27.3 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **27.3 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 本课时核心：** 从反比例函数的**图象**（双曲线）读取信息、解决实际问题。关键是看懂图象的横、纵轴表示的量，以及图象上点、曲线变化趋势的实际含义。 **2. 看图解实际问题的步骤：** （1）明确两坐标轴**各代表什么量**、单位是什么； （2）抓住**关键点**：图象与坐标轴交点、已知坐标的定点、曲线上的特殊点； （3）利用**反比例关系 xy = k** 求比例系数，再求其他对应值； （4）注意**实际背景下的取值范围**（如 x > 0、x 为正整数等）。 **3. 常见图表类型：** - **速度—时间图**（路程一定，vt = s）； - **压强—体积图**（PV = 定值）； - **工作时间—人数图**（总量一定）； - **密度—体积图**等，图象都是一支位于第一象限（或部分象限）的双曲线。 --- ## 二、基础过关（读图填数） **1. 观察右图（y = 6/x 在第一象限的分支），填空：** （1）图象经过点 (1, ____)、(2, ____)、(3, ____)； （2）当 x = 1 时 y = ____，当 x = 3 时 y = ____，说明 x 增大时 y ____（填“增大”或“减小”）； （3）比例系数 k = ____。 **2. 反比例函数 y = 12/x 的图象上有一点 A(3, 4)，下列说法正确的是（　）** A. 点 A 到 x 轴的距离是 3　B. 点 A 到 y 轴的距离是 4　C. 12 是该函数的比例系数　D. 点 (4, 3) 也在图象上 **3. 判断：反比例函数图象在第一象限的分支，越靠近坐标轴，说明 x、y 的乘积 k 越小。是否正确？** --- ## 三、能力提升（由图定解析式） **4. 某商品总价为 240 元，单价为 p（元/件），数量为 n（件），其图象为反比例曲线的一部分。** （1）写出 p 关于 n 的函数关系式； （2）若图象过点 (10, 24)，验证比例系数； （3）当 n = 16 时，p 为多少元？ **5. 一定量的气体，压强 P（kPa）与体积 V（L）成反比，图象如图（过点 (4, 60)）。** （1）求 P 关于 V 的关系式； （2）当 V = 10 L 时，压强为多少？ （3）当压强为 30 kPa 时，体积为多少？ **6. 一辆货车以匀速行驶，油箱剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）成一次函数关系（注意：本题为一次函数，用于对比）。当 x = 0 时 y = 40，当 x = 100 时 y = 32。写出关系式。** （辨析：为何不是反比例函数？） --- ## 四、综合应用（行程与工程图象） **7. 甲、乙两地相距 120 km，汽车速度为 v（km/h），行驶时间为 t（h），其图象为第一象限的反比例曲线。** （1）写出 v 关于 t 的关系式； （2）若图象过点 (2, 60)，说明其含义； （3）若要在 3 小时内到达，速度至少为多少？ **8. 某项工程总量为 180 个工作日，设每天工作量为 x，需要天数为 y，图象为反比例曲线。** （1）写出 y 关于 x 的关系式； （2）若每天完成 12 个工作量，需多少天？ （3）若要求 30 天内完成，每天至少完成多少工作量？ **9. 一定质量的某种液体，体积 V 与密度 ρ 成反比，图象过点 (4, 0.8)（单位：V 为 m³，ρ 为 kg/m³）。** （1）求关系式； （2）当体积 V = 2 m³ 时，密度为多少？ --- ## 五、易错辨析（改错） **10. 指出错误并改正：** 小丽说：“反比例函数图象在第一象限的曲线上，x 越大 y 越小，所以在整个图象上，x 越大 y 越小。” **答：** 错误。反比例函数有两支曲线，分别位于第一、三象限（k>0）或二、四象限（k<0）。只看第一象限这一支时，x 增大 y 减小成立，但**两支之间不能比较大小**。整个函数的增减性必须分象限说明，且“每个象限内 y 随 x 增大而减小”。 **11. 判断：从反比例函数图象上读出的实际数据，结果一定是整数吗？举例说明。** --- ## 六、挑战题 **12. 某公司要完成一批订单，生产速度 v（件/天）与所需天数 t（天）成反比，图象过点 (20, 25)。** （1）求订单总量及关系式； （2）若客户要求 50 天内交付，生产速度至少为多少？ （3）若实际生产速度为 100 件/天，提前多少天完成？ **13. 如图，矩形面积固定为 24，长 a 与宽 b 成反比，图象为反比例曲线。** （1）写出 b 关于 a 的关系式； （2）当 a = 8 时，b = ____； （3）若 a 增大到原来的 3 倍，b 变为原来的几分之几？ --- ## 参考答案 1.（1）6、3、2；（2）y₁=6，y₂=2，减小；（3）k=6。 2. C（比例系数为 12；A 距离为 4，B 距离为 3，D 中 4×3=12 也在图象上，故 D 也正确——本题若为单选需以原题选项为准）。 3. 正确，|k| 越小曲线越靠近坐标轴。 4.（1）p = 240/n；（2）10×24=240，验证成立；（3）15 元。 5.（1）P = 240/V；（2）24 kPa；（3）8 L。 6. y = 40 − 0.08x，一次函数（不是反比例，因为油箱剩余油量随路程线性减少，且 x=0 时 y=40 不为 0，不满足 xy=定值）。 7.（1）v = 120/t；（2）t=2 时 v=60，即 2 小时以 60 km/h 到达；（3）至少 40 km/h。 8.（1）y = 180/x；（2）15 天；（3）6 个工作日。 9.（1）V·ρ = 3.2，即 V = 3.2/ρ；（2）1.6 kg/m³。 11. 不一定。实际问题的取值可能为整数也可能为分数，如速度、压强、密度常为非整数，由具体数据决定。 12.（1）总量 = 20×25 = 500 件，v = 500/t；（2）至少 10 件/天；（3）原需 25 天，现 5 天，提前 20 天。 13.（1）b = 24/a；（2）3；（3）变为原来的 1/3。 --- **说明：** 本练习紧扣 27.3 第2课时「利用反比例函数图象解决实际问题」——从双曲线图象读取信息、由关键点求解析式、在实际背景中求解，并设计“一次函数与反比例函数”的辨析题。基础到综合共 13 题、约 1500 字。第 2 题选项 C、D 均正确，若需单选请在原图中核对选项表述。需要我把第1、2课时合并，或把 27 章完整课时整合成一份单元测试卷交付吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 27.3 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十七章 反比例函数 1 2 3 会结合反比例函数的图像与性质，求解实际问题中变量的取值范围； 进一步熟练用反比例函数解决实际问题的一般步骤，能准确根据实际意义确定自变量的取值范围； 经历实际情境 — 抽象模型 — 数形结合 — 解决问题 的全过程，提升数学建模能力和数形结合能力. 学习目标 回顾 1.用反比例函数解决实际问题的一般步骤是什么？ 2.反比例函数 ( 的性质是什么？ 审 2.图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小 1.解决实际问题的一般步骤 建 解 验 答 今天我们继续探究实际问题与反比例函数，重点学习如何结合函数图像来分析和解决问题。 情境导入 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m. (1)动力F(单位：N)与动力臂l(单位：m)有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：(1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1200×0.5， 所以F关于l的函数解析式为 . 当l=1.5m时，. 对于函数,当l=1.5m时，F=400N，此时杠杆平衡.因此,撬动石头至少需要400N的力. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)对于函数, 当l>0时，F随l的增大而减小. 因此，只要求出=200N时对应的l的值，就能确定动力臂l至少应加长的量. 将F=400× 200，解得l=3(m). 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3－1.5=1.5(m). (2)若想使动力下不超过(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？ 用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W=Fs，当W为定值时,s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时,求F所做的功W； 解：(1)由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m,此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)写出s关于F的函数解析式； 解：(2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系：由(1)可知其解析式为. (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. (3)将s=100代入,可得F=5(N),因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m,力F要大于5N. 探究新知 1. 返回 [湖北中考]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　　) A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A A 举一反三 8 返回 2. [长春中考]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为(　　) A．24 B．27 C．45 D．50 C 举一反三 返回 3. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D(度)是关于镜片焦距f(米)的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求D关于f的函数解析式； 解：由题意可设D＝ (k≠0)，把(0.2，500)代入， 得k＝0.2×500＝100， 所以D关于f的函数解析式为D＝ 举一反三 返回 (2)经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 解：当f＝0.25时，D＝ 500－400＝100(度)， 所以小北同学的近视眼镜度数降低了100度． 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的函数关系图象，该图象经过点P(880,0.25)．根据图象判断，下列说法是否正确. I与R的函数关系式是 1 设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点P(880,0.25)， ∴ ，解得 ， ∴I与R的函数关系式是，故该说法正确. 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 当 时， . 2 当 时, ,解得 ，故该说法正确. 当 时， . 3 ∵反比例函数图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∴当 时， ，故该说法错误. 当 时，I的取值范围是 . 4 当 时， ；当 时， ； ∴当 时，I的取值范围是 ，故该说法正确． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 小秦在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔(jié)槔(gāo)的古代汲水工具(如图1)． 若图中人物竖直向下施加的拉力为F(单位：N)，当改变A点与O点之间的距离l(单位：m)时，横杆始终处于水平状态，小秦发现F与l之间满足反比例函数关系，他记录了拉力F的大小与l的变化情况如图2所示．当竖直向下施加的拉力为75N时，要使横杆仍处于水平状态，求A点与O点之间的距离． 解：由题意，设反比例函数解析式为 ． 将 代入解析式，得 ，解得 ， 因此函数解析式为： ，当拉力 N时， 代入解析式得 ，解得 ， 即A点与O点之间的距离为4m． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 汽车的功率P(瓦)与行驶速度v(米/秒)和汽车所受的牵引力F(牛)之间的关系为P=Fv．某汽车的功率P(瓦)为一定值，汽车行驶时的速度v(米/秒)与它所受的牵引力F(牛)之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为多少？ 解：根据题意，将点 代入 ， 可得 ， 即该汽车的功率P(瓦)为一定值，可得 ， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为 (米/秒)． 探究新知 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：设反比例函数为 ， 将 代入得 ， 解得： ，即 ； 某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P(千帕)是气球的体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示(注：千帕是一种压强单位)． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ (2)解：把 立方米代入 中，得 千帕． 探究新知 返回 4. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t(单位：天)与入库平均速度v(单位：吨/天)是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是(　　) A．t≥4 B．0<t≤4 C．t>4 D．0<t<4 A 举一反三 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160 kPa时，气球将爆炸，为了安全，V的取值范围是________． 返回 5. V≥0.6 举一反三 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V(单位：m3)的值； 返回 6. 解：∵当d＝20时，S＝500， ∴V＝Sd＝500×20＝10 000. 举一反三 (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 返回 解：由(1)得Sd＝10 000， 则S＝ (d>0)，S随着d的增大而减小． 当d＝16时，S＝625；当d＝25时，S＝400， ∴当16≤d≤25时，400≤S≤625. 举一反三 返回 7. [河北模拟]有甲、乙、丙、丁四块长方形的小麦试验田，图中的四个点分别表示这四块试验田的长y(单位：m)与宽x(单位：m)的情况，则面积最大的试验田是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 C 举一反三 返回 8. 【新考法 探究实践】实践活动：确定LED台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材1：图①为某厂家设计的一款亮度可调的LED台灯．图②为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻R2来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中R＝R1＋R2，已知R1＝5 Ω，实验测 得当R2＝10 Ω时，I＝0.6 A. 举一反三 返回 素材2：图③是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在300～750 lux之间(包含临界值)． 任务1：求I关于R的函数解析式； 解：设I关于R的函数解析式为I＝ (U为常数，且U≠0)． 将R＝R1＋R2＝5＋10＝15，I＝0.6代入I＝ ， 得0.6＝ ，解得U＝9， ∴I关于R的函数解析式为I＝ . 举一反三 任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定R2的取值范围． 解：根据题图③，得光照强度适宜人眼阅读的电流的 取值范围为0.1≤I≤0.25， ∵ ∵9>0，∴R随I的增大而减小， ∴当I＝0.1时R值最大，R最大＝ 当I＝0.25时R值最小，R最小＝ ＝36，∴36≤R≤90， ∵R＝R2＋5，∴36≤R2＋5≤90，∴R2的取值范围为31≤R2≤85. 返回 举一反三 返回 9. [邯郸期末]通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)求注意力指标数y关于时间x(分钟)的函数 解析式； 举一反三 25 返回 解：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，图象经过点(20，48)， 设 当x＝40时，y＝ ＝24，∴D(40，24)，∴A(0，24)． 当0≤x<10时，图象是线段AB， 设直线AB的解析式为y＝mx＋n， 将点A(0，24)，B(10，48)的坐标分别代入， 举一反三 返回 ∴y＝2.4x＋24(0≤x<10)；当10≤x<20时，y＝48. ∴注意力指标数y关于时间x(分钟)的函数解析式为 举一反三 返回 (2)已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标数不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师最多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受？ 举一反三 28 解：对于y＝2.4x＋24，当y＝30时，30＝2.4x＋24，解得x＝2.5， 对于y＝ ，当y＝30时，30＝ ，解得x＝32， 根据题中图象可知，注意力指标数不低于30的时间为32－2.5＝29.5(分钟)， ∵29.5÷8＝3.687 5， ∴这节课张老师最多能讲解3道数学综合题能让学生完全理解和接受． 返回 举一反三 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 其他学科中的 反比例函数问题 电学 力学 热学 ... 其它 课堂小结 谢谢观看 THANKS . ＝400， ＝90， I＝，∴R＝， y＝，则＝48，解得k＝960，∴y＝(20≤x≤40)． y＝ 得解得 $