1.1 集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.1集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、 单项选择题 1 下列说法中，正确的是(　　) A. 某个村子里的高个子组成一个集合 B. 所有小正数组成一个集合 C. 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合 D. 1，0，5，，，，组成的集合有7个元素 2 集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为(　　) A. {0，1，2，3，4} B. {1，2，3，4} C. {0，1，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5} 3 已知集合M是关于x的方程x2－x＋m＝0的解组成的集合，若2∈M，则下列结论中正确的是(　　) A. 1∈M B. 0∈M C. －1∈M D. －2∈M 4 已知集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为(　　) A. {0} B. {1} C. {－1，1} D. {0，－1，1} 5 (2025阜阳期末)已知集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，若1∉A且3∈A，则实数m的取值范围是(　　) A. {m|<m≤} B. {m|≤m<} C. {m|m>} D. {m|m<} 6 (2025宝山期末)集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}是指(　　) A. 第一象限内的所有点组成的集合 B. 第三象限内的所有点组成的集合 C. 第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D. 不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 7 由实数x，－x，|x|，，()2，－所组成的集合，最多可含有的元素个数为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8 (2025南通期末)已知集合M＝{1，2m＋1}，N＝{－1，m2}，且集合M，N相等，则实数m的值为(　　) A. －1 B. 1 C. ±1 D. 0 二、 多项选择题 9 下列说法中，正确的是(　　) A. N*中最小的数是1 B. 若－a∉N*，则a∈N* C. 若a∈N*，b∈N*，则a＋b的最小值是2 D. x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有两个元素 10 (2025景德镇期末)下列说法中，正确的有(　　) A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B. 集合A＝{x|y＝x2＋1}与集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是相同的集合 C. 由1，，，，0.5这些数组成的集合有4个元素 D. 在平面直角坐标系中，第二象限和第四象限内所有的点(x，y)组成的点集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R} 三、 填空题 11 (2025苏州中学期中)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合A＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则集合A中元素的个数是________． 12 (2025扬州期中)已知集合A＝{2，a＋5，a2＋5a}，若6∈A，则实数a的值为________． 13 (2025常熟期中)定义集合A/B＝，若集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，则集合A/B中包含________个元素． 四、 解答题 14 选择适当的方法表示下列集合． (1) Welcome中的所有字母组成的集合； (2) 所有正偶数组成的集合； (3) 二元二次方程组的解集； (4) 所有正三角形组成的集合． 15 (2025内江七中期中)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R}． (1) 若1∈A，求实数a的值； (2) 若集合A中只有一个元素，求实数a的取值范围； (3) 若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 16 (2025南翔高级中学月考)已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M. (1) 判断∈M是否正确，并说明理由； (2) 求证：若x，y∈M，则x＋y∈M； (3) 求证：若x∈M，则x2∈M. 参 考 答 案 1. C　对于A，某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故A错误；对于B，所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，故B错误；对于C，{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}中的元素相同，它们是同一个集合，故C正确；对于D，1，0，5，，，，组成的集合中有5个元素，故D错误． 2. B　因为x－3<2，所以x<5.因为x∈N*，所以x的值可以为1，2，3，4. 3. C　由题意，得2为方程x2－x＋m＝0的一个根，所以22－2＋m＝0，解得m＝－2，所以方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，所以方程的另一根为－1，可得－1∈M. 4. D　因为集合{x|(x－a2)(x－1)＝0}的元素之和为1，所以当一元二次方程(x－a2)(x－1)＝0有等根时，x＝a2＝1，即a＝±1；当方程有两个不相等实根时，x＝a2＝0，即a＝0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，－1}． 5. A　由1∉A且3∈A，得解得<m≤. 6. D　因为xy≤0，所以或所以集合{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在x，y轴上的点，即不在第一象限也不在第三象限内的所有点． 7. B　因为，()2，－可分别化为|x|，x2，－x，所以由实数x，－x，|x|，，()2，－所组成的集合，最多可含有3个元素，分别为x，－x，x2，此时x≠±1，且x≠0. 8. A　因为集合M＝{1，2m＋1}，N＝{－1，m2}，且集合M，N相等，所以构成两集合的元素是相同的，所以解得m＝－1. 9. AC　对于A，由N*表示正整数集，可知A，C正确；对于B，当a＝时，满足－a∉N*，且此时a∉N*，故B错误；对于D，x2＋4＝4x的实数解只有2，所以组成的集合中只有一个元素，故D错误．故选AC. 10. CD　对于A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故A错误；对于B，其中集合A＝{x|y＝x2＋1}是数集，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}是点集，所以集合A＝{x|y＝x2＋1}与集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}不是同一集合，故B错误；对于C，因为＝0.5，所以由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，故C正确；对于D，因为第二象限和第四象限内的点横、纵坐标异号，即xy<0，所以第二象限和第四象限内所有的点(x，y)组成的点集，可以表示成集合{(x，y)|xy<0，x，y∈R}，故D正确．故选CD. 11. 8　因为定义集合A＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，且0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个． 12. －6　因为A＝{2，a＋5，a2＋5a}，6∈A，所以当a＋5＝6时，解得a＝1，此时a2＋5a＝6，不符合题意；当a2＋5a＝6时，解得a＝1(舍去)或a＝－6，当a＝－6时，A＝{2，－1，6}，符合题意．综上，实数a的值为－6. 13. 3　因为集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，由定义可得A/B＝，所以集合A/B中包含3个元素． 14. (1) 列举法：分别列举出每个字母，得{W，e，l，c，o，m}． (2) 描述法：正偶数可以写成正整数的2倍，所以描述法表示为{x|x＝2k，k∈N*}． (3) 列举法：解原方程组，得或所以列举法表示为{(0，0)，(1，1)}． (4) 描述法：{x|x是正三角形}． 15. (1) 因为1∈A，所以x＝1是ax2＋2x＋1＝0的实数根，即a＋2＋1＝0，所以a＝－3. (2) 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，此时x＝－，符合题意； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时集合A只有一个元素，即a的取值范围是{0，1}． (3) 因为集合A中至多有一个元素， 所以集合A中可能无任何元素或者只有一个元素， 由(2)知，当a＝0或a＝1时，集合A中只有一个元素； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，当Δ＝4－4a<0，即a>1时，集合A为空集． 故当a＝0或a≥1时，集合A中至多有一个元素，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}． 16. (1) ∈M正确，理由如下： 由①可知0∈M，1∈M， 由②可得0－1＝－1∈M，1－(－1)＝2∈M， 由③可得∈M. (2) 由①知0∈M，由题意，得y∈M， 所以由②可知0－y＝－y∈M. 又x∈M，所以x－(－y)＝x＋y∈M，即证． (3) 因为x∈M，由②可知x－1∈M， 由③可知∈M，∈M， 所以－∈M，即∈M， 所以x(x－1)∈M， 由(2)结论可知x(x－1)＋x∈M， 所以x2∈M即证． 数学练习 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $