精品解析：陕西西安市航天城第一中学2026-2027学年八年级上学期10月 数学学情自测卷

陕西西安市航天城第一中学2026-2027学年八年级上学期10月 数学学情自测卷 （时间120分钟，全卷120分） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 4. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（　　）尺． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 7. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 万海里 9. 已知实数、、在数轴上如图，则（ ） A. 0 B. C. D. 10. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A. 7 B. 17 C. D. 二、填空题（共6题，每题3分） 11. 的平方根是_______． 12. 若实数x，y满足，则_________． 13. 比较大小：______． 14. 如图，矩形中，，E为CD边上一点，将矩形沿直线折叠，使点C落在边上处．则_________． 15. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达顶点B，那么所用细线最短需要________厘米． 16. 如图，等边三角形中，，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 19. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点． 20. 已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整数部分，求的值． 21. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点A到边的距离． 22. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． （2）若和为两个相邻整数，求的值． 23. 如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道与的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长． 24. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西西安市航天城第一中学2026-2027学年八年级上学期10月 数学学情自测卷 （时间120分钟，全卷120分） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数的个数为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数的定义，理解无限不循环小数是无理数是解答关键．根据有理数和无理数的定义分别进行分类来求解． 【详解】解：，在（相邻两个1之间2的个数依次加1），3.14这些数中，无理数有，，（相邻两个1之间2的个数依次加1），共3个， 故选：B． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3. 下列计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 4. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再对不等式两边加1，即可得到的范围． 【详解】解： ，即 不等式两边同时加1，得，即 因此的值在和之间． 6. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（　　）尺． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】如图，设水深h尺， 在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6， 由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2，即（h+3）2＝h2＋62， ∴h2＋6h＋9=h2＋36， 解得h=4.5． 故选：C． 7. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意得，再根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∴， ∵点E在点A的左侧，点A在数轴上表示的数为1， ∴点E所表示的数为， 故选：D． 8. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 万海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．先求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于， 根据题意得，，海里，海里， ， 在中，根据勾股定理得， （海里）， 故此时与灯塔的距离为海里． 故选：C． 9. 已知实数、、在数轴上如图，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，立方根，绝对值，实数与数轴，熟练掌握相关性质是解题的关键．由数轴易得，则，，然后利用立方根的定义，绝对值的性质，二次根式的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴易得， 则，， 原式 ， 故选：D． 10. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将个边长分别为、、的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，其中、为直角边、为斜边，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是，那么的长是（） A. 7 B. 17 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式的应用，熟练掌握勾股定理及完全平方公式的变形是解题的关键． 先根据个直角三角形的面积与白色区域面积求出五边形相关图形的面积，再结合勾股定理求出，进而得到的长度． 【详解】解：∵每个直角三角形的面积为，个直角三角形的面积为，白色部分面积为， ∴由图形可知． ∵由勾股定理得， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：． 二、填空题（共6题，每题3分） 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 若实数x，y满足，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】和都是非负数，根据非负数的性质求出，的值，再代入计算所求式子即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴ 解得，． 将，代入，得 ． 13. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，E为CD边上一点，将矩形沿直线折叠，使点C落在边上处．则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都是直角，折叠前后对应边相等，对应角相等． 由折叠可得：，根据勾股定理可得，则，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 设， 则， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达顶点B，那么所用细线最短需要________厘米． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，，，再由勾股定理计算即可得出结果，理解题意，正确应用勾股定理是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意可得：，，， ∴， 故那么所用细线最短需要厘米， 故答案为：． 16. 如图，等边三角形中，，是边上的中线，点E为上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证出，则，再作点关于直线的对称点，连接，则，然后求出的长，最后根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边三角形中，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 三、解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程， （1）整理后利用立方根的定义解方程即可； （2）移项后利用平方根的定义解方程即可. 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 或， 解得：或． 19. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出的点． 【答案】 【解析】 【分析】设点O是原点，点B表示的数为3，过点B作的垂线，以点B为圆心，2为半径画弧交所作垂线于点C，连接，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，由勾股定理得，则点D即为所求． 【详解】略 20. 已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整数部分，求的值． 【答案】5或11 【解析】 【分析】此题考查立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法， 利用立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，是解决问题的关键． 【详解】解：∵的立方根是3，则， ∴， ∵是9的平方根，则， ∴或， ∵c是的整数部分， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，等于5或11． 21. 如图，方格中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上，求： （1）请判断三角形是否是直角三角形，并说明理由； （2）点A到边的距离． 【答案】（1）解：三角形不是直角三角形，理由如下： 由勾股定理，得， ∵，即， ∴三角形不是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理和逆定理进行判断即可； （2）等积法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 由（1）知：， 设点A到边的距离为， 则， ∴； ∴点A到边的距离为. 22. 阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．证明如下： 根据题意得，移项得．根据二次根式的性质________， 可以将等式两边同时平方，得．即________，移项整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）在横线上填入适当的代数式，补全证明过程． （2）若和为两个相邻整数，求的值． 【答案】（1）a， （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明过程补全即可； （2）根据已知结论，得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：应用已知结论得， 即， ∴． 23. 如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： （1）试判断步道与的位置关系，并说明理由； （2）求观景台P与观景台B之间的距离的长． 【答案】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理进行求解即可； （2）设，利用勾股定理列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得， ∴. 24. 阅读下面计算过程： ； ； ； 求： （1）的值． （2）的值． （3）若，求的值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键， （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （3）先化简，然后代入所求式子计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ． 25. 【问题发现】 （1）如图1所示，将军每天从军营出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的军营开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置，如图2，作关于直线的对称点，连接与直线交于，点就是所求位置． 直线是点，的对称轴， ． ． 根据“ ”可得的最小值是． 【问题探究】（2）如图3，在正方形中，，是边上的一点，且，是上的一个动点，求周长的最小值． 【问题解决】（3）如图4、在长方形中，，，是边上一点，且，点是线段上的任一点，连接，以为直角边在上方作等腰直角三角形，为斜边．连接，边上存在一个点，且，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）12；（3）存在，周长最小值为 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短可得答案； （2）连接，，利用正方形的性质、勾股定理可得出A、C关于对称，，，则周长=，当E、F、C三点共线时，周长最小，即可求解； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于，根据矩形的性质和勾股定理可求出，，证明四边形是矩形，得出，，结合是等腰直角三角形，可证明，得出，同理可证四边形是矩形，可求出，同理可证是矩形，可求出，证明是等腰直角三角形，得出，根据勾股定理可求出，则可判断；垂直平分，得出，则，当P、F、N三点共线时，最小，最小值为，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：（1）直线是点，的对称轴， ． ． 根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）连接，， ∵在正方形中，， ∴，，A、C关于对称， ∴，， ∴ ∴周长=， 当E、F、C三点共线时，的周长最小，最小值为； （3）如图，过F作于G，交于K，过于H，交于O，过M作于N，交于， 在长方形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， 又 ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 又是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 同理可证四边形是矩形， ∴，， ∴， 同理可证是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴当P、F、N三点共线时，最小，最小值为， 又的周长为， ∴的周长最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，二次根式的化简等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $