精品解析：福建省莆田市秀屿区莆田第二十五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

莆田第二十五中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷 一、选择题 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5 C. 在一个只装有红球的袋中，摸出黑球 D. 打开电视，正在播放广东卫视 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，理解必然事件，随机事件，不可能事件的概率是解题的关键． 必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫做必然发生的事件，简称必然事件．根据定义即可求解． 【详解】解：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件， 对于A：水涨船高，水位上涨则船必然升高，是必然事件； 对于B：掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，可能发生也可能不发生，是随机事件； 对于C：在一个只装有红球的袋中，摸出黑球，不可能发生，是不可能事件； 对于D：打开电视，正在播放广东卫视，可能播放也可能不播放，是随机事件． ∴只有A是必然事件， 故选：A． 2. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 3. 已知，若，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴ 相似比为 ， ∴ 与 的周长比为 ， 故选：A． 4. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，由于 ，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 【详解】∵ 反比例函数，， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴ 图象经过点 ，正确； B．未限定“同一象限”或“”，直接说“随 增大而减小”错误； C．∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴ ，正确． 故选：B． 5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，连接，若的面积为2，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握“过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为”是解题的关键．利用反比例函数中“过双曲线上一点作坐标轴垂线，形成的直角三角形面积与k的关系”来求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ ． ∵ 轴于点， ∴ ，． ∵ ， ∴ ，即． ∴ ． 又∵ ，且时反比例函数图象在第一象限，， ∴ ． 故选：． 6. 小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的结果有1种， ∴小张恰好选择从甲入口进入，C出口走出的概率为， 故选：B． 7. 如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； 由可得，，进而利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵圆心到弦的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； B．由A选项得， 又∵， ∴， 故该选项不符合题意； C．该选项条件无法得出， 故该选项符合题意； D．∵， ∴， 由A选项得， ∴， 故该选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 10. 如图，在中，，分别是边，的中线，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握“相似三角形的对应边成比例、面积比等于相似比的平方”是解题的关键．利用中位线定理推导与的相似关系，通过相似三角形的性质（比例线段、面积比），结合同高三角形面积与底的关系，逐一验证结论． 【详解】解：∵、是的中线， ∴，，是的中位线， ∴，． ∵， ∴，， ∴，故①正确． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确． ∵，且， ∴，故③错误． 设， ∵，且， ∴， ∴， ∵与同高， ∴，故④正确． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴，故⑤正确． 综上，①②④⑤正确，共个． 故选：A． 二、填空题 11. 掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，熟练掌握古典概型的概率公式是解题的关键．先确定掷均匀骰子的所有可能结果数，再找出点数为3的结果数，最后根据概率公式计算． 【详解】解：掷一枚均匀的骰子，所有可能的结果有6种（点数1、2、3、4、5、6），其中点数为3的结果有1种． ∴， 故答案为：． 12. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为___________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，分别计算各点的函数值，然后比较大小即可． 【详解】解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有． ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 14. 如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，切线长定理．设，根据切线长定理得出，，进而运用勾股定理列式计算，即可得出的长． 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 15. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，根据矩形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得四边形和四边形都是矩形，然后利用矩形的性质可得：，再利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ， 四边形四边形， 解得： 故答案为：． 16. 如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，勾股定理，连接，由，为弧的中点，得，由是直径，则有，所以，由勾股定理得，然后通过即可求解，掌握扇形面积的计算方法以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵，为弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 17. 某校举行“春天诵诗”比赛，将参赛选手的成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）求B等级选手的人数为 ，m的值为 ； （2）学校从成绩为A等级的学生中选2人去参加县里比赛．已知A等级学生中有2名男生1名女生，请用列表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）5；40 （2）恰好是一名男生和一名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，用C等级人数除以总人数即可求出m的值； （2）利用列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：参赛选手的总人数为人， ∴B等级选手的人数为：， C等级所占的百分比为 ， 故答案为：5；40； 【小问2详解】 解：列表如下： 男 男 女 男 (男， 男) (男， 女) 男 (男， 男) (男， 女) 女 (女，男) (女， 男) 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则P恰好是一名男生和一名女生． 18. 为了预防“新冠病毒”，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此室内空气每立方米的含药量为5mg．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧完毕后y与x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米含药量低于2mg/时，学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生才能回到教室？ 【答案】（1）药物燃烧后y关于x的函数关系式为：y=（x＞8）； （2）从消毒开始，至少需要20分钟后学生才能进入教室． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式； （2）把y=2代入反比例函数解析式，求出相应的x． 【小问1详解】 解：设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k＞0）， 代入（8，5）得5=， ∴k=40， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为：y=（x＞8）； 【小问2详解】 解：结合实际，令y=中y≤2，即≤2， 解得x≥20， 即从消毒开始，至少需要20分钟后学生才能进入教室． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键． 19. 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，已知，，． （1）实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． （2）应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1） 为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （25-26九年级上·河北邢台·月考） 21. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 、， ， ， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，进而得到，根据相似的判定方法，证明； （2）根据相似三角形的性质可得，进而得到的长，从而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵ 是的直径， ∴ ，即 ∵， ∴ ∵ ， ∴ 又∵ 是的直径， ∴ 为的切线． （2）5 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆周角定理推导角的关系证明切线，通过相似三角形对应边成比例求解直径． （1）由直径所对圆周角为直角得，结合 推得；由得，证得是切线． （2）证，利用相似三角形对应边成比例，结合勾股定理求出直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ 在中，，， 由勾股定理得： 由得, 由得, ∴, ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 解得． 答：的直径为． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式：；一次函数解析式： （2）2.5 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，然后求出点B的坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可． （2）令一次函数与y轴交点为C，求出点C的坐标，然后根据求解即可． （3）结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像交于， ∴， ∴反比例函数解析式：， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵一次函数过、： 则 解得 ∴一次函数解析式：． 【小问2详解】 解：令一次函数与y轴交点为C， 令，则， 故 ∴ 【小问3详解】 解：由图像可知：当或时，． 24. 根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜（墙、木板垂直于地面），手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度为，点F到地面的高度为，灯泡到木板的水平距离为，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）：求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆AB高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）． 【答案】（1）；问题解决2： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，求的长，证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长． 问题解决2：利用标杆进行测量，可以采用视线共线法，测量标杆高度，眼睛高度，及水平距离，通过相似来计算目标高度． 【详解】（1）由题意可得：，，， 则， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 问题解决2： 解：在旗杆左侧距离点B一定距离的点F处，竖直竖立标杆，测量人员继续向左走至点D处，观察旗杆顶部点A，视线恰好过标杆顶部，测量示意图如图所示， 测量数据：，，，， 由测量示意图易得，，，， ， 得， ， ， 故旗杆的高度为． 25. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． （2） 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． （3） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2025-2026学年上学期九年级月考数学试卷 一、选择题 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 水涨船高 B. 掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5 C. 在一个只装有红球的袋中，摸出黑球 D. 打开电视，正在播放广东卫视 2. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 3. 已知，若，，则与的周长比是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 5. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，连接，若的面积为2，则的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 小张与小李相约去江西省科技馆参观，某个展览馆有甲、乙两个入口，A，B，C三个出口，那么小张恰好选择从甲入口进入，并从C出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，若的半径，圆心到弦的距离，则弦的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 8. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别是边，的中线，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题 11. 掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是______． 12. 已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小为___________．（用“”连接） 13. 如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 14. 如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 15. 如图，矩形中．点，分别在，边上．且．若四边形四边形，，，则的长为________． 16. 如图，在扇形中， ，以为直径在扇形内部作半圆，圆心为点，为弧的中点，连接C交半圆于点，若，则阴影部分的面积是______． 三、解答题 17. 某校举行“春天诵诗”比赛，将参赛选手的成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）求B等级选手的人数为 ，m的值为 ； （2）学校从成绩为A等级的学生中选2人去参加县里比赛．已知A等级学生中有2名男生1名女生，请用列表法或画树状图求出所选2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 18. 为了预防“新冠病毒”，某校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完毕后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此室内空气每立方米的含药量为5mg．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧完毕后y与x的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米含药量低于2mg/时，学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟，学生才能回到教室？ 19. 如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，已知，，． （1）实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． （2）应用与证明：在（1）的条件下，求的长． （25-26九年级上·河北邢台·月考） 21. 如图，在中，为上一点，点在上，连接，，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接、，过点作，交的延长线于点，已知． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的直径． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出时x的取值范围． 24. 根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角i等于反射角r，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜（墙、木板垂直于地面），手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度为，点F到地面的高度为，灯泡到木板的水平距离为，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上． 任务（1）：求灯泡到地面的高度． 问题解决2：测量某广场旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜，假如你是该校的学生，请你设计一种测量旗杆AB高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用a、b、c…表示），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含a、b、c…的式子表示）． 25. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $