1.4.2 充分条件与必要条件（2）同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.2 充分条件与必要条件（2） 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、 单项选择题 1 (2025天津期末)已知a，b∈R，则“a<b<0”是“>1”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2 (2025南京鼓楼期中)“x＝2”是“x2－x－2＝0”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3 (2025北京五十七中期末)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4 设集合A，B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩(∁UB)＝∅”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 (2025武汉关谷未来学校月考)“a>b” 是“a2>b2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6 已知甲是乙的必要条件，丙是乙的充分不必要条件，则下列说法中正确的是(　　) A. 丙是甲的充分不必要条件 B. 丙是甲的必要不充分条件 C. 丙是甲的充要条件 D. 丙是甲的既不充分也不必要条件 7 (2025松原期末)已知p：x2－4x＋3＝0，q：－3≤x－1≤m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为(　　) A. {m|m>}　 B. {m|m≥} C. {m|m>－2} D. {m|m≥－2} 8 (2025南师大附中期中)设a，b∈R，则“ab＋1≠a＋b”的一个必要不充分条件是(　　) A. a，b都为0 B. a，b都不为0 C. a，b中至多有一个是1 D. a，b都不为1 二、 多项选择题 9 若“x>m2－2”的充分不必要条件是“0<x<1”，则实数m的值可以是(　　) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 10 (2025衡水中学期中)若“x<m或x>m＋2”是“－1<x<4”的必要不充分条件，则实数m的值可以是(　　) A. －5 B. －3 C. 3 D. 5 三、 填空题 11 (2025鄂东南期中)已知“x>1”是“x>m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 12 (2025天津五十七中月考)已知p：方程x2－ax＋1＝0有实数根，q：a>3，则p是q的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 13 (2025丹东凤城二中月考)已知命题p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”，若p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是________． 四、 解答题 14 (2025皖西当代中学期中)已知命题p：关于x的方程x2－2ax＋a2＋2a－8＝0有实数根． (1) 若p是真命题，求实数a的取值范围； (2) 记p是真命题时，实数a的取值集合为M，集合N＝{a|m－2≤a≤m＋8}，若“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 15 (2025遵义期末)已知集合A＝{x|－1<x<}，集合B＝{x|2a－1<x<a＋1}，a∈R. (1) 当a＝－1时，求A∩B； (2) 若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16 (2025淮南四中月考)已知ab≠0，求证：a3－2a2b＋2ab2－b3＝0成立的充要条件是a－b＝0. 参 考 答 案 1. A　因为a<b<0，所以>1成立，故充分性成立；因为>1，取a＝2，b＝1，则a>b>0，故必要性不成立．故“a<b<0”是“>1”的充分不必要条件． 2. A　由x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，所以“x＝2”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件． 3. C　方法一：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 方法二：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以＋＝＝＝＝＝－2，所以充分性成立；因为xy≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝＝－2＝－2，所以＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件． 4. C　如图，由A⊆B可推出A∩(∁UB)＝∅，同时由A∩(∁UB)＝∅可推出A⊆B，所以“A⊆B”是“A∩(∁UB)＝∅”的充要条件． 5. D　当a＝1，b＝－2时，满足a>b，此时a2<b2；当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，此时a<b，所以“a>b” 是“a2>b2”的既不充分也不必要条件． 6. A　因为甲是乙的必要条件，所以乙可以推出甲．因为丙是乙的充分不必要条件，所以丙可以推出乙，乙推不出丙，所以丙可以推出甲，甲推不出丙，即丙是甲的充分不必要条件． 7. B　设集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}，集合B＝＝{x|－4≤x≤2m＋2}．因为p是q的充分条件，所以A是B的子集，则解得m≥. 8. C　因为ab＋1≠a＋b，所以(1－a)×(1－b)≠0，即a≠1且b≠1.对于A，当a，b都为0时，(1－0)×(1－0)＝1≠0，满足ab＋1≠a＋b，但当ab＋1≠a＋b时，a，b不一定都为0，例如当a＝2，b＝2时，(1－2)×(1－2)＝1≠0，所以“a，b都为0”是“ab＋1≠a＋b”的充分不必要条件，故A错误；对于B，当a，b都不为0时，例如当a＝2，b＝1时，(1－2)×(1－1)＝0，不满足ab＋1≠a＋b，当ab＋1≠a＋b时，a，b也可能为0，所以“a，b都不为0”是“ab＋1≠a＋b”的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，因为ab＋1≠a＋b，所以a≠1且b≠1能推出a，b中至多有一个是1，当a，b中至多有一个是1时，例如当a＝1，b＝2时，(1－1)×(1－2)＝0，不满足ab＋1≠a＋b，所以由a，b中至多有一个是1不能推出ab＋1≠a＋b，故“a，b中至多有一个是1”是“ab＋1≠a＋b”的必要不充分条件，故C正确；对于D，因为“a，b都不为1”是“ab＋1≠a＋b”的等价条件，所以“a，b都不为1”是“ab＋1≠a＋b”的充要条件，故D错误． 9. ABC　由题意，得m2－2≤0，解得－≤m≤，易知－1，0，1满足题意．故选ABC. 10. ABD　由必要不充分条件的定义可知m≥4或m＋2≤－1，所以m≥4或m≤－3，所以实数m的值可以是－5，－3和5.故选ABD. 11. {m|m<1}　因为“x>1”是“x>m”的充分不必要条件，所以{x|x>1}是{x|x>m}的真子集，即m<1. 12. 必要不充分　因为p：方程x2－ax＋1＝0有实数根，所以a2－4≥0，即a≥2或a≤－2.因为q：a>3，所以p是q的必要不充分条件． 13. {m|m>0}　若命题p：“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根”为真命题，则当a＝0时，2x＋1＝0，x＝－，符合题意；当a<0时，Δ＝4－4a>0，且x1＋x2＝－>0，x1x2＝<0，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一个负根，符合题意；当a>0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1，此时方程为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝0，x＝－1，符合题意；由 Δ＝4－4a>0，解得0<a<1，此时x1＋x2＝－<0，x1x2＝>0，则此时方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，符合题意．综上，若p为真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤1}.因为p为真命题的一个必要不充分条件为a≤m＋1，所以m＋1>1，解得m>0. 14. (1) 当p为真命题时，x2－2ax＋a2＋2a－8＝0有实数解，即Δ＝(－2a)2－4(a2＋2a－8)＝－8a＋32≥0， 解得a≤4，即实数a的取值范围是{a|a≤4}． (2) 由(1)知，M＝{a|a≤4}． 因为N＝{a|m－2≤a≤m＋8}，且“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件， 所以NM，则m＋8≤4， 解得m≤－4，即实数m的取值范围是{m|m≤－4}． 15. (1) 当a＝－1时，B＝{x|－3<x<0}． 又A＝，所以A∩B＝{x|－1<x<0}． (2) 由“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，得AB， 所以或 解得－<a≤0或－≤a<0. 综上，实数a的取值范围是{a|－≤a≤0}． 16. 充分性：因为a－b＝0， 所以a3－2a2b＋2ab2－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2)＝0， 故充分性成立； 必要性：因为a3－2a2b＋2ab2－b3＝0， 所以a3－2a2b＋2ab2－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2)＝0. 又a2－ab＋b2＝2＋， 由ab≠0，得a≠0且b≠0， 所以2≥0，且>0， 所以a2－ab＋b2＝2＋>0，则a－b＝0. 故必要性成立． 综上，a3－2a2b＋2ab2－b3＝0成立的充要条件是a－b＝0. 数学练习 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $