广东深圳市南方科技大学附属中学2026-2027学年高二上学期综合测评（一）数学试题

南科大附中2026年秋季学期高二年级综合测评（一） 数 学 命题人：裴大新审题人：许祎祺 (本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟.) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。将条形码粘贴在答题卡左上 角“条形码粘贴处”。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 &.考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回。 单选题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中， 只有一个选项是正确的。) 1.若复数z满足z(1+)=2-2i,则z=（) A.1 B.√2 C.2 D.22 2.已知成=(2，-2V3为直线1的一个方向向量，则直线1的倾斜角为() A君 B. C. D.5 3.已知数据为，x2,为的平均数为2，数据x4,x,6,名，的平均数为10，则数据，2，，的平 均数为() A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知直线过点(-1,2)且与直线2x+3y+4=0平行，则该直线方程为，) A.3x-2y-1=0 B.2x+3y-4=0 C.2x+3y+1=0 D.3x-2y+1=0 5,.已知事件4，B满足P0-片八)-子事件么B中至少有一个不发生的概率为，则事件么，B 都不发生的概率为 ) A C.G D. 6.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,若AB⊥BC,则直线AB,与平面BCCB所成角的正弦 值为() A.v5 B.② 3 2 C.②7 D.6 7 3 7、已知直线mx+y-m+2=0与圆(x+2)2+y2=18交于A,B两点，则AB的最小值为（) A.4W5 B.25 C.45 D.25 高二综合测评（一）数学第1页（共4页) 8.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值() A.2,0 B√5,0 C.5,-5 D.2,-3 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分。在每小题列出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.已知{a,,c是空间的一个基底，则下列命题正确的是（) A.若ka+k2b+%c=0,则k=k2=飞3=0 B.向量a+b、b+c、c+a一定共面 C.向量p=2a-36+c在基底{a,b,c下的坐标是(2，-3，) D.对空间中任意向量m,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得m=x(a+)+y(石+©)+z(c+a) 10.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半 圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是() AB0=+ac B.BA.BO=3 C.BP.BC的最大值为5 D.若BP=xBA+yBC,则x+y的最大值为3+5 3 11.已知A(-4,0),B(4,0),动点C满足引C4=3引CB,记C的轨迹为，若过点A的直线与2交于P,Q 两点，直线BP与2的另外一个交点为M,则(） A.△PAB的面积的最大值为12 B.Q,M关于x轴对称 C当∠PM0=5时，Pe=25 D.直线AC的斜率的取值范围为 -44 E,填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若a=l,b=N7.c=V3,则B= 3.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB, 已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2√17则该二面角的余弦值为 14.已知直线1：x-四+1=0与⊙C:(x-1+y=4交于A,B两点，写出满足“aABC面积为"的所有m 构成的集合一· 高二综合测评（一）数学第2页（共4页） 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步 骤。) 15.(13分)甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是号2号现3人各投蓝1次，求。 (1)3人都投进的概率； (2)3人恰有2人投进的概率. 16.(15分)已知点A(2,-4),点B在x轴负半轴上，直线AB在两坐标轴上的截距相等 (I)求直线AB的方程； (2)已知点C(1,1)和D(3,5),点P在直线AB上运动，求CP+DP的最小值. 17.(I5分y如图在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为菱形，且∠ABC=2 E C (I)证明PB⊥AD: (2②诺平面PAD⊥底面ABCD,PE=;PC,求平面PAD与平面EAD的夹角的余弦值， 高二综合测评（一）数学第3费（典4厦） 18.(17分在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD,中，O是正方形A,B,CD的中心点P在棱CC上， D C 且CC,=4CP. (I)求直线AP与平面BCCB,所成的角的正切值； (2)设O点在平面DAP上的射影是H,求证：，D.H⊥AP; (3)求点P到平面ABD的距离. 