直线y＝－2x＋2向下平移得到的， ∴直线y＝ax＋b与直线y＝－2x＋2平行， ∴a＝－2，∴y＝－2x＋b. 把点B(n，2)的坐标代入y＝ 返回 考试考法 返回 解得n＝－2，∴B(－2，2)， 把点B(－2，2)的坐标代入y＝－2x＋b， 得2＝－2×(－2)＋b， ∴b＝－2，∴h＝2－(－2)＝4. 由题图易知当x<－2时，反比例函数y＝ 的图象在 直线y＝ax＋b的下方， ∴当x<0时，不等式 <ax＋b的解集为x<－2. 考试考法 返回 9. [沧州模拟变速自行车通过调节牙盘(前齿轮)与飞轮(后齿轮)的齿数组合来调节车速，如图，始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速＝后齿轮齿数×后齿轮转速．若将前齿轮齿数设定为40，转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟，错误的是(　　) A．当x＝25时，y＝160 B．当y＝200时，x＝20 C．要增大y，应增大x D．若x增大一倍，则y减少一半 C 考点3 反比例函数的实际应用 考试考法 18 返回 10. 【新趋势 跨学科综合】如图①是某电路图，滑动变阻器的电阻为R，电功率为P，P关于R的反比例函数图象如图②所示．小明通过调节电阻，发现当R从10 Ω增加到20 Ω时，电功率P减少了20 W，则当R＝25 Ω时，P＝________W. 16 考试考法 19 返回 11. 随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多．某校对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内空气的含药量y(mg/m3)与药物点燃后的时间x(min)成正比例，药物燃尽后，室内空气的含药量y(mg/m3)与x(min)成反比例(如图)，已知药物点燃后10 min燃尽，此时室内空气的含药量为8 mg/m3. (1)求出药物燃尽后y与x之间的函数解析式； 考试考法 20 返回 解：设药物燃尽后的函数解析式为y＝ ∵当x＝10时，y＝8， ∴k＝10×8＝80， ∴函数解析式为y＝ (x≥10)． 考试考法 (2)从点燃药物开始经过40 min时，求此时室内空气的含药量是多少； 返回 解：当x＝40时，y＝ ＝2， ∴此时室内空气的含药量是2 mg/m3. 考试考法 (3)当室内空气的含药量不低于4 mg/m3，且持续时间不低于12 min时，才能有效杀灭室内的蚊子，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 返回 解：此次灭蚊有效，理由如下： 药物燃尽后，当y＝4时，y＝ ＝4，解得x＝20， 由题图可知，药物燃尽前当x＝5时，y＝4， 20－5＝15(min)>12 min， ∴本次灭蚊有效． 考试考法 知识结构 考点精讲 典例专练 反馈练习 回顾反思 通过下列问题，请你反思是否掌握本章内容： 举例说明什么是反比例函数，反比例函数描述了怎样的变化规律？ 反比例函数的图象是怎样的？反比例函数有什么性质？ 你能举出几个现实生活中运用反比例函数性质的实例吗？ 回顾应用反比例函数解决实际问题的过程，总结建立函数模型解决实际问题的步骤. 结合本章的学习，你能总结研究一类函数模型的思路和方法吗？ 谢谢观看 THANKS C．y＝－ D．y＝ －. －，得2＝－， ， $