27.3 第3课时 建立反比例函数模型（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**1. 建立反比例函数模型的含义：** 从实际问题中抽象出两个变量，判断它们之间是否存在**反比例关系**（乘积为定值），并用解析式 y = k/x 表示出来。这是把 “实际问题” 转化为 “数学问题” 的关键一步。 **2. 建模四步骤：** （1）**审题找变量**：明确谁随谁变化，谁保持不变； （2）**判断关系**：检验两变量的**乘积是否恒为定值**—— 是则反比例，否则可能是正比例、一次或其他函数； （3）**设式代值**：设 y = k/x，代入一组已知对应值求 k； （4）**回归实际**：写出解析式并标注自变量的取值范围。 **3. 判断反比例关系的常用技巧：** - 看 “**…… 一定时，…… 与…… 成反比**” 这类表述； - 看两个量是否满足 “**此消彼长、乘积不变**”； - 看表格中各行 xy 的值是否都相等（**表格检验法**）。 --- **2. 判断下列各组变量是否成反比例关系，并说明理由：** （1）长方形面积一定时，长与宽； （2）总价一定时，单价与数量； （3）一个人的年龄与他阅读的书籍本数。 **3. 填空：** 若 y 与 x 成反比例，且当 x = 2 时 y = 6，则解析式为 ____，当 x = 3 时 y = ____，当 y = 3 时 x = ____。 --- ## 三、能力提升（由条件建模型） **4. 已知 y 与 x+1 成反比例，且当 x = 0 时 y = 4。求 y 关于 x 的函数关系式，并求当 x = 3 时的 y 值。** **【点拨】** 设 y = k/(x+1)，代入 x=0、y=4 得 k = 4。故 y = 4/(x+1)。当 x=3 时，y = 4/4 = 1。 **5. 已知 y 与 x² 成反比例，且当 x = 2 时 y = 1。求 y 关于 x 的关系式，并求当 x = −2 时 y 的值。** **6. 某长方形面积为 36，长 a 与宽 b 成反比。写出 b 关于 a 的关系式；若 a = 9，求 b；若 b = 4，求 a。** **7. 已知 y = y₁ + y₂，y₁ 与 x 成正比例，y₂ 与 x 成反比例，当 x = 1 时 y = 5，当 x = 2 时 y = 4。求 y 与 x 的函数关系式。** --- ## 四、综合应用（建立模型并求解） **8. 某种商品的销售总金额固定为 3000 元，单价 p（元）与销量 n（件）成反比。** （1）建立 p 关于 n 的函数模型； （2）若单价定为 50 元，销量为多少？ （3）若销量为 200 件，单价为多少？ **9. 有一批货物共 360 t，用载重 x（t）的货车运输，需 y 辆。** （1）建立 y 关于 x 的模型； （2）若每车载重 12 t，需多少辆？ （3）若公司有 18 辆车，每辆至少载重多少？ **10. 一定量的液体，密度 ρ 与体积 V 成反比，当 V = 2 L 时 ρ = 3 kg/L。** （1）求模型； （2）当 V = 4 L 时，ρ 为多少？ --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出错误并改正：** 小刚说：“y 与 x 成反比例，就是 y 与 x 的差一定。” **答：** 错误。反比例关系是 “**y 与 x 的乘积一定**”，即 xy = k（k 为常数且 k≠0）；“差一定” 是 y − x = 常数，属于**一次（线性）关系**，两者完全不同。例如面积固定时，长与宽的**乘积**不变，而非差不变。 **12. 判断：已知 y 与 2x 成反比例，则 y 与 x 也成反比例。这个说法是否正确？** --- ## 六、挑战题 **13. 已知点 A (m, 3) 与点 B (2, n) 都在反比例函数 y = k/x 的图象上，且 mn = −6。求 k 的值，并判断该图象位于哪些象限。** **15. 某工厂生产一批零件，每天生产 x 个，需要 y 天完成，生产总量为 600 个。** （1）建立模型并注明 x 的取值范围； （2）若每天生产 40 个，需多少天？ （3）若想在 20 天内完成，每天至少生产多少个？ --- ## 参考答案 1. 是反比例关系（各行 xy = 8），y = 8/x。 2.（1）是（ab = 面积定值）；（2）是（单价 × 数量 = 总价定值）；（3）不是（年龄与读书本数无固定乘积）。 2. y = 12/x；y = 4；x = 4。 3. y = 4/(x+1)；当 x=3 时 y=1。 4. 设 y = k/x²，代入得 k = 4，y = 4/x²；当 x=−2 时，y = 4/4 = 1。 5. b = 36/a；a=9 时 b=4；b=4 时 a=9。 6. 设 y₁ = k₁x，y₂ = k₂/x，代入得 k₁ + k₂ = 5，2k₁ + k₂/2 = 4，解得 k₁ = 1，k₂ = 4，故 y = x + 4/x。 8.（1）p = 3000/n；（2）60 件；（3）15 元。 9.（1）y = 360/x；（2）30 辆；（3）20 t。 10.（1）V・ρ = 6，即 ρ = 6/V；（2）1.5 kg/L。 7. 正确。y = k/(2x) = (k/2)・(1/x)，仍为反比例函数，比例系数为 k/2。 8. 由 mn = −6 且 mn = k（点在图象上满足 xy = k），故 k = −6；图象位于二、四象限。 9. 成反比例（各行 xy = 6），y = 6/x。 15.（1）y = 600/x，x 为正整数；（2）15 天；（3）30 个。 --- **说明：** 本练习紧扣 27.3 第 3 课时「建立反比例函数模型」—— 表格检验法判断关系、由条件设式建模、y 与 x 的变形形式（x+1、x²）及 y₁+y₂ 组合模型，突出建模四步法，基础到综合共 15 题、约 1500 字。第 7、13 题为组合与待定系数综合题，需要我再补充几道 “由图象建立模型” 的读图建模题吗？ 今天 11:36 **14. 已知变量 y 与 x 的部分对应值如下表，请判断它们是否成反比例关系，并求出解析式：** ## 二、基础过关（表格判断） **1. 根据下表判断 x、y 是否为反比例关系，若是写出解析式：** 人教版（新教材）数学九年级上册 27.3 第3课时 建立反比例函数模型 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 1 2 3 能根据实验数据绘制散点图，通过散点图判断变量之间的近似反比例函数关系； 掌握用 平均法确定反比例函数系数k的方法，建立近似反比例函数模型； 能区分精确建模与近似建模的差异，掌握建立函数模型解决实际问题的完整步骤. 学习目标 回顾 1.力学、几何、经济、功、行程等问题 2.根据已知的物理公式、几何公式等明确的等量关系，直接推导得到精确的函数解析式 1.前两节课我们学习了用反比例函数解决哪些类型的实际问题？ 2.我们是如何建立这些问题的反比例函数模型的？ 3. 反比例函数的图象形状是什么？ 今天我们就以气体压强与体积的关系为例，探究如何通过实验数据判断变量之间的函数关系，又如何建立对应的函数模型. 3.双曲线 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据： 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图.观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点，可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)建立模型.设函数解析式为 体积V/mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型： 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)检验模型，将已知数据代入，或画出函数的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. (4)求解问题，将p=132代入，得 解得，V≈15.13(mL). 因此，当压强为132 kPa时，气体的体积为15.13mL. 探究新知 反比例函数模型 模型识别：实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 解决问题：利用建立的反比例函数模型，代入已知量求解实际问题. 建模步骤：审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 01 02 03 数学建模 探究新知 在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 求当 时，电磁波的波长λ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 波长λ（m） 60 30 20 15 12 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：由表中数据可知 ， ， ， ， ， ∴波长λ与频率f的乘积为定值，即λ与f满足反比例函数关系． 设波长λ与频率f的函数解析式为 ． 把 ，λ=60代入上式中得：k=300， ， 当 时， . 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 波长λ（m） 60 30 20 15 12 探究新知 忽略实际问题中的自变量的取值范围和特殊要求（如整数、正数等） 1 对实际问题中的变量和常量区分错误，误将变量当做定值导致建模错 2 建模成功后，对结果为进行检验，导致出现不符合实际意义的答案 3 利用反比例函数建模易错提醒 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（chēqú）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：μm/天）的数据如下表： 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为 ， ， ， ，猜想当 时y与x符合反比例关系，设解析式为 ．为减少偏差，取 ，求反比例函数解析式． x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 (1)解：∵ ， ， ， ， ， ∴反比例函数解析式为 ； 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． (2)解：当 时， ． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为 /天． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸x（单位：英寸）和像素密度y（单位：PPI）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点(x,y)，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． (1)判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； (2)求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； 反比例 (2)解：设反比例函数解析式为 ， 将x=55时，y=40代入得： ，解得k=2200， ∴这个函数的解析式为 ； 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)某电子屏幕尺寸为50英寸，根据(2)中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． (3)解：把x=50代入 得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为44PPI． 探究新知 1. 返回 东莞二模综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图①，砗磲(chē　qú)是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表： x/岁 0 5 10 15 20 25 y/(μm/天) 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 举一反三 17 返回 【模型构建1】如图②，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图②点的分布情况，猜想其函数图象是过点(0，26.0)的抛物线，设解析式为y＝ax2＋bx＋26. (1)选取两个点(10，14.0)，(20，7.0)，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 举一反三 返回 解：将(10，14.0)，(20，7.0)代入y＝ax2＋bx＋26， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． 举一反三 返回 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1＝140，k2＝142.5，k3＝140，k4＝137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y＝ . (2)为减少偏差，取k＝ ，求反比例函数的解析式． 解：当x≥10时， 举一反三 返回 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算．(砗磲为国家保护动物) 举一反三 返回 解：由模型1可知，当x≥29时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律．由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2.当x＝35时，y＝ 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天． 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 易错提醒 建立 反比例函数模型 解决实际问题 审题找定值——判断反比例关系——列解析式——确定实际取值范围. 实际问题中，两个变量的乘积为定值、一增一减，即为反比例函数关系. 模型识别 建模步骤 自变量取值范围，区分常量和变量， 对结果进行检验 课堂小结 谢谢观看 THANKS 得解得 ∴y＝x2－x＋26＝(x－29)2＋. k＝＝140， ∴y＝. ＝4. $