19.(17分)已知圆M过点(3,3)，圆心M在直线2x+y-5=0上，且直线x-2y+5=0与圆M相切. (1)求圆M的方程； (2)过点D(O,-2)的直线I交圆M于A,B两点.若A为线段DB的中点，求直线1的方程， 高二综合测评（一）数学第4页（共4页） 南科大附中2026年秋季学期高二年级综合测评（一) 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 P 9 答案 C 0 B D B D C ACD 题号 10 11 答案 ACD ABD 5.D【详解1P叫a-1P4例-名P4-1名-名 PrU-+P(-P4倒-写好名音P(an副1-PU例=1--是 6.B【详解】设正三棱柱ABC-ABC的高为h,即BB=h,由于AB=BB-BA,BC=B,C-BB, AB⊥BC,则A瓜BC=(BR-BARG-B,B=0,即BR8G-BRRB-BAA1 C B :-2x2×对=0，所以h=反，取BC的中点0，连接A0,B0, 由于底面△ABC为等边三角形，AB=2,则AO⊥BC,A0=√5 由于BB⊥平面ABC,AB,AOc平面ABC,所以AO⊥BR,AB⊥BB, 且AB=22+小W=6由于BBOBC=B,BB,BCc平面BCCB,所以4O1平面BCCR, 所以∠0为直线AB与平面BCGB所成角，则s如∠B0=40-5- ,故选：B 7.D【详解】根据题意，圆c+22+y2=18,则圆心的坐标为(-2,0)，半径r=32, 直线r+y-m+2=0,即m-)+y+2=0,恒过定点0，-2)，由0+2)2+(-2<18，得点(01，-2)在圆 内，又定点Q,-2)到圆心(-2,0)的距离d=√9+4=√3，要使弦A®最小，则定点与圆心所在直线与AB 垂直，此时A8=28-13=2W5,即M8的最小值为25.故选：D 8.C【详解】由方程x2+y2-4x+1=0,可化为(-2)2+y2=3, 表示以(2,0)为圆心坐标、√5为半径的圆， 由上的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设上=k,即y=, 2 如图所示，当直线y=:与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值， 此时以-=5，解得k=士5，所以二的最大值为5，最小值为5故选：C. P+l 1/8 10.AcD【详解】对于A,B0=Bc+而=BC+号=C+(-BCM+c,敢A正确： 对于B,由A知o-号+号C,所以i-B而=i化i++号M.Bc -号+号M.8C-x4+之×2x2:es60°=2t1=3,放B错误 2 对于C,以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， aa0小ce04间.o限)侵ewa9a咖于9e 而-60.所以.c=2侵+0小-3+2os0, 当0=0°时，B.BC的最大值为5，故C正确： Ba-（5), 则xBA+yBC=(x+2y,N5x,又BP=xBM+yBC, 3 x+2y=号+c0s0 [15」 -sine 则 2 整理得到 23 5x=5+s如0 1,1。 2 y= 6 所以x+y1+分o6+9如0=145a 6 3 x+y取到最大值，最大值为3+5，故D正确 3 B 11.ABD【详解】设C(xy),由C4=3CB可得， Vx+42+y2=3Vx-4+y,即(x-5}+y2=9, 所以C的轨迹Q是以(5,0)为圆心，3为半径的圆，记圆Q的圆心为S,半径为”. 对于A选项，《代）=之Ar=8×3=12,选项A正确： 对于B选项，如图，圆Q关于x轴对称，A(一4，O),B(4,O)在x轴上， 2/8 直线AP与圆Q交于P,Q两点，直线BP与圆n交于P,M两点， 由题可知PA=3P网，M④=3M⑧，由角分线定理逆定理得 --,故-2e, 又根据圆的对称性可知，Q,M关于x轴对称，选项B正确：对于C选项，当∠PM0-时， ∠Ps2=号，而SO-叫-3，则aPS0为等腰三角形，过s作D1P0于D,则PD∠P2 3 则P0=3×5_35,由垂径定理可得Pg-2p0=3N5,选项C错误， 22 V 对于D选项，当直线AC与圆n相切时，连接SC, 得到AC1SC,此时4=9，CS=3,由勾股定理得4C=6W2, 由锐角三角函数的定义得m∠C4S=3-2 6W24 由斜率的几何意义得此时直线4C的斜率为 ,根据 圆的对称性可知，得到直线AC斜率的取值范围为 选项D正确. 4 4 12, 警848-2吃2 【详解】设点C到直线B的距离为d,由弦长公式得4=2W4-严， 所以5r吃xx2-正-号解得：日=5或a=25 5 5 由d=+2 +m4m,所以245 V+m 或2=25 5 ，解得：m=2或m=±方 故答案为： 15.【详解】(1)记“甲投进”为事件4，“乙投进”为事件4，“丙投进”为事件4，则 r-子4-=2W0=号 3分 3/8 3人都投进的事件为444，其概率为P444)=P4)-P4)-P(4)=名xx2-3 525256分 (2)设“3人中恰有2人投进”为事件B,由(1)知B=A424+AA4+A4A, 因此PB)=P(A44)+P(AAA)+P(44④) =Pa)-(A)P(4)+PA)P(④)P4)+P(4)-P(4)P④) -10分 =0-32+号0-号0--品 -12分 所以3人中恰有2人投进的概率为 50 -13分 16.【详解】(1)因为点B在x轴的负半轴上，所以设直线B的方程为艺+上=1(a<0), 将点4的坐标代入，得2+4=1，解得a=2, -3分 a 所以直线AB的方程为x+y+2=0.- -5分 (2)设点C关于直线AB对称点为C(xy), -6分 则cr+Dr=CP+Dr≥lC'Dl,故只需求出CD即可. 由(1)知直线4B的方程为x+y+2=0,其斜率为-1， -8分 koc-y-1-1 则 x-1 解得 x=-3 即C(-3,-3) -12分 -+2=0 2 所以CD=V3+3)}2+(5+3}=10, 所以CP+Dr的最小值为10. -15分 17.(1)取AD的中点O,连接PO,BO,BD.因为底面ABCD是菱形，∠ABC=2, 31 所以△ABD是正三角形，所以BO1AD.又△PAD为正三角形，所以POLAD. 2分 4/8 因为BOPO=O.BO,POC平面PBO,所以AD⊥平面PBO, -5分 又PBc平面PBO,所以PB⊥AD.- -6分 (2)由平面PAD⊥底面ABCD,PO⊥AD,平面PADO底面iABCD=AD,ADc平面iPAD, 所以PO⊥底面ABCD,AD,OBc底面ABCD、 所以PO1AD,PO⊥OB,又BO⊥AD,可得OB,AD,OP两两互相垂直，- -8分 ·以O为坐标原点，OB,O,O丽的方向分别为x,y,z轴的止方向建立空间直角坐标系，如图. 艺 B 设AD=2,则A0,10),D(0-l,0),C(5,-2,0),P0,0,V5) 所以Da=(02,0),D2=(0,lv5),P元=(V5,-2,-5), -10分 所以Di=DP+PE=DP+P元-5125 333 设平面EAD的法向量为方=(xz), 则 i-DA=0,m[y=0, 得 i-DE=0,5x+y+2√5z=0 可取元=(2,0，-1) -12分 易知平面P4D的一个法向量为m=(L0,0), -13分 mi。225 则c0s元，i= 同同1x55 故平面PMD与平面ED的夹角的余弦值为25 -15分 18.【详解】(1)连接PB,由正方体的性质知AB⊥面BCCB, 所以∠APB即为所求的线面角， -2分 CC=4CP“CP=l,由勾股定理知BP=√7， -4分 5/8 ÷m∠aP8=4径-4-4W万 PB 7 17 5分 D 0 H (2)证明：由已知OH⊥面APD,APc面APD,OH⊥AP,连接BD,ACG,由于O是上底面的中心，故 OeBD,由正方体的性质知A⊥面4BCD,且BDc面ABCD,故A4⊥BD,，-7分 又BD⊥AC,且A4∩4C=4,A4,ACc平面AC℃4 ∴BD1面ACC4,又Pc面ACCA,BD⊥AP- -9分 又BD,∩OH=OBD,OHC面DB,H,AP⊥面DBH,D,Hc面DBH,DH⊥AP.-l1分 D B (3)以D为原点，DA,DB,DC所在直线分别为xyz轴建立如图所示直角坐标系，则由已知D(O,O,0), A(4,0,0,C0,4,0),D,(0,0,4),B(4,4,0),CC=4CP，所以P0,4,) 如图B=(0,4,0),A万=(-4,0,4)，=(4,4，)- -13分 令面ABD的法向量为i=(化，y,z) 6/8 [AB方=0 即 [x-z=0 故有 AD=0' y=0 令x=1,则z=1,故i=0,0,) -15分 故点P到面面4ABD的距离d= 亚月33迈 22 点P到面面An,的距离为三反 -17分 2 19.【详解】(1)首先设圆M的方程为(c-a2+0-)2=r2。 因为圆M过点(3,3)，把点(3,3)代入圆的方程可得3-a)2+3-b)2=r2①. 又因为圆心M(a,)在直线2x+y-5=0上，所以2a+b-5=0②， 由于直线x-2y+5=0与圆M相切，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的关系，可得 r-la-26+51 5 3分 联立①②③求解：由②可得b=5-2a,将b=5-2a代入①和③. 把b=5-2a代入①得(3-a2+3-(5-2a)2=r2, 展开可得(3-a)2+(2a-2)2=r2,进-步展开得到5a2-14a+13=r2. 把b=5-2a代入③得r=1a-25-20+51_15a-1 5. 因为r-55斗}.6o,-5d-10a45 5 由5a2-14a+13=5a2-10a+5,解得a=2. 把a=2代入b=5-2a得b=5-2×2=1. 再把a=2,b=1代入①可得2=(3-2)2+3-1)2=1+4=5，所以r=5 -6分 所以圆M的方程为(x-2)2+0y-)2=5.-- -7分 (2)设A3y),因A为线段BD的中点，根据中点坐标公式，所以B(2x,2y+2), 因为A,B在圆M上，所以 [x-2)2+0-02=5 -8分 (2x-2)2+(2y+102=5’ 对第一个方程(x-2)2+0y-1)2=5展开得x2-4x+4+y2-2y+1=5, 7/8 即x2+y2-4x-2y=0④， 对第个方程(2x-2)2+(2y+102=5展开得4x2-8x+4+4y2+4y+1=5, 即4x2+4y2-8x+4y=0⑤， 由④×4-⑤得：4x2+y2-4x-2y)-(4x2+4y2-8x+4y)=0, 展开得化简得-8x-12y=0,即2x+3y=0, 把x=-多y代入④得(-22+2+6y-2y=0, 即y产+y产+4y=0,经y+利=0 解得y=0或y=侣。 -12分 当y=0时，x=0:当y=治时，= 13 当40,0)时，因为D(0,-2),此时直线1垂直于y轴，所以直线1的方程为x=0;- -13分 -2+ 16 -26+16 当4台9时，由D0-2习可得直线的斜率k= 3=13 5 24 24 12 13 13 根据直线的点斜式方程y-乃=(x-x),这里花=24，) 16 3=-13 所以直线的方程为y+治-名c-净.整理得13y+16=名×136x-治， 12x13y+12×16=5×13x-5×24,即5x-12y-24=0.- -16分 综上所得，直线1的方程为x=0或5x-12y-24=0: -17分 8/8