周周测16 4.3等比数列及其前n项和（数学人教A版选择性必修第二册）

**基本信息** 聚焦等比数列及前n项和，通过单选、多选、解答题等多样题型，结合存款计算、企业价值等应用情境，考查基本量运算、单调性判断及数学建模，适配高二周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|等比数列基本量、单调性、前n项和|第2题结合充分必要条件考查逻辑推理| |多项选择题|3/18|等比数列与前n项和关系、性质判断|第11题综合考查等比数列性质| |填空题|3/15|递增等比数列通项、实际存款计算|第13题以存款情境考查数学应用| |解答题|5/77|通项公式、求和、等差等比综合|第19题企业价值问题体现数学建模|

2026-2027学年高二上学期数学周周测16 4.3等比数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等比数列中，，则（   ） A．32 B．24 C．20 D．1 【答案】A 【分析】根据题意列方程组求出和，然后根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】由题得． 故选：A 2．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】依据递增数列性质结合必要而不充分条件定义即可得到题给两条件间的逻辑关系. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或 则中，的正负未定， 此时数列不一定是递增数列； 由数列为递增数列，可得， 所以“”是“数列是递增数列”的必要而不充分条件． 故选：B 3．已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果. 【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且， 所以， 故选：B. 4．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 【答案】B 【分析】据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和， 也为等比数列， 又， 该等比数列第一项，第二项. 则公比， ， . 故选：B. 5．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为 A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果. 【详解】设等比数列公比为 当时，，不符合题意， 当时，， 得，又， 由，得， ，故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论与两种情况，这是易错点. 6．已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，，则， 因为函数在上单调递增，且时，，可得， 又，则，且数列为递减数列， 则取得最大值时的值为10或11. 故选：D. 7．已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的性质，结合等比中项的应用计算即可求解. 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和， 则成等比数列， 由等比中项，得， 即，解得或（舍去）. 故选：C 8．一个等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论求得与题设不符，再由等比数列前n项和公式及已知即可求. 【详解】当时，，则，显然与题设不符； ∴，即等比数列不是常数列， ∴，则，可得． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列. 【详解】由题得， 两式相减得，即， 当时，， 所以数列从第项起是等比数列，所以， 所以数列的通项为. 当时，；当时，符合上式， 所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 10．已知数列，记数列的前项和为，下列结论正确的是（    ） A．若“”是“为递增数列”的充分不必要条件 B．“为等差数列”是“为等差数列”的必要不充分条件 C．若为等比数列，则成等比数列 D．若为等比数列，则可能是等差数列 【答案】ACD 【分析】对于找到一个数列是递增数列，但是不满足，所以可判断，对于B，与能互相推出，所以可判断B，对，根据条件算出公比和首项，代入即可判断，对，找到一个的等差数列，代入可判断. 【详解】对于，，则为递增数列， 但为递增数列时，如：，但不成立， 所以选项正确； 对于B，数列为等差数列为等差数列， 所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充要条件， 所以选项不正确； 对于，若为等比数列，公比为，当时， 则前项和为， 所以， 所以，同理可得 所以， 所以成等比数列； 当时，，即， 所以； 所以选项正确； 对于，若为等比数列，当时，， 则， 所以是公差为0的等差数列，故选项正确. 故选：ACD. 11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．数列是等比数列 C．若数列的前n项和，则 D．若首项，公比，则数列是递减数列 【答案】BC 【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，， A选项，由于，所以与的符号相同，所以A选项错误. B选项，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，B选项正确. C选项，， 当时，， 则， 由于是等比数列，所以，C选项正确. D选项，若首项，公比，则，所以D选项错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的性质可得，即有，解出的值，即可求出公比，得出通项. 【详解】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得， 又，所以有， 由是递增的等比数列，解得， 所以， 即有. 故答案为：. 13．屠老师从2015年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率保持不变，到2023年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为______元．（保留整数．） 【答案】89544 【分析】利用等比数列的前项和公式直接求解． 【详解】由题意可知，他可取回的钱数约为： （万元），即89544元． 故答案为：89544 14．设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 【答案】 【分析】将等式两边同时取对数后，转化为的形式，再利用构造法求通项公式． 【详解】原式两边同时取对数，得， 即．设，则， 又， 所以是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以，所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等比数列中，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题设条件求出，即可求解； （2）由（1）可得，再利用等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，因为， 又，则，解得，所以. （2）由（1）知，则， 所以数列的前项和为. 16．已知数列中，，（n为正整数）． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) 已知，等式两边同除得，且 所以是以为首项，以为公差的等差数列. 则，解得. (2) 【分析】(1)根据目标数列的特征，利用题干等式构造数列，通过定义法证明构造数列为等差数列，求出首相和公差，解出通项公式. (2)根据分组求和法，把数列转化成等差数列和等比数列的和，分组求前项和. 【详解】（1）略 （2）数列的前n项和为 ， 根据等差数列等比数列前n项和公式可得， 所以数列的前n项和. 17．已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用等差数列及等比数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 依题意得 又，解得 所以，． （2）设， 所以，① ，② 得： ． 即数列的前n项和． 18．已知在数列中，，， (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1) (2)若，则由（1）的结论，可得， 因为（常数），且， 所以数列是首项为4，且公比的等比数列； (3) 【分析】（1）先证明数列构成公差为2的等差数列，利用等差数列通项公式即可求解； （2）先得到，利用等比数列的定义证明等于一个非零常数即可 （3）利用分组求和法直接求解即可. 【详解】（1）因为，则（常数）， 可知数列构成公差为2的等差数列，首项， 所以数列的通项公式为； （2）略 （3）由（1）和（2）得，， 所以 . 即. 19．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ 【答案】(1)（万元） (2)该企业需要在第12年年初更换A型车床 【分析】（1）由题意得构成首项，公差的等在数列，构成首顶，公比的等比数列，从而可求出其通项公式， （2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列，然后分别求出和时的值，再由可求得结果. 【详解】（1）题意得构成首项，公差的等差数列. 故（万元）. 构成首顶，公比的等比数列， 故万元. 于是，（万元）. （2）由（1）得是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列. 当时单调递减，（万元）. 所以（万元）； 当时，（万元）；当时，（万元）. 所以，当时，恒有. 故该企业需要在第12年年初更换A型车床. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测16 4.3等比数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测16 4.3等比数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等比数列中，，则（   ） A．32 B．24 C．20 D．1 2．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 4．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为 A． B． C．2 D．3 5．已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 6．一个等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 8．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．数列是等比数列 C．若数列的前n项和，则 D．若首项，公比，则数列是递减数列 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为______． 10．屠老师从2015年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率保持不变，到2023年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为______元．（保留整数．） 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知在数列中，，， (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测16 4.3等比数列及其前n项和 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在等比数列中，，则（   ） A．32 B．24 C．20 D．1 2．设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（    ） A．24 B．48 C．72 D．96 4．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 5．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为 A． B． C．2 D．3 6．已知正项等比数列满足，，则取最大值时的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．10或11 7．已知为等比数列的前项和，，，则（    ） A．3 B． C． D． 8．一个等比数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分） 9．数列的前n项和为Sn，，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 10．已知数列，记数列的前项和为，下列结论正确的是（    ） A．若“”是“为递增数列”的充分不必要条件 B．“为等差数列”是“为等差数列”的必要不充分条件 C．若为等比数列，则成等比数列 D．若为等比数列，则可能是等差数列 11．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．数列是等比数列 C．若数列的前n项和，则 D．若首项，公比，则数列是递减数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知在递增的等比数列中，，，则数列的通项公式为______． 13．屠老师从2015年9月10日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本金和利息再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率保持不变，到2023年9月10日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为______元．（保留整数．） 14．设正项数列满足，，则数列的通项公式是______． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知等比数列中，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项的和，已知.求数列的前项和. 16．已知数列中，，（n为正整数）． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 17．已知等差数列和等比数列的首项分别为1和2，的前n项和为，，且，，成等差数列，. (1)求数列、的通项公式； (2)设，，求数列的前n项和. 18．已知在数列中，，， (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列； (3)求数列的前项和. 19．某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $