4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式 课时精讲-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册教用Word（人教A版）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 课标要求　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的推导思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．　3.能由等比数列前n项和公式的特点判断等比数列． 甲问乙借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出附加条件：在30天中，乙每天提供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱，第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠．甲听后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所以很为难．请同学们帮他拿拿主意． 思考1　对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，如何求其前n项和Sn呢？ 提示：错位相减法． 思考2　等比数列{an}的前n项和公式与哪类函数有关呢？ 提示：指数函数与一次函数． 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1、公比q与项数n 首项a1、公比q与末项an 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 提醒　求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和． 　(1)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若a2＝2，a9＝8a6，则S10＝(　　) A．1 028 B．1 023 C．1 024 D．1 025 (2)已知数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和Sn＝________________． 【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意可得解得则S10＝＝＝210－1＝1 023. (2)当a＝1时，an＝1，Sn＝n；当a≠1时，数列{an}是首项为a，公比为a的等比数列， 由等比数列求和公式可知Sn＝.所以Sn＝ 【答案】　(1)B　(2) 【感悟提升】　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比和项数或首项、末项和公比，正确选用公式，注意公比q＝1时是否成立． 　1.化简1＋23＋26＋29＋…＋23n+6＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.1＋23＋26＋29＋…＋23n+6＝＝. 2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝1，S3＝7，若{an}的公比小于零，则S5＝________________________________________. 解析：设等比数列{an}的公比为q，q<0.因为a1＝1，S3＝7，则1＋q＋q2＝7，即q2＋q－6＝0，得q＝－3或q＝2(舍去)，所以S5＝＝61. 答案：61 应用点一　等比数列前n项和公式的基本运算 　(对接教材例7)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若a3＝，S3＝，求a1和公比q； (2)若Sn＝189，公比q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若公比q>0，S4＝5S2，S5＝31，求a4. 【解】　(1)由a3＝，S3＝，得a1＋a2＝S3－a3＝3，即a1(1＋q)＝3.又a1q2＝，于是解得或 (2)在等比数列{an}中，Sn＝，则189＝，解得a1＝3.又an＝a1qn-1，得96＝3×2n-1，即2n-1＝32，所以n＝6. (3)当q＝1时，S4＝4a1，S2＝2a1，显然不满足题意，则q≠1.由S4＝5S2可得＝，由于q>0，所以q＝2.又因为S5＝＝31，解得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×23＝8. 【感悟提升】　等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体． 　1.在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝－，若其前m项和Sm＝－，则m＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝－，a1＝＝－2，则Sm＝－＝＝·m－，化简得m＝－，即m＝5. 2．(2026·株洲模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a·2n－4，则a1＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选C.设等比数列{an}的公比为q.由等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－4，可得q≠1，又Sn＝＝－qn＋，所以解得a1＝4. 应用点二　等比数列前n项和公式的函数特征 　记数列{an}的前n项和Sn＝2n＋λ. (1)当λ＝3时，求{an}的通项公式； (2)是否存在实数λ，使得{an}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【解】　(1)当λ＝3时，Sn＝2n＋3， 所以a1＝S1＝5. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－2n-1－3＝2n-1， 又a1＝5不符合上式，所以an＝ (2)由Sn＝2n＋λ，得a1＝S1＝2＋λ. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋λ－2n-1－λ＝2n-1. 若存在实数λ，使得{an}为等比数列， 则2＋λ＝20＝1，得λ＝－1. 故存在实数λ＝－1，使得{an}为等比数列． 【感悟提升】　等比数列前n项和公式的特点及应用 (1)推导：若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝·qn＋， 令k＝，即有Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0且q≠1). (2)应用：①若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则数列{an}是等比数列． ②若等比数列的前n项和Sn＝Aqn＋B(A，B为常数，公比为q且q≠1，n∈N*)，则A＋B＝0. 　1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则点列(n，an)，(n，Sn)在同一坐标平面内不可能的是(　　) 解析：选D.设等比数列{an}的公比为q.对于A，an＝1时，Sn＝n，图象符合；对于B，a1＝1，q＝1.1时，an＝1.1n-1，Sn＝＝10(1.1n－1)，图象符合；对于C，a1＝1，q＝－2时，an＝(－2)n-1，Sn＝，图象符合；对于D，由题图可知，a1，a2，a3都是负数，所以a1<0，q>0，an<0，Sn<0，但图象显示n≥4时，an或Sn为正数，矛盾，所以D选项图象不符合． 2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3·23n-2＋r，则r＝______． 解析：方法一：当n＝1时，a1＝S1＝6＋r；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·23n-2－3·2(3n-2)-3＝·23n-2.又{an}为等比数列，所以＝，即23＝，则r＝－. 方法二：因为Sn＝×8n＋r，则r＝－. 答案：－ 1．已知{an}为等比数列，且a1＝3，公比q＝2，则S6＝(　　) A．189 B．93 C．63 D．33 解析：选A.因为{an}为等比数列，且a1＝3，q＝2， 则S6＝＝3×＝3×63＝189. 2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．q＝1或q＝2 C．a3＝ D．a2＋a3＝2 解析：选ACD.因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，所以q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确． 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝4×3n-1＋t，则t＝______． 解析：因为等比数列{an}的前n项和Sn＝4×3n-1＋t＝×3n＋t，所以t＋＝0，即t＝－. 答案：－ 4．(教材P37T1改编)已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和． (1)若an＝3×2n，求S6； (2)若a3＝12，a8＝，Sn＝93，求n. 解：(1)因为an＝3×2n，所以a1＝3×2＝6，且公比q＝2，所以S6＝＝378. (2)设等比数列{an}的公比为q，因为a3＝12，a8＝，所以q5＝＝＝，解得q＝，所以a1＝＝＝48.所以Sn＝＝96×＝93，解得n＝5. 1．已学习：(1)等比数列前n项和公式的推导及运算；(2)等比数列前n项和公式的结构特点． 2．须贯通：(1)公式的推导可用错位相减法； (2)计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程(组)求解，这里运用了方程的思想． 3．应注意：等比数列前n项和公式分q＝1与q≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $