精品解析：福建莆田市秀屿区北京大学附属中学莆田学校2026-2027学年上学期九年级 第一次学情自测数学试题

2026-2027学年北附九年级上第一次月考试卷 数 学 -．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 3. 已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 过春节了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了1560条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. 3 C. 3 D. 3 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A. 2≤k≤8 B. 2≤k≤9 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 抛物线的对称轴为直线____________． 13. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 14. 反比例函数过点和，则________． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 16. 已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 三．解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形为矩形，，分别是边，上的中点，连接，，求证：． 19. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求v与M之间的关系式； （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 20. 某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 张颖 8 8 8 8 8 8 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 21. 已知关于的一元二次方程， （1）求该方程根的判别式（用含的式子表示）； （2）若该方程的两个实数根互为倒数，求的值． 22. 第届亚运会的举办掀起了一波体育热潮，某纪念品商店推出了一整套运动徽章，涵盖了本届亚运会所有的比赛项目，受到消费者的热捧．已知每枚徽章的成本为元，商店销售该种徽章一段时间后，发现徽章的周销售量（单位：枚）与每枚徽章的售价（单位：元）满足一次函数关系，函数图象如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）商店应如何定价才能使周销售利润最大？最大周销售利润是多少元？ 23. 已知实数，满足，． （1）请直接写出一个关于的一元二次方程，使得满足以上条件的，是这个方程的两个实数根； （2）求的值． 24. 某城市建设调研小组发现，我市部分公交停车场的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构，以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示，棚顶最高点为抛物线的顶点． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车顶顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、负载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点（抛物线顶点）到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车厢最高点距地面约2.5米，车身宽度与站台停靠相匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图2，以地面为轴，过点的竖直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 25. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． （3）连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北附九年级上第一次月考试卷 数 学 -．选择题（共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据其定义“含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程”，及其形式进行判定即可求解． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、最高次是3次，不是一元二次方法，不符合题意； C、最高次是1次，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A ． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，0， B. 2，，0 C. 2，3，0 D. 2，0，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数系数的识别，注意常数项为0时不要遗漏．根据二次函数的一般形式，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵二次函数可化为， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 3. 已知二次函数，其顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标，利用二次函数顶点式的性质即可直接求解． 【详解】解：二次函数顶点式的形式为，其顶点坐标为． ∵已知二次函数为，对比顶点式可得， ∴该二次函数的顶点坐标为． 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程．使用配方法将方程变形为完全平方形式，即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 5. 把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的平移．根据平移的规律：左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：D． 6. 过春节了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了1560条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系进而列出方程是解题的关键． 因为每两人互发一条祝福短信，则每个人都要发条，据此列出方程即可． 【详解】解：设全班有名同学， 由题意得， 故选A． 7. 反比例函数的图象在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. 3 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 反比例函数的性质：当比例系数大于0时，图象在每个象限内y随x的增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个象限内随的增大而减小， ∴比例系数， ∴． 故选A． 8. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 9. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 10. 如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A,B两点，若反比例函数 （x＞0）的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是（ ） A. 2≤k≤8 B. 2≤k≤9 C. 2≤k≤5 D. 5≤k≤8 【答案】B 【解析】 【详解】∵点C(1,2),BC∥y轴,AC∥x轴， ∴当x=1时，y=−1+6=5， 当y=2时，−x+6=2，解得x=4， ∴点A. B的坐标分别为A(4,2),B(1,5)， 根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小， 设反比例函数与线段AB相交于点(x,−x+6)时k值最大， 则k=x(−x+6)=−x²+6x=−(x−3) ²+9， ∵1⩽x⩽4， ∴当x=3时，k值最大， 此时交点坐标为(3,3)， 因此，k的取值范围是2⩽k⩽9. 故选B. 点睛: 本题考查了反比例函数系数的几何意义，二次函数的最值问题，本题看似简单但不容易入手解答，判断出最大最小值的取值情况并考虑到用二次函数的最值问题解答是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 抛物线的对称轴为直线____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，直接利用抛物线的对称轴方程求得答案． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 13. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 14. 反比例函数过点和，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】根据题意，得，， ． 故答案为：7． 16. 已知二次函数（n为常数），当时，函数值y的最大值与最小值之和为15，则n的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质，在的范围内，当时函数值取得最小值，当时函数值取得最大值，根据函数值的最大值与最小值之和为15列方程，可以求得的值． 【详解】解：二次函数（n为常数）， 该函数的对称轴为直线，图象开口向上， 当时，函数值的最大值与最小值之和为15， 当时取得最小值，当时取得最大值， ， 解得或8， ， ． 三．解答题（9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ∴， ∴，． 18. 如图，四边形为矩形，，分别是边，上的中点，连接，，求证：． 【答案】证明：四边形是矩形， ，，， ，分别是边，上的中点， ∴，， ， 四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得，，，再由中点的定义进一步得出，即可证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可得出结论． 【详解】略 19. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗（如图）载重后总质量时，它的最快移动速度． （1）求v与M之间的关系式； （2）当其载重后总质量时，求它的最快移动速度v． 【答案】（1）v与M之间的函数关系式为 （2）当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与实际问题，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且），待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中的关系式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设v与M之间的函数关系式为（k为常数，且）． 将，代入， 得， 解得， ∴v与M之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， ∴当其载重后总质量时，它的最快移动速度v为． 20. 某校初一年级在体育运动周增设花样跳绳比赛，比赛前有一周训练时间，某班25名同学积极报名参赛，并利用每日课间时间集中训练，训练前后成绩如下： （1）求扇形统计图中成绩为“5~7分”所占扇形的圆心角度数； （2）学校要求每班选取12名同学参赛，小丽同学训练前成绩为分，训练后成绩为分，她分析训练前后的成绩统计图，认为根据自己训练前后的成绩一定会落选．你认为小丽同学分析的正确吗？并说明理由． （3）班主任拿到每名同学的成绩后，发现成绩第12名有李敏和张颖两人，体委提出让这两名同学进行单独测试，下表是加试五次后两名同学的成绩及分析后的数据． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 平均数 众数 中位数 方差 李敏 5 9 9 8 9 8 9 9 张颖 8 8 8 8 8 8 根据表中数据，从多角度分析，你认为选择哪位同学参赛更合适？ 【答案】（1） （2） 小丽的说法不正确，理由： 从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛． 小丽同学训练前成绩为分，从训练前成绩统计图看，1~3分有4人，3~5分有5人，，因此根据小丽训练前的成绩她一定落选． 小丽同学训练后成绩为分，从训练后成绩统计图看，， 因此成绩的中位数在“7~8”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性． （3） 从平均数看，8分=8分，李敏，张颖平均水平相同． 结合众数看，9分8分，李敏成绩更好，应该选李敏． 结合中位数看，9分8分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏． 结合方差看，，张颖成绩更稳定，应该选择张颖． 【解析】 【分析】（1）根据扇形的圆心角度数计算公式计算即可； （2）计算训练前后的中位数，比较说明理由． （3）自主选择统计角度去分析解答即可． 本题考查了圆心角的计算，中位数的计算，数据统计的特征量的特点，熟练掌握计算和特征量的意义是解题的关键． 【小问1详解】 答：圆心角度数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程， （1）求该方程根的判别式（用含的式子表示）； （2）若该方程的两个实数根互为倒数，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，解方程即可求出或，根据一元二次方程根的判别式可得，把不符合题意的值舍去即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程中，，， ； 【小问2详解】 解：方程的两个实数根互为倒数， ， 即， 解得：或， ， ， ， 的值为． 22. 第届亚运会的举办掀起了一波体育热潮，某纪念品商店推出了一整套运动徽章，涵盖了本届亚运会所有的比赛项目，受到消费者的热捧．已知每枚徽章的成本为元，商店销售该种徽章一段时间后，发现徽章的周销售量（单位：枚）与每枚徽章的售价（单位：元）满足一次函数关系，函数图象如图所示． （1）求关于的函数解析式； （2）商店应如何定价才能使周销售利润最大？最大周销售利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）商店定价为元才能使周销售利润最大，最大周销售利润是元． 【解析】 【分析】设关于的函数解析式为，由图象可知，函数过，，然后通过待定系数法即可求解； 设周销售利润为元，由题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设关于的函数解析式为，由图象可知，函数过，， ∴，解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设周销售利润为元，由题意得， ， ∴当时，取最大值，最大值为， 答：商店定价为元才能使周销售利润最大，最大周销售利润是元． 23. 已知实数，满足，． （1）请直接写出一个关于的一元二次方程，使得满足以上条件的，是这个方程的两个实数根； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系写出方程； （2）根据、的关系可得：，，从而可得：，把，代入即可求出代数式的值． 【小问1详解】 解：设、是一元二次方程的两个根， 则，， ，， ，， ， 以，为根的一元二次方程为； 【小问2详解】 解：，， ，代入， 可得：， ， 则， 同理可得：， ， 同理可得：， ， 又，， ∴， 即， ． 24. 某城市建设调研小组发现，我市部分公交停车场的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构，以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示，棚顶最高点为抛物线的顶点． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车顶顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、负载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点（抛物线顶点）到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车厢最高点距地面约2.5米，车身宽度与站台停靠相匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： （1）如图2，以地面为轴，过点的竖直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； （2）如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； （3）如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】（1） （2）解：∵公交车厢最高点距地面约2.5米， ∴令得， 整理得：， 解得，， 由题意知，， ∴， ∵车身长约8米， ∴， ∴公交车能完全停入遮阳棚正下方； （3）解：设直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， ∵点在棚顶，点在上，轴， ∴设，， ∴的长度为：， ， 当时，的长度最大，为， ∵， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2），解一元二次方程，结合实际意义确定，比较与的大小确定结果； （3）利用待定系数法求直线解析式，确定点、点的坐标，表示出线段的长度，根据二次函数的性质求出长度的最大值，再与比较大小，确定结果． 【小问1详解】 解：由题意知，，， 设抛物线解析式为， 由顶点可知，，， ∴， 将点代入得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，二次函数图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标． （2）若点D是直线下方抛物线上的动点，当面积是面积的一半时，求点D坐标． （3）连接，若点E的抛物线上的一个动点，且满足，求点E坐标． 【答案】（1） （2） （3）E点坐标为或 【解析】 【分析】（1）当时，解方程，即可求A、B点坐标； （2）过D点作轴交于点M，设，则，由题意可得，求出t的值即可求D点坐标； （3）在上取点G，使，直线与抛物线的交点为E；过点B作轴，过点C作轴，交于N点，在上取点H，使，直线与抛物线的交点为E． 【小问1详解】 解：当时，， ∴ 解得或， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过D点作轴交于点M， 设，则， ∴， ∴面积，△DBO面积， ∵面积是面积的一半， ∴ ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， 在上取点G，使， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴， 过点B作轴，过点C作轴，交于N点， ∵， 在上取点H，使，如图 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得（不符合题意，舍去）或， ∴； 综上所述：E点坐标为或． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，一元二次方程，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，能够确定所在的直线解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $