1.4.2 充要条件 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·人教A版必修第一册　1.4.2　充要条件　课时作业 第一章　集合与常用逻辑用语 1.4.2　充要条件 课 时 作 业 （建议用时：45分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 【学习目标】 1．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。 2．能准确判断p是q的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件或既不充分也不必要条件。 3．会证明简单的充要条件问题，能根据充分、必要、充要条件求参数的取值范围。 【知识梳理】 一、充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件，也称p与q等价，或“q当且仅当p”。 二、四种条件关系 推出关系 p与q的关系 p⇒q，且q⇏p p是q的充分不必要条件 p⇏q，且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p（即p⇔q） p是q的充要条件 p⇏q，且q⇏p p是q的既不充分也不必要条件 三、从集合的角度理解（设A={x | p(x)}，B={x | q(x)}） （1）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；（2）若B⫋A，则p是q的必要不充分条件； （3）若A=B，则p是q的充要条件；（4）若A，B互不包含，则p是q的既不充分也不必要条件。 图1　四种条件关系的集合表示 记忆口诀：“小推大，大不推小”。小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件。 四、数学定义与充要条件 数学中，只要是定义，就给出了一个充要条件。例如，“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，说明对于平行四边形而言，“有一组邻边相等”是“它是菱形”的充要条件。 数学中的很多判定定理，其逆命题也成立，此时也可以得到充要条件。例如，“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件。 五、充要条件的证明 证明“p是q的充要条件”，需要证明两个方面： （1）充分性：证明p⇒q；（2）必要性：证明q⇒p。 注意分清方向：“p是q的充要条件”中，充分性是p⇒q；而“p的充要条件是q”中，q是条件，充分性是q⇒p，必要性是p⇒q。 六、方法提炼 （1）定义法：分别判断p⇒q和q⇒p是否成立。 （2）集合法：比较p，q对应集合的包含关系，适用于条件可以用范围表示的问题。 （3）传递法：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r，可以借助中间条件进行判断。 （4）求参数范围：根据条件关系写出集合关系，再列不等式（组）求解，并检验端点能否取到；“不充分”“不必要”意味着两个集合不能相等。 【典型例题】 例1　判断下列各题中，p是q的什么条件： （1）p：x=1，q：x²=1；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形的三个角对应相等； （3）p：xy>0，q：x>0；（4）p：a>b，q：a+c>b+c。 【解析】（1）x=1⇒x²=1；但x²=1时x=±1，q⇏p。所以p是q的充分不必要条件。 （2）由相似三角形的定义与判定可知p⇔q，所以p是q的充要条件。 （3）当x=-1，y=-1时，xy>0，但x<0，p⇏q；当x=1，y=-1时，x>0，但xy<0，q⇏p。所以p是q的既不充分也不必要条件。 （4）由不等式的性质，a>b⇒a+c>b+c；a+c>b+c两边同时减去c得a>b，即q⇒p。所以p是q的充要条件。 【方法总结】判断条件关系的关键是分别考察“p⇒q”与“q⇒p”两个方向，缺一不可。 例2　已知a≠0，求证：关于x的方程ax²+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0。 【解析】设p：方程ax²+bx+c=0有一个根为-1，q：a-b+c=0。本题要证明p⇔q。 ①充分性（q⇒p）：因为a-b+c=0，所以当x=-1时，a×(-1)²+b×(-1)+c=a-b+c=0，即x=-1是方程ax²+bx+c=0的一个根。 ②必要性（p⇒q）：因为方程ax²+bx+c=0有一个根为-1，把x=-1代入方程得a×(-1)²+b×(-1)+c=0，即a-b+c=0。 所以关于x的方程ax²+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0。 【方法总结】本题的表述是“p的充要条件是q”，充分性要证“q⇒p”，必要性要证“p⇒q”。证明时先写清哪个是条件、哪个是结论，可以避免方向出错。 例3　已知p：-1≤x≤5，q：1-m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。 【解析】设A={x | -1≤x≤5}，B={x | 1-m≤x≤1+m}（m>0）。 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p⇏q，即B⫋A（如图）。 所以1-m≥-1，且1+m≤5，且两个等号不能同时成立，解得m≤2且m≤4，即0<m≤2。 当m=2时，B={x | -1≤x≤3}⫋A，满足题意。 所以实数m的取值范围是{m | 0<m≤2}。 【方法总结】“必要不充分”对应的集合关系是“真包含”，列不等式组时两个端点不能同时取等号，最后要检验端点。 【课时作业】 A组　基础巩固 一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题目要求） 1．“x=2”是“(x-2)(x+3)=0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设a∈R，则“a²>1”是“a>1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在△ABC中，“∠A=∠B”是“BC=AC”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设a，b是非零实数，则“a>b”是“<”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知A，B是两个非空集合，则“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设p：x<1，q：x<m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m>1 C．m≤1 D．m<1 二、多项选择题（每小题有多个选项符合题目要求） 7．下列各题中，p是q的充要条件的有（　　） A．p：a²=b²，q：|a|=|b| B．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分 C．p：a=0，q：ab=0 D．p：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，q：b²-4ac>0 8．设U为全集，A，B是U的子集，下列选项中，是“A⊆B”的充要条件的有（　　） A．A∩B=A B．A∪B=B C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∩(∁UB)=∅ 三、填空题 9．用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空：（1）“x>5”是“x>3”的________条件；（2）“a+b>0”是“ab>0”的________条件；（3）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，“a²+b²=c²”是“△ABC为直角三角形”的________条件。 10．已知p：x≥a，q：x≥2，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________________。 11．“关于x的方程x²-2x+m=0有两个不相等的实数根”的充要条件是________________（用m表示）。 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．判断下列各题中，p是q的什么条件，并说明理由： （1）p：|x|=|y|，q：x=y； （2）p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； （3）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是平行四边形； （4）p：x>1，q：<1。 13．求证：关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2。 B组　能力提升 五、单项选择题 14．已知a，b∈R，则“ab>0”是“|a+b|=|a|+|b|”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设集合M={x | 0<x≤3}，N={x | 0<x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 六、多项选择题 16．下列说法正确的是（　　） A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．“x∈A∩B”是“x∈A”的充要条件 C．若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件 D．“m<0”是“关于x的方程x²-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件 七、填空题 17．已知p：a-1<x<a+1，q：0<x<3，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________________。 八、解答题 18．已知集合A={x | -1≤x≤3}，B={x | m-2≤x≤m+2}。 （1）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围； （2）若“x∈A”是“x∉B”的充分条件，求实数m的取值范围。 19．已知a，b，c是△ABC的三边长，求证：关于x的方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90°。 【答案及解析】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 答案 A B C D B B AD ABD A B ACD 1．【答案】A 【解析】x=2⇒(x-2)(x+3)=0；而(x-2)(x+3)=0⇒x=2或x=-3，不能推出x=2。所以“x=2”是“(x-2)(x+3)=0”的充分不必要条件。故选A。 2．【答案】B 【解析】a>1⇒a²>1；而a²>1时，a>1或a<-1，不能推出a>1（如a=-2）。 所以“a²>1”是“a>1”的必要不充分条件。故选B。 3．【答案】C 【解析】在△ABC中，边BC与AC分别是∠A，∠B的对边。由“等角对等边”知∠A=∠B⇒BC=AC；由“等边对等角”知BC=AC⇒∠A=∠B。 所以“∠A=∠B”是“BC=AC”的充要条件。故选C。 4．【答案】D 【解析】取a=1，b=-1，满足a>b，但=1>=-1，所以“a>b”⇏“<”； 取a=-1，b=1，满足=-1<=1，但a<b，所以“<”⇏“a>b”。 所以“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件。故选D。 5．【答案】B 【解析】因为A∩B⊆A∪B，所以x∈A∩B⇒x∈A∪B；但x∈A∪B时，x可能只属于A而不属于B，不能推出x∈A∩B。 所以“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的必要不充分条件。故选B。 6．【答案】B 【解析】由题意，{x | x<1}⫋{x | x<m}，所以m>1。 注意：当m=1时，两个集合相等，p是q的充要条件，不符合“不必要”的要求，所以m≠1。故选B。 7．【答案】AD 【解析】A：a²=b²⇔|a|²=|b|²⇔|a|=|b|，是充要条件； B：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，q⇏p，不是充要条件； C：a=0⇒ab=0，但ab=0⇏a=0（如a=1，b=0），不是充要条件； D：由一元二次方程根的判别式可知p⇔q，是充要条件。故选AD。 8．【答案】ABD 【解析】A：A⊆B⇔A∩B=A，正确；B：A⊆B⇔A∪B=B，正确； C：A⊆B⇔(∁UB)⊆(∁UA)，与选项中的包含方向相反，所以该选项不是“A⊆B”的充要条件（例如A⫋B时，(∁UA)⊆(∁UB)不成立）； D：A∩(∁UB)=∅表示A中没有不属于B的元素，即A⊆B，反之也成立，正确。故选ABD。 9．【答案】充分不必要；既不充分也不必要；充分不必要 【解析】（1）{x | x>5}⫋{x | x>3}，所以“x>5”是“x>3”的充分不必要条件； （2）取a=3，b=-1，a+b>0，但ab<0；取a=b=-1，ab>0，但a+b<0，所以是既不充分也不必要条件； （3）由勾股定理的逆定理，a²+b²=c²⇒∠C=90°，△ABC为直角三角形；但△ABC为直角三角形时，直角可能是∠A或∠B，不一定有a²+b²=c²。所以是充分不必要条件。 10．【答案】{a | a<2} 【解析】由题意得q⇒p，且p⇏q，即{x | x≥2}⫋{x | x≥a}，所以a<2（a=2时两个集合相等，不符合题意）。 11．【答案】m<1 【解析】方程有两个不相等的实数根⇔Δ=(-2)²-4m>0⇔m<1。所以所求充要条件是m<1。 12．【解】（1）x=y⇒|x|=|y|，即q⇒p；但|x|=|y|时，可能x=-y≠y（如x=1，y=-1），p⇏q。所以p是q的必要不充分条件。 （2）直角三角形不一定是等腰三角形，等腰三角形也不一定是直角三角形，p⇏q，q⇏p。所以p是q的既不充分也不必要条件。 （3）由平行四边形的判定定理得p⇒q，由平行四边形的性质定理得q⇒p，所以p是q的充要条件。 （4）当x>1时，0<<1，所以p⇒q；当x=-1时，=-1<1，但x<1，所以q⇏p。故p是q的充分不必要条件。 13．【解】证明：①必要性：设方程x²+mx+1=0的两个负实数根为x1，x2。 因为方程有实数根，所以Δ=m²-4≥0；又由根与系数的关系得x1+x2=-m<0，即m>0。 由m²≥4且m>0，可得m≥2。 ②充分性：当m≥2时，Δ=m²-4≥0，所以方程x²+mx+1=0有两个实数根x1，x2。 由根与系数的关系得x1x2=1>0，所以x1，x2同号；又x1+x2=-m≤-2<0，所以x1，x2都是负数，即方程有两个负实数根。 综上，关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实数根的充要条件是m≥2。 14．【答案】A 【解析】若ab>0，则a，b同号，所以|a+b|=|a|+|b|，充分性成立； 当a=0，b=1时，|a+b|=|a|+|b|=1，但ab=0，必要性不成立。 所以“ab>0”是“|a+b|=|a|+|b|”的充分不必要条件。故选A。 15．【答案】B 【解析】因为N⫋M，所以a∈N⇒a∈M，但a∈M⇏a∈N（如a=3）。 所以“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件。故选B。 16．【答案】ACD 【解析】A：a>1⇒0<<1；而<1时，a>1或a<0，不能推出a>1，所以是充分不必要条件，正确； B：x∈A∩B⇒x∈A，但x∈A⇏x∈A∩B，是充分不必要条件，错误； C：由p⇒q，q⇒r，可得p⇒r，正确； D：若m<0，则Δ=4-4m>0，方程有两个实数根，且两根之积为m<0，所以两根一正一负；反之，若方程有一正根和一负根，则两根之积m<0。所以是充要条件，正确。故选ACD。 17．【答案】{a | 1≤a≤2} 【解析】由题意得{x | a-1<x<a+1}⫋{x | 0<x<3}（如图）， 所以a-1≥0，且a+1≤3，解得1≤a≤2。 由于两个集合所表示的区间长度分别为2和3，不可能相等，所以端点可以取等号。故a的取值范围是{a | 1≤a≤2}。 18．【解】（1）由题意得A⊆B，所以m-2≤-1，且m+2≥3，解得m≤1且m≥1，所以m=1。 即实数m的取值范围是{m | m=1}。 （2）由题意得A⊆∁RB，即A∩B=∅（如图）。 因为B≠∅，所以m+2<-1或m-2>3，解得m<-3或m>5。 所以实数m的取值范围是{m | m<-3或m>5}。 19．【解】证明：①必要性：设x0是两个方程的公共根，则 x0²+2ax0+b²=0，x0²+2cx0-b²=0。 两式相减得2(a-c)x0+2b²=0。因为b>0，所以a≠c（否则b²=0），从而x0=。 把x0代入第一个方程并整理（两边同乘(c-a)²，再除以b²），得b²+2a(c-a)+(c-a)²=0， 展开得b²+2ac-2a²+c²-2ac+a²=0，即a²=b²+c²。由勾股定理的逆定理得∠A=90°。 ②充分性：若∠A=90°，则a²=b²+c²，即b²=a²-c²。 第一个方程可化为x²+2ax+a²-c²=0，即(x+a)²=c²，解得x1=-a+c，x2=-a-c； 第二个方程可化为x²+2cx+c²-a²=0，即(x+c)²=a²，解得x3=a-c，x4=-a-c。 因为x2=x4=-(a+c)，所以两个方程有公共根。 综上，两个方程有公共根的充要条件是∠A=90°。 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $