1.1 集合的概念 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 三级分层设计，从概念示范到基础巩固再到能力提升，适配新授课知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|元素与集合关系、描述法表示|含5道典型例题，示范符号应用与集合表示| |A组基础达标|集合表示、元素性质、简单应用|选择、填空、解答题结合，覆盖基础考点| |B组能力提升|集合综合性质、含参问题|含伙伴关系集合、方程解集等提升题，深化逻辑推理|

1.1 集合的概念 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数，； 是无理数，不属于有理数集，； -5是整数，； 是实数，； 3.14不是正整数，. 【例2】已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 【例3】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【例4】已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【例5】已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据方程有两个不等实根可讨论得到结果； （2）根据方程有唯一解或两个相等实根可讨论得到结果. 【详解】（1）集合中恰有两个元素，有两个不等实根； 当时，，解得：，不合题意； 当时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为：或. （2）集合中只有一个元素，有唯一实根或两个相等实根； 当时，，解得：，符合题意； 当时，，解得：，此时； 综上所述：实数的取值集合为. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 2．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 3．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 4．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 5．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 6．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【详解】，， 则， 则的元素个数为16. 二、多选题 7．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 8．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由伙伴关系集合定义结合题设可得答案. 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 三、填空题 9．设，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 10．已知集合，若且，则___________ 【答案】 【分析】根据集合的描述法表示，利用列举法求解. 【详解】因为，且， 所以， 故答案为： 四、解答题 11．选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 12．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 【B组能力提升】 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 2．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 二、填空题 3．由实数，，，，所组成的集合中最多含______个元素，最少含______个元素. 【答案】 2 1 【分析】先进行化简，然后通过取值判断集合中元素的个数至多和至少有多少个. 【详解】∵，，且当时，，当时，集合中有元素：，，∴由实数，，，，所组成的集合中最多含有2个元素，最少含有1个元素. 【点睛】本题考查集合中元素的互异性的理解，难度较易.根式化简时，注意对化简后式子的符号的把握. 4．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 三、解答题 5．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【例2】已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【例3】用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【例4】已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【例5】已知集合. (1)若集合中恰有两个元素，求实数的取值范围； (2)若集合中只有一个元素，求实数的取值集合. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 4．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 5．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 6．已知集合，，则的元素个数为（     ） A．16 B．12 C．8 D．4 二、多选题 7．下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 8．定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．设，集合，若，则__________. 10．已知集合，若且，则___________ 四、解答题 11．选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 12．已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【B组能力提升】 一、单选题 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 二、填空题 3．由实数，，，，所组成的集合中最多含______个元素，最少含______个元素. 4．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 三、解答题 5．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $