1.1集合概念同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“基础认知-概念应用-综合拓展”三层设计，覆盖集合定义、元素特性、参数计算及新定义问题，通过辨析题、计算题、创新题梯度递进，巩固知识并发展抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合定义、元素特性、元素与集合关系|通过判断能否构成集合等辨析题，强化抽象能力| |概念应用|集合互异性、元素个数求参数、表示方法|结合参数计算与表示方法转换，提升推理意识| |综合拓展|集合新定义问题|创设新运算情境，发展创新意识与数学思维|

1.1集合概念 题型01 判断能否构成集合 1 题型02 判断是否为同一集合 1 题型03 元素与集合关系 2 题型04 集合互异性求参数 2 题型05 根据集合元素个数求参数 3 题型06 集合表示方法 3 题型07 集合新定义 4 题型01 判断能否构成集合 1．下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 2．下面各组对象中不能形成集合的是（    ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 3．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 题型02 判断是否为同一集合 4．下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 5．下列关于集合的说法正确的有（    ） ①很小的整数可以构成集合； ②集合与集合是同一个集合； ③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型03 元素与集合关系 7．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 集合互异性求参数 10．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 11．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 12．已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 13．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 14．已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型05 根据集合元素个数求参数 15．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 16．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 17．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 18．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 19．若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 题型06 集合表示方法 20．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 21．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 22．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 23．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 题型07 集合新定义 24．给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（   ） A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集 C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集 25．给定集合和，定义运算“★”：，若，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 27．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 28．对于任意两个自然数，定义某种运算如下：当都为奇数或偶数时，；当中一个为偶数，另一个为奇数时，．则在此定义下，集合中的元素个数为（　　） A．26 B．25 C．24 D．23 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合概念 题型01 判断能否构成集合 1 题型02 判断是否为同一集合 2 题型03 元素与集合关系 3 题型04 集合互异性求参数 4 题型05 根据集合元素个数求参数 6 题型06 集合表示方法 8 题型07 集合新定义 10 题型01 判断能否构成集合 1．下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 2．下面各组对象中不能形成集合的是（    ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 【答案】C 【分析】根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案. 【详解】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合， 而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合， 故选：C 3．下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过20的质数 B．的近似值 C．方程的实数根 D．函数的最小值 【答案】B 【解析】根据集合的性质逐项判断. 【详解】不超过20的质数构成集合；方程的实数根构成集合；函数的最小值构成集合.而的近似值标准不明确，不能组成集合. 故选：B 【点睛】本题考查集合的概念，属于基础题. 题型02 判断是否为同一集合 4．下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 5．下列关于集合的说法正确的有（    ） ①很小的整数可以构成集合； ②集合与集合是同一个集合； ③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误． 集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误． 1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误． 故选：A． 6．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 题型03 元素与集合关系 7．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 8．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系依次判断选项即得. 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 9．下列关系中，正确的有（    ）． ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系结合常用数集逐项分析判断. 【详解】对于①：因为为实数集，所以，正确； 对于②④：因为为有理数集，所以，，②正确，④错误； 对于③：因为为自然数集，，正确； 所以正确的有3个. 故选：C. 题型04 集合互异性求参数 10．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 11．已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 12．已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 13．已知，若集合，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果. 【详解】因为， 可知，且，可得， 即，可得，且，解得， 代入，检验符合题意，所以. 故选：B. 14．已知集合，如果，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得或，再分析求解集合A即可得解. 【详解】集合，如果， 则或，即或， 当时，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，集合，符合. 综上所述，则a的取值集合为. 故选：D 题型05 根据集合元素个数求参数 15．已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 16．集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的元素可求得的范围. 【详解】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 17．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的乘积为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，按和分类讨论求解即得. 【详解】当，即时，方程为有唯一解为，集合只有一个元素，则； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 得，解得， 因此或， 所以实数的所有可能值的乘积为3. 故选：C 18．若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 19．若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【答案】B 【分析】分类讨论方程根的个数即可. 【详解】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 题型06 集合表示方法 20．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 21．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 22．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 23．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 题型07 集合新定义 24．给定整数，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个n元规范数集（注：表示数集中的最小数）.对于集合，，则（   ） A．M是规范数集，N不是规范数集 B．M是规范数集，N是规范数集 C．M不是规范数集，N是规范数集 D．M不是规范数集，N不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】由题意知集合中任意两个不同数的差的绝对值的最小值若为1，则该集合是规范数集. 集合，当时，， 即的相伴数集中最小元素小于1，故不是规范数集； 集合， 因为， 即的相伴数集中最小元素为1，所以是规范数集； 综上：不是规范数集，是规范数集. 故选：C. 25．给定集合和，定义运算“★”：，若，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意由集合新定义计算即可； 【详解】，则， 故集合中元素的个数为7． 故选：B. 26．设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（    ） A．12个 B．8个 C．6个 D．4个 【答案】A 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 27．对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 28．对于任意两个自然数，定义某种运算如下：当都为奇数或偶数时，；当中一个为偶数，另一个为奇数时，．则在此定义下，集合中的元素个数为（　　） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】D 【分析】根据定义，分两类进行考虑：和一奇一偶，则；和同奇偶，则．由列出满足条件的所有可能情况，再考虑点的个数即可． 【详解】，， 若和一奇一偶，则，满足此条件的有，故点有6个； 若和同奇偶，则，满足此条件的有， 故点有17个， ∴满足条件的个数为6+17=23个． 故选D． 【点睛】本题为新定义问题，考查对新定义和集合的理解，正确理解新定义的含义是解决本题的关键，属于中档题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $