精品解析：福建省莆田市文献中学、城厢区顶墩实验中学联考2026-2027学年九年级上学期阶段性训练数学试卷

2026-2027学年上学期阶段性训练 九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移至等号右侧，再给等式两边加上一次项系数一半的平方，即可配方变形． 【详解】解： ． 3. 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一计算出各个方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程是否有实数根． 【详解】A、，故原方程无实数根； B、，故原方程无实数根； C、，故原方程有实数根； D、，故原方程无实数根； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根，当判别式为负时，方程无实数根，掌握此知识是关键． 4. 将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ，1 C. ， D. 3， 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项得， ∴当二次项系数为2时，一次项系数为3，常数项为． 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移前后抛物线顶点坐标的变化求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，顶点坐标变为． ∴所得抛物线的解析式为． 6. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门，已知矩形养鸡场的面积为80平方米，则矩形养鸡场的边的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 5或8 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】设的长为米，根据题干图列方程求解，进而求合适的值即可． 【详解】解：设的长为米． ∵篱笆总长为米，且平行于墙的一面留有米宽的门， ∴的长为米， 即米， 根据矩形面积公式可得方程， 整理得， 解得． 当时，， ∵旧墙长为米，， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∵， ∴符合题意； 故的长为米． 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，图象开口向上；对称轴为直线，顶点坐标为； ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 8. 已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的增减性与对称性判断各选项正误． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；纵坐标相等的两点横坐标相等或互为相反数． ∵若，则或．∴A错误． ∵若且，则．∴B错误． ∵，两点均在对称轴右侧，随的增大而增大．∴，C错误． ∵，两点均在对称轴左侧，随的增大而减小．∴，D正确． 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 10. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定出抛物线的对称轴和增减性范围即可． 【详解】解：由解析式得抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小 ∵当时，随的增大而减小， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若关于x的函数图像是抛物线，则m的取值是______． 【答案】 【解析】 【分析】函数图像为抛物线，说明该函数是二次函数，二次函数中自变量的最高次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵函数的图像是抛物线， ∴， 解得． 12. 如果t是方程的一个根，那么代数式的值是______． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 整理得， ∴ ． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线对称轴对称，先根据抛物线顶点式得到对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的平均值列方程求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过和两点，且两点纵坐标相等 ， ∴两点关于对称轴对称， ∴， 整理得，， 解得． 14. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设诸侯共有x人，则每人行礼次，又每两人都相互行礼一次，故x人共行礼次，由此列一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设诸侯共有x人，则每人行礼次， 由题意得：， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故诸侯共有6人． 故答案为：6． 15. 在实数范围内定义一种运算“@”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的根为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为关于的一元二次方程，因式分解后即可求解． 【详解】解：根据运算规则，原方程可化为， 利用平方差公式因式分解得， 整理得， 或， 解得． 16. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，先分别求出点的坐标，再根据求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意，设点的纵坐标为， 令得：， 解得或， ∴，， ∴， ∵与关于轴对称， ∴点与点关于轴对称，点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得 ， ∴ 或 ， 解得 ，； 【小问2详解】 解：， 移项得 ， 提取公因式得 ， 化简括号内得 即 ， ∴ 或 ， 解得，． 18. 求抛物线与x轴的交点坐标． 【答案】抛物线与轴的交点坐标为和． 【解析】 【分析】令抛物线解析式中，解所得一元二次方程，方程的根即为交点横坐标，结合纵坐标为0得到交点坐标． 【详解】解：令，得． 因式分解得． ∴或． 解得，． ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 19. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴判别式． ∵对任意实数，，即， ∴该方程总有实数根． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）求出根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴解得，即的值为或． 20. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 【答案】（1）1 秒，2 秒 （2）不能，理由如下： 的总面积：， 在内部，其面积一定小于或等于，， 面积不可能达到． 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒，写出与的代数式，利用直角三角形面积公式列出一元二次方程，解方程并检验在范围内，得到 1 秒和 2 秒． （2）先算出大三角形面积只有，小于，说明面积不可能等于． 【小问1详解】 解： 从到总时间：秒， ． 运动秒后：，，． ， ． 即 解得 ，． 检验：， 都满足 ，符合题意． 答： 1 秒和 2 秒后，面积等于． 【小问2详解】 略． 21. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为 （2）当商品降价5元时，商品获利1950元． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：250件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率为x，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：360件，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润1950列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意可得：， 解得：或（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设当商品降价m元时，商品获利1950元， 根据题意可得：， 解得：（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商品获利1950元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 22. 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）的最小值为． （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）将代数式配方为完全平方式加常数的形式，利用平方的非负性求最小值； （2）将等式左边配方为两个完全平方式的和，根据非负数的性质求，的值，进而计算． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， 即的最小值为． 【小问2详解】 解：， ， ， ∵，， ∴，， 解得， ∴． 23. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： x … 0 2 4 6 … y … … （1）将表格补充完整，并在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （2）根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，以及图象的开口方向； （3）填空：当时，则y的取值范围是______． 【答案】（1）表格如下： x … 0 2 4 6 … y … 2 3 2 … 作图如下： （2）解：由题意知，顶点坐标：，对称轴：直线；开口方向：向下； （3）解：由图知，当时，y的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）将、、分别代入解析式计算，进而补充表格并作图即可； （2）直接根据函数图象作答即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 补充表格及作图略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 24. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． （1）图1中，若线段，求线段的长． （2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2） 证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的意义，解一元二次方程． （1）设，则，根据，列得一元二次方程，解之取正值即可求解； （2）利用黄金分割点的意义求得和的长，进一步求得和的长，再分别求得和，据此判断即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； 【小问2详解】 略 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第一象限，与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，点A的坐标是． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； （3）连接，P是该二次函数的图象上位于第一象限的一点，过点P作轴，垂足为D，作，射线交y轴于点Q，连接、若，求点P的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）知二次函数顶点式，把点坐标代入解析式，结合顶点在第一象限确定的值，从而求出二次函数表达式． （2）抛物线开口向下，对称轴为，给定自变量范围且，区间包含对称轴，因此最大值在顶点处取得，比较区间两个端点离对称轴的远近，确定最小值，再根据列方程求出． （3）设点，，由得到直线斜率，写出直线解析式，求出点坐标，利用，根据两点间距离公式列方程求解． 【小问1详解】 已知二次函数的图象过点， 将点的坐标代入函数可得：， 可得， 得， 当时，； 当时，， 因为二次函数图象顶点在第一象限， 所以，故， 所以二次函数的解析式为． 【小问2详解】 由（1）可知二次函数，其对称轴为， 因为， 所以， 在上，函数单调递增； 在上，函数单调递减， 当时，有最大值， ， ， ， 因为， 所以，即， 所以当时，有最小值， 已知，即， 得， 得， 解得或， 又因为， 所以． 【小问3详解】 设点,，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在轴上方时，如图： 因为， 则直线的表达式为：， 则点，， 由点、、、的坐标得，，， 所以，即， 解得：或或； 当点在轴下方时， 同理可得：点,， 则， 解得：或或； 令：， ， ， 解得：，抛物线开口向下，当时，， 又因为点在第一象限， 所以横坐标范围：， 综上，点P的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期阶段性训练 九年级数学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项系数为2，则一次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. ，1 C. ， D. 3， 5. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 张大叔准备靠着自家旧墙建一个矩形的养鸡场如图，旧墙长为10米，靠墙的一面不用篱笆张大叔使用的篱笆总长为25米，平行于墙的一面留有一扇1米宽的位置用来装门，已知矩形养鸡场的面积为80平方米，则矩形养鸡场的边的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 5或8 D. 以上答案都不对 7. 关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 已知点，均在抛物线上，下列说法正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若关于x的函数图像是抛物线，则m的取值是______． 12. 如果t是方程的一个根，那么代数式的值是______． 13. 若抛物线经过和两点，则______． 14. 《九章算术》有题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”（译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次），则诸侯有_____个人． 15. 在实数范围内定义一种运算“@”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的根为________． 16. 如图，与关于轴对称，且，一条平行于轴的直线与和共有四个交点，从左到右依次记为，当时，则___________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 求抛物线与x轴的交点坐标． 19. 关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有实数根； （2）设、为方程的两个实数根，且，试求k的值． 20. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，若两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动．求： （1）几秒后，的面积等于? （2）的面积能否等于?说明理由． 21. 我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？ 22. 【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求的最小值． 解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值． （2）已知，求的值． 23. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： x … 0 2 4 6 … y … … （1）将表格补充完整，并在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； （2）根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，以及图象的开口方向； （3）填空：当时，则y的取值范围是______． 24. 定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． （1）图1中，若线段，求线段的长． （2）如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 25. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点在第一象限，与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，点A的坐标是． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值； （3）连接，P是该二次函数的图象上位于第一象限的一点，过点P作轴，垂足为D，作，射线交y轴于点Q，连接、若，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $