27.3 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题（课件）--2026-2027学年人教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦“利用反比例函数图象解决实际问题”，通过“气球气压与体积关系”等情境导入，承接反比例函数概念与图象性质，搭建“实际情境→建立模型→解决问题”的学习支架。 其亮点是以灌溉用水、生产零件等生活实例为载体，通过“审设列解检答”步骤培养数学思维与模型意识，结合图象分析取值范围提升数学眼光。学生能提升实际应用能力，教师可借助结构化案例高效教学。

人教版（新教材）数学九年级上册 第27章 反比例函数 27.3 第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/22 27.3第2课时 利用反比例函数图象解决实际问题专项练习 核心考点：实际问题反比例函数图象绘制、图象信息读取、利用图象求解取值范围、结合图象解决生活最值与方案问题（满分100分） 一、选择题（每题6分，共30分） 1. 实际情境中的反比例函数，自变量通常表示长度、数量、时间等正数，因此其图象一般为（） A. 完整双曲线 B. 第一象限内的双曲线分支 C. 第二象限分支 D. 第四象限分支 2. 已知总工程量一定，工作时间\(y\)（小时）与工作效率\(x\)（件/小时）的反比例函数图象经过点\((4,12)\)，则总工程量为（） A. 16 B. 48 C. 3 D. 96 3. 某反比例函数图象反映压强与受力面积的关系，图象在第一象限，由此可判断该函数比例系数\(k\)的符号为（） A. \(k>0\) B. \(k<0\) C. \(k=0\) D. 无法确定 4. 从反比例函数实际图象中读取数据，当自变量逐渐增大时，函数值快速减小，该情境符合（） A. 总价固定，单价随数量增大升高 B. 面积固定，长随宽增大减小 C. 路程变长，速度保持不变 D. 效率固定，时间随总量增加增加 5. 若实际问题中反比例函数\(y=\frac{k}{x}(x>0,k>0)\)，结合图象可知，当\(x≥5\)时，\(y\)的取值范围是（） A. \(y≥\frac{k}{5}\) B. \(y≤\frac{k}{5}\) C. \(y≥5\) D. \(y≤5\) 二、填空题（每题6分，共30分） 6. 利用反比例函数图象解决实际问题时，无需绘制完整双曲线，只需绘制________象限内的函数图象。 7. 某商品总销售额不变，销量\(y\)与单价\(x\)的函数图象过点\((10,20)\)，则总销售额为________元。 8. 根据反比例函数图象增减性，在第一象限内，自变量越大，对应的实际函数值越________。 9. 已知反比例函数图象上两点\((2,15)\)、\((5,m)\)，对应实际总量恒定，则\(m=\)________。 10. 结合函数图象可直接判断，当实际自变量取值范围缩小时，对应函数值的波动范围会________。 三、解答题（共40分） 11.（12分）某农场固定灌溉用水量为120吨，设每日用水量为\(x\)吨，可用天数为\(y\)天。（1）求\(y\)与\(x\)的函数解析式及自变量取值范围；（2）简述该函数图象的大致特征。 12.（14分）某工厂生产零件，固定原材料可生产零件总数恒定，生产速度\(x\)（个/天）与生产天数\(y\)（天）成反比例函数关系，其图象经过点\((30,20)\)。（1）求函数解析式；（2）结合图象说明，若生产天数不超过15天，生产速度至少为多少？ 13.（14分）已知一定质量的水，体积\(V(m³)\)与密度\(\rho(kg/m³)\)成反比例，函数图象过点\((2,500)\)。（1）求函数解析式；（2）根据图象分析，当体积\(2≤V≤5\)时，密度的取值范围。 参考答案与解析 1.B 解析：实际问题中自变量、函数值均为正数，图象仅为第一象限双曲线分支。 2.B 解析：反比例函数\(k=xy=4×12=48\)，即总工程量为48件。 3.A 解析：第一象限反比例函数图象对应的比例系数恒为正数。 4.B 解析：面积固定，长与宽成反比例，宽增大、长减小，符合图象变化规律。 5.B 解析：\(k>0、x>0\)时，函数单调递减，\(x≥5\)则\(y≤\frac{k}{5}\)。 6.第一 7.200 8.小 9.6 10.缩小 11.解析：（1）由总用水量恒定得\(xy=120\)，解析式为\(y=\frac{120}{x}(x>0)\)；（2）图象为第一象限内递减的双曲线分支，从左上向右下延伸，无限靠近坐标轴但不相交。 12.解析：（1）代入点\((30,20)\)得\(k=600\)，解析式为\(y=\frac{600}{x}(x>0)\)；（2）由图象递减性质，\(y≤15\)时，\(x≥40\)，生产速度至少40个/天。 13.解析：（1）代入\((2,500)\)得\(k=1000\)，解析式为\(\rho=\frac{1000}{V}(V>0)\)；（2）由图象可知\(2≤V≤5\)时，\(200≤\rho≤500\)。 （字数：1122） 情境导入 1.结合图示理解反比例函数的实际意义，能根据实际情境建立反比例函数模型并求解. (重点) 2.通过分析实际问题中的数量关系，经历“抽象函数模型→求解→应用”的过程，提升建模能力. (难点) 3.感受数学与生活的联系，体会反比例函数在解决实际问题中的价值. 学习目标 反比例函数的实际应用一般步骤： (1) 确定函数关系，设出 ； (2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ； (3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ； (4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题. 函数解析式 k 值　 取值范围 情境导入 我们都知道，气球内可以充满一定质量的气体. 如果在温度不变的情况下，气球内气体的气压 p（kPa）与气体体积 V（m3）之间有怎样的关系？你想知道气球在什么条件下会爆炸吗？ 情境导入 在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移s（单位：m），则力F 所做的功 W（单位：J）满足 W=Fs. 当 W 为定值时，s 与F 之间的函数关系如图所示. （1）当力F 为10 N时，求F 所做的功W； 例1 解：（1）由图可知，当力F为10 N时，物体在力F 的方向上发生的位移s为50 m， 此时F 所做的功W=Fs=1050=500（J）. 探究新知 在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移s（单位：m），则力F 所做的功 W（单位：J）满足 W=Fs. 当 W 为定值时，s 与F 之间的函数关系如图所示. （2）写出S 关于F 的函数解析式； 例1 解：（2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s 与F 之间的关系. 由（1）可知其解析式为 s=. 探究新知 在力 F（单位：N）的作用下，若物体会在力 F 的方向上发生位移s（单位：m），则力F 所做的功 W（单位：J）满足 W=Fs. 当 W 为定值时，s 与F 之间的函数关系如图所示. 例1 （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：（3）当s=100 代入 s= ，可得 F=5 (N). 因为s 随着F 的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m，力F要大于5 N. 探究新知 一看轴 二看图 三设式 四求解 看横轴、纵轴表示的具体含义 观察图象形态，选择函数模型 设出函数解析式 将图中已知点的坐标代入解析式，求出待定系数 由函数图象确定函数解析式的方法 探究新知 如图是某一蓄水池的排水速度v（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间的函数图象. 跟踪训练 （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的总蓄水量； （2）写出此函数的解析式； 解：（1）此蓄水池的总蓄水量为4 000×12=48 000 (m3). （2）此函数的解析式为. 探究新知 如图是某一蓄水池的排水速度v（m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t（h）之间的函数图象. 跟踪训练 （3）若要不超过8 h排完水池中的水，则该蓄水池的排水速度至少是多少？ 解：（3）当t=8 h时，v = = 6 000 (m3/h). 因为当t >0时，v 随t 的增大而减小，所以要不超过8 h排完水池中的水，该蓄水池的排水速度需不低于6 000 m3/h. 探究新知 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 （单位：km/h）与行驶全程所用时间 （单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； 例2 解：(1) 甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述 v 与 t 之间的关系. 由图可知，当 t=2 时，v=120. 于是有 当 v=60 时，由 得 t=4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小，所以 2≤ t ≤4. 探究新知 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 （单位：km/h）与行驶全程所用时间 （单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. 例2 (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围. 解：(2) 客车上午 8 时从甲地出发， 若当天 10 时 40 分到达乙地，则行驶全程所用时间 t=2 h， 代入v，可得 v=90（km/h）； 若当天 11 时到达乙地，则行驶全程所用时间 t=3 h， 代入v，可得 v=80（km/h）. 因为平均速度 v 随着行驶全程所用时间 t 的增大而减小， 所以客车平均速度 v 的范围是 80≤v≤90. 探究新知 跟踪训练 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形相邻两边的长分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 关于x 的函数图象是（　　） 解析：根据题意和题图可知，小矩形相邻两边的长分别为x,y, 则一个小矩形的面积是 xy=10，即y=. 又 2≤x≤10，所以当x=2时，y取最大值5；当x=10时，y取最小值1.故选A. 