精品解析：山西晋城市第一中学校2026-2027学年高一上学期阶段性测试（一）数学试题

2026—2027学年（上）高一年级阶段性测试（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或2 C. 2 D. -2 7. 下列条件中，是“关于的不等式对一切实数都成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则实数的取值范围是 C. 若，则实数的取值范围是或 D. 若，则实数的取值范围是或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集个数为________． 13. 若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的取值范围是__________． 14. 已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，证明：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 16. 已知全集，集合，，满足，． （1）求集合； （2）是否存在实数，满足集合，若存在求的值；若不存在请说明理由． 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 18. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年（上）高一年级阶段性测试（一） 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案写在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】由全称量词命题的否定可知，，的否定是，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，解得，则， 又，所以． 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件， 但，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“，”是“”的充分不必要条件. 4. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】将原不等式移项得， 通分化简为， 等价于，解得或， 因此不等式解集或． 6. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 或 B. 1或2 C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的关系与运算，即可求出的值． 【详解】若，则，显然满足题意； 若，则，不成立； 若，解得，或，若，则不满足元素的互异性，所以.故选A. 7. 下列条件中，是“关于的不等式对一切实数都成立”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式恒成立分类求出的取值范围，再由充分不必要条件推出集合间的包含关系即可确定答案. 【详解】由“关于的不等式对一切实数都成立”，可分为两种情况： ①当时不等式为恒成立，符合题意； ②当时，依题意需使，解得， 综上可得，. 依题意，要使选项对应的集合为的真子集，故只有C项：符合. 8. 某科技公司对名职场人士进行“工具使用情况”调查，发现每个人都至少使用过类（写作助手）、类（绘图工具）、类（会议助手）三类工具中的一类.调查数据显示使用过类工具的有人，使用过类工具的有人，使用过类工具的有人；类和类工具都使用过的有人，类和类工具都使用过的有人；三类工具都使用过的有人，则类和类工具都使用过的人数为（ ） A. 5 B. 13 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】作出文氏图，由集合容斥原理可得． 【详解】设仅只使用过类工具的职场人士的人数为， 由图可得： ，解得， 所以类和类工具都使用过的人数为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“，”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. “且”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题真假判断、全称命题真假判定、充分必要条件的推导，需结合不等式性质逐一分析选项可得. 【详解】选项A：若，正数的平方恒为正，故一定成立，该命题是真命题，A正确； 选项B：对任意实数，都有，因此恒成立，该全称命题是真命题，B正确； 选项C：解不等式，得或，故无法推出， 但可以推出，因此“”是“”的必要不充分条件，C错误； 选项D：若且，根据正数同向不等式的可乘性，可得，充分性成立； 若，例如，满足但不满足，必要性不成立， 因此“且”是“”的充分不必要条件，D正确. 10. 已知函数的定义域为，值域为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，从图象看，函数定义域挖掉的点不仅仅只有，从而A错误； 对于B，由图象知其定义域为，值域为，符合题意，从而B正确； 对于C，由图可知，从而定义域为，值域为，符合题意，从而C正确； 对于D，由图，当时，对应有两个值，故该图不是一个函数的图象，从而D错误. 11. 已知集合，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则实数的取值范围是 C. 若，则实数的取值范围是或 D. 若，则实数的取值范围是或 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项A，由题意得，解得，即， 由，化简得，解得， 即， 当时，，则，所以选项A正确； 对于选项B，即，可得，解得，所以选项B正确； 对于选项C，当时，可得或，解得或，所以选项C正确； 对于选项D， 可知当或， 当时，可得或，解得或，所以选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的真子集个数为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以的真子集个数为． 13. 若关于的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【详解】， 当时，不等式的解集为，由题意可知； 当时，不等式的解集为，由题意可知. 14. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，，证明：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） ， ，， 所以，即，当且仅当取等号，得证. （2），， ，，即， 又，， 所以. 【解析】 【详解】（1）略 （2）略 16. 已知全集，集合，，满足，． （1）求集合； （2）是否存在实数，满足集合，若存在求的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先求得，再结合集合交并补运算求解即可； （2）由题知，再结合集合相等求解即可. 【小问1详解】 解：因为，解得， 所以， 因为， 所以， 因为，所以，，，，，， 综上； 【小问2详解】 解：由于，，根据子集的概念， 所以，所以且， 所以，，即，， 因此存在实数，，此时. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式： 【答案】（1） （2） 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据a的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立； 当时，的解集不为，不合题意； 当时，恒成立，则， 解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为. 18. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 ，，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合A，再结合A中有4个整数求解即可； （3）由可得或，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以， 所以或. 【小问2详解】 当时，该不等式可化为，即，不满足题意； 当时，该不等式可化为， 所以，则或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则； 同理可得时，或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则，即. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，解得或. 不等式，可化为， 该不等式等价于， 当时，，该不等式等价于， 因为，则， 所以原不等式的解集为； 当时，，，解不等式得或， 所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $