27.3 第3课时 建立反比例函数模型（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“建立反比例函数模型”，通过气体压强与体积的实验数据导入，衔接前两节课直接套用解析式的基础，引导学生从数据观察（散点图）、计算k值平均值到模型检验，搭建从具体数据到抽象模型的学习支架。 其亮点在于突出数据拟合与模型检验，如通过多组实验数据计算k值平均值建立近似模型，体现数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。采用探究式教学，课堂小结归纳建模四步骤，帮助学生形成解决实际问题的思维，教师可直接用于培养学生数据分析与建模能力。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十七章 反比例函数 27.3 第3课时 建立反比例函数模型 2026年8月3日 27.3 第3课时 建立反比例函数模型 同步练习题（全文1122字） 一、课时知识梳理（218字） 本课时核心考点为根据实际问题情境，自主建立反比例函数数学模型，是反比例函数实际应用的综合核心内容。区别于直接套用解析式解题，本节课重点在于自主建模：先分析实际问题中两个变量的变化关系，判断二者乘积是否为固定常量，以此判定反比例关系。常见建模场景涵盖工程问题、几何定值问题、物理公式应用、经济预算问题等。标准建模步骤：审题找定量、确定变量关系、列出乘积等式、整理出反比例解析式、标注符合实际的自变量取值范围。核心易错点：混淆正比例与反比例关系，忽略实际变量的正数取值范围，建模后未结合情境检验解析式合理性。 二、基础巩固选择题（每题6分，共30分，247字） 1. 下列实际情境中，能够建立反比例函数模型的是（） A. 速度不变，行驶路程与时间 B. 长方形长固定，面积与宽 C. 总费用固定，商品单价与购买数量 D. 身高随年龄的增长变化 2. 已知两个变量x、y成反比例，且x=3时y=4，则建模解析式为（） A.y=12x B.y=12/x C.y=x+12 D.y=x/12 3. 建模解决实际反比例问题时，自变量的取值范围通常是（） A. 全体实数 B. 全体负数 C. 正实数 D. 整数 4. 压力一定时，压强P与受力面积S成反比例，若S=2时P=10，k值为（） A.5 B.12 C.20 D.0.2 5. 关于反比例函数建模，下列说法正确的是（） A. 变量和为定值 B. 变量乘积为定值 C. 图象经过原点 D. 变量变化趋势相同 三、填空题（每题6分，共30分，227字） 1. 建立反比例函数模型的核心依据是：两个相关变量的________始终保持不变。 2. 某项工作总量为600，工作效率x与工作时间y的反比例模型解析式为________。 3. 已知变量x、y成反比例，当x=5时y=6，则当x=10时，y=________。 4. 密闭容器中，质量恒定的气体，体积越大，压强________，可建立反比例模型。 5. 用固定资金购买文具，单价提升，购买数量________，二者符合反比例函数模型。 四、解答应用题（共36分，430字） 1.（12分）某施工队承接固定土石方清运任务，经统计，每天清运土石方量x（m³）与完工天数y（天）成反比例函数关系，已知每天清运50m³，12天可以完成任务。 （1）建立y与x的反比例函数模型； （2）若工期缩短至8天完成，每天需要清运多少立方米土石方？ （3）结合模型说明清运量与天数的变化规律。 2.（12分）某实验室使用固定质量的盐水做实验，盐水密度ρ（g/cm³）与体积V（cm³）成反比例关系。当体积为20cm³时，密度为1.5g/cm³。 （1）建立ρ关于V的反比例函数模型； （2）当盐水体积为25cm³时，求盐水的密度； （3）若密度需控制在1.2g/cm³以上，求体积的最大值。 3.（12分）班级筹备活动有固定预算资金，用来购买定制小礼品，礼品单价x（元）与购买数量y（件）成反比例关系，已知单价10元时，可购买36件。 （1）建立对应的反比例函数模型； （2）若单价上调至12元，可购买多少件礼品？ （3）若至少购买40件礼品，单价最高不能超过多少元？ 总字数统计：1122字 参考答案精简版 选择：1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 填空：1.乘积；2.$$y=\dfrac{600}{x}(x>0)$$；3.3；4.越小；5.减少 解答： 1.(1)$$y=\dfrac{600}{x}(x>0)$$；(2)75m³；(3)清运量越大，完工天数越少 2.(1)$$\rho=\dfrac{30}{V}(V>0)$$；(2)1.2g/cm³；(3)25cm³ 3.(1)$$y=\dfrac{360}{x}(x>0)$$；(2)30件；(3)9元 （精准核对字符：全文1122字，贴合人教版27.3第3课时建模核心重难点，聚焦实际情境建模、解析式求解、模型应用，覆盖选择填空基础考点与解答综合题型，难度梯度适中，适配课堂训练与课后巩固作业） 前面几节课，我们解决的都是能用反比例函数准确刻画的问题. 但在现实生活中，很多时候我们只有一堆实验数据，就像这组气体压强和体积的数据，我们不清楚变量之间是否存在一定的函数关系，如果存在，怎么选择合适的函数模型近似描述气体的压强和体积之间的关系，进而解决相关问题？ 下面让我们一起来探究吧！ 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 探究 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（如表）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 分析：由表可知，压强 p 是体积V的函数. 由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 (1) 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图(1)）. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点. 可以发现，图(2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强 p 与体积 V 之间的关系. (2) 建立模型. 设函数解析式为 p（V>0），根据表(1)中的数据，分别求出 k 的值，列出表(2). 表(1) 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 表(2) 计算所有 k 值的平均值，得 k(2 000+2 016+1 968+2 030+1 956+2 010) ≈ 1 997. 我们把这个平均值1 997作为 k 的值，就得到一个函数模型 k值不相同怎么办？ V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2 000 2 016 1 968 2 030 1 956 2 010 (3) 检验模型. 将已知数据代入 ，或画出函数 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强  与体积  的关系. (4) 求解问题. 将 p=132 代入p，得 132 解得 15.13(mL). 因此，当压强为 132  kPa 时，气体的体积约为 15.13  mL. 回顾“探究”，回答以下问题： (1) 表中的有些数对只能近似满足函数解析式 p（V>0），即图中的点并没有完全落在函数p的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往所学的函数模型(如一次函数、二次函数)通常通过已知条件确定唯一函数解析式，所有已知点都完全满足该解析式； 而本题的函数模型是通过实验数据拟合得到的，利用多组数据计算k=pV的平均值作为参数，得到的模型是近似模型(并非所有已知点都完全满足)，但能较好地反映整体变化规律. “拟合”在科学实验和数据分析中，通俗来说，就是寻找一条最能代表数据点变化趋势的“线”（或公式）的过程. 回顾“探究”，回答以下问题： (2) 结合“探究”和问题 (1) 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如本题曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式(如),利用已知数据计算待定系数(如本题计算所有k值的平均值); ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 1. 返回 东莞二模综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图①，砗磲(chē　qú)是地球上最大的双壳类软体动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表： x/岁 0 5 10 15 20 25 y/(μm/天) 26.0 19.0 14.0 9.5 7.0 5.5 举一反三 9 返回 【模型构建1】如图②，数学小组A在平面直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图②点的分布情况，猜想其函数图象是过点(0，26.0)的抛物线，设解析式为y＝ax2＋bx＋26. (1)选取两个点(10，14.0)，(20，7.0)，求抛物线的解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄． 举一反三 返回 解：将(10，14.0)，(20，7.0)代入y＝ax2＋bx＋26， ∴该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄为29岁． 举一反三 返回 【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1＝140，k2＝142.5，k3＝140，k4＝137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y＝ . (2)为减少偏差，取k＝ ，求反比例函数的解析式． 解：当x≥10时， 举一反三 返回 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (3)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算．(砗磲为国家保护动物) 举一反三 返回 解：由模型1可知，当x≥29时，y随x的增大而增大，不符合砗磲的生长规律．由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规律， ∴选择模型2.当x＝35时，y＝ 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为4 μm/天． 举一反三 建立函数模型 解决实际问题 ①分析数据，选择函数类型：通过散点图观察数据分布特征(如“探究”中的曲线形似双曲线的一支)，选择合适的函数类型(如反比例函数); ②建立模型：设出函数解析式，利用已知数据计算待定系数; ③检验模型：将已知数据代入模型，验证模型与实际数据是否基本吻合; ④求解问题：利用建立的函数模型解决实际问题(如估计未知数据). 课堂小结 谢谢观看 THANKS 得解得 ∴y＝x2－x＋26＝(x－29)2＋. k＝＝140， ∴y＝. ＝4. $