易错点拨：实际问题中反比例函数的图象往往只是双曲线的一支或一支的一部分，本题的易错点为忽略自变量的取值范围而错选B. A 探究新知 1. 已知矩形的面积为 10，长和宽分别为 x 和 y， 则 y 关于 x 的函数图象大致是(　C　) 　易错通关：函数实际问题中需注意自变量的取值 范围要符合情境.(如x＞0，x为正整数等) C 当堂检测 2. 静静一家计划外出旅游，家中的一盆海棠无人照料，为此静静从网上买来了一个简易滴水装置，既可以通过调节水滴流速控制每天的浇水量，又可以节水.通过实验静静得到了如图所示的使用天数 y (天)与每天用水量 x (百滴)之间的函数关系.已知这盆海棠生长阶段过程中需要的浇水量为每天 400～500 滴，利用此装置，最少可以用的天数为(C　) A. 18天 B. 19天 C. 20天 D. 21天 C 当堂检测 3. 钢琴调音时(将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高)，琴弦的振动频率 f (Hz) 是琴弦张力 T (N) 的反比例函数.已知当张力 T＝200N 时，频率 f＝220Hz (即达到标准音高A3).若要使频率升高到 440 Hz(即达到标准音高A4)，应该如何调整张力(　　) A. 增大至150N B. 减小至150N C. 增大至100N D. 减小至100N D 当堂检测 4.[教材变式]在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的氧气，其体积 V (m3)是密度 ρ (kg/m3)的反比例函数，其图象如图所示，则： (1) 这个反比例函数的解析式为 ⁠； (2) 当ρ＝1.5kg/m3时， 氧气的体积V＝ m3. V＝(ρ＞0)　 6　 当堂检测 5. 一辆客车从A地出发前往B地，平均速度 v (km/h)与所用时间 t (h)的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120. (1)求 v 与 t 的函数关系式； 解：(1)设v与t的函数关系式为 v＝(k≠0)， 把点(6，100)代入得100＝，解得k＝600， ∴v 与 t 的函数关系式是 v＝. 当堂检测 5. 一辆客车从 A 地出发前往B地，平均速度 v (km/h)与所用时间t(h)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (2)该客车上午8时从A地出发，需在当天14时至15时 30分之间(含14时与15时30分)到达B地，求客车的行 驶速度v的取值范围.，∴80≤v≤100. 解：(2)由题意得6≤t≤7.5，当t＝6时， v＝＝100，当t＝7.5时，v＝＝80. ∵v 随着 t 的增大而减小，∴80≤v≤100. 当堂检测 1. 返回 [湖北中考]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是(　　) A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A A 举一反三 20 返回 2. [长春中考]在功W(J)一定的条件下，功率P(W)与做功时间t(s)成反比例，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为(　　) A．24 B．27 C．45 D．50 C 举一反三 返回 3. 近年来，我国大力推进青少年近视防控工作，并取得了一定成效．通过查阅资料，发现近视眼镜的度数D(度)是关于镜片焦距f(米)的反比例函数，其函数图象如图所示，已知500度近视眼镜的镜片焦距为0.2米． (1)求D关于f的函数解析式； 解：由题意可设D＝ (k≠0)，把(0.2，500)代入， 得k＝0.2×500＝100， 所以D关于f的函数解析式为D＝ 举一反三 返回 (2)经过一段时间的矫正治疗，小北同学的镜片焦距由原来的0.2米调整到0.25米，则小北同学的近视眼镜度数降低了多少？ 解：当f＝0.25时，D＝ 500－400＝100(度)， 所以小北同学的近视眼镜度数降低了100度． 举一反三 返回 4. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t(单位：天)与入库平均速度v(单位：吨/天)是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是(　　) A．t≥4 B．0<t≤4 C．t>4 D．0<t<4 A 举一反三 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160 kPa时，气球将爆炸，为了安全，V的取值范围是________． 返回 5. V≥0.6 举一反三 某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V(单位：m3)的值； 返回 6. 解：∵当d＝20时，S＝500， ∴V＝Sd＝500×20＝10 000. 举一反三 (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 返回 解：由(1)得Sd＝10 000， 则S＝ (d>0)，S随着d的增大而减小． 当d＝16时，S＝625；当d＝25时，S＝400， ∴当16≤d≤25时，400≤S≤625. 举一反三 反比例函数模型 利用反比例函数的图象和性质求解 实际问题的答案 构建 数学问题 跨学科问题 生活实际问题 实际问题 利用反比例函数解决实际问题的一般步骤 审 设 列 解 检 答 课堂小结 谢谢观看 THANKS . ＝400， $