精品解析：浙江杭州市上城区杭州中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

杭州中学2026学年初三第一次综合练习 数学学科问卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为； 故答案为：C． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键. 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 3. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式； 根据扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】解：扇形的弧长为， 故选：B． 4. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键． 设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解． 【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个， ∴摸到白球的概率为， 根据题意得：， 解得：， 因此，红球的个数为2个． 故选：B． 5. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，则，根据等边对等角得，所以，然后通过圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 7. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据a、b的正负不同，则函数与函数的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项． 【详解】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，对称轴为，在y轴右侧，故A正确、C错误； 若，，则经过二、三、四象限，开口向下，对称轴为，在y轴右侧，故B、D错误； 故选：A． 9. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）一题多解法 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：先求出抛物线的解析式，然后解方程，即可判断关于的一元二次方程的根的情况； 方法二：由，利用二次函数的性质可得出二次函数的图象开口向下，结合二次函数的顶点为，可得出二次函数的图象与轴有两个交点，进而可得出关于的一元二次方程的根的情况． 【详解】解：方法一：由题意，知二次函数的解析式为， 则，即， 解得，． 故该方程有两个不相等的实数根． 一题多解法 方法二：∵抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴画出抛物线与直线如图所示． 由图可知，抛物线与直线有两个交点． 故方程有两个不相等的实数根． 10. 如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，中位线定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，，，，过点作于，则，进而得，根据，得，则，进而得，则，再根据三角形的中位线定理得，，则，由此得当为的直径时，为最大，最大值为4，据此可得的最大值． 【详解】解析：连接，，，， 四边形内接于， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ，， ， ， 点，分别是，的中点， ，同理， ， 当最大时，为最大， 为的弦， 当为的直径时，为最大， 当时，为最大，最大值为． 故选：B． 二．填空题（共6小题，每题3分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 【答案】5 【解析】 【分析】正多边形的外角和是，这个正多边形的每个外角相等，因而用除以外角的度数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：这个正多边形的边数： 故答案为：5 12. 若二次函数的图像过原点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将（0,0）代入解析式求解，然后根据二次函数的定义进行讨论，最后取得m的值. 【详解】解，由题意，将（0,0）代入解析式，得： 解得： 又∵在二次函数中， ∴m=-2 故答案为：-2. 【点睛】本题考查二次函数的性质及定义，掌握二次函数二次项系数不能为0是本题的解题关键. 13. 如图，是的直径，弦于E，，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，由题意易得，，根据勾股定理可求的长，然后问题可求解．熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：2． 14. 已知二次函数的图像如图所示，当时，x的取值范围是 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的轴对称性质得到抛物线与x轴的另一交点坐标，结合函数图像即可写出x的取值范围．本题考查了抛物线和x轴的交点问题，二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由二次函数的图像可知： 抛物线对称轴为， 抛物线与x轴的另一交点坐标为， 所以当时，x的取值范围是：． 故答案为：． 15. 如图，桥拱关于水面反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽米，P为桥拱的最高点，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 ___________________ 米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，连接、、、，交于点，交于点，则，，证明为等边三角形，得出，解直角三角形得出米，米，由题意可得，从而得出，求出米，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、、，交于点，交于点， ， 由题意可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵米， ∴米，米， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴米， ∴米，即点C离水面的距离是米， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与轴、轴分别交于，，三点，①若点的坐标为，则点的坐标为；②对于任意，始终有；③若，则；④若，，（，为常数）的所有根的和为．上述命题正确的是________． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质，利用对称性判断①；利用最小值性质判断②；利用点坐标代入解析式判断③；利用根与系数的关系及对称轴公式判断④． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上，，对称轴为直线，且， 对于①：∵对称轴为直线，点的坐标为， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∴点的坐标为，故①正确； 对于②：∵，抛物线开口向上 ∴当时，函数取得最小值， ∴对于任意，都有， ∴，故②正确； 对于③：∵抛物线与轴交于点，令，得， ∴， 由图象知，则， ∵，且点在轴正半轴， ∴， 将点，代入，得， ∴， ∵， ∴，而命题中结论为，故③错误； 对于④：∵，即对称轴为直线， ∴，即， 方程可化为，或， 即或， 设前一个方程两根为，后一个方程两根为， 根据根与系数的关系，得，， ∴所有根的和为， ∵， ∴所有根的和为，而命题中结论为，故④错误． 综上所述，正确的命题是①②． 三．解答题（共8小题，共66分） 17. 已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． （1）求这个二次函数表达式； （2）将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【分析】（1）已知顶点坐标，设二次函数顶点式，代入已知点求系数； （2）通过平移顶点坐标得到新抛物线顶点，结合二次项系数不变求解析式． 【小问1详解】 解:∵二次函数图象的顶点坐标为. ∴设二次函数表达式为（）. 将点代入表达式,得. 解得. ∴二次函数表达式为,即. 【小问2详解】 解:∵抛物线平移时,顶点同步平移且二次项系数不变，原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得新顶点坐标为,即， ∴平移后的抛物线解析式为． 18. 如图，在中，已知，，． （1）用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； （3）若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】此题考查了尺规作线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，点和圆的位置关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用尺规作出的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径画圆即为所求； （2）根据劣弧的定义求解即可； （3）当经过点C时，求出，然后勾股定理求出，然后求出当经过点B时，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：连接， 由作图得， ∵， ∴ ∴是的外接圆； 【小问2详解】 解：中的劣弧为，； 【小问3详解】 解：当经过点C时，； ∵，， ∴ 当经过点B时，； ∴当的半径r满足时，点B和点C有且只有一个点在内． 19. 已知教室的粉笔盒里现有2支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的求解，包括画树状图或列表求解概率，熟练掌握概率的求解公式是解决本题的关键． （1）根据总的粉笔数和黄色粉笔的数量求解概率即可； （2）画出树状图或列出表后，由列表结果求解概率即可． 【小问1详解】 解：一共4支粉笔，1支黄色粉笔， ∴取出黄色粉笔的概率是：； 【小问2详解】 解：列表： 第二次 第一次 白色1号 白色2号 红色 黄色 白色1号 白1，白1 白1，白2 白1，红 白1，黄 白色2号 白2，白1 白2，白2 白2，红 白2，黄 红色 红，白1 红，白2 红，红 红，黄 黄色 黄，白1 黄，白2 黄，红 黄，黄 树状图： 先拿出白色，再拿出一支红色的概率是． 20. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 21. 如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； （2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？ （3）求出所能围成的花圃的最大面积． 【答案】（1） （2）7m （3）m2 【解析】 【分析】（1）设AB长为x（m），则BC长为 （30-3x）（m），根据墙的最大可用长度为10m，且BC的长度大于0，可得自变量的取值范围，面积为长乘宽，可得函数表达式； （2）面积为63m2，即y=63，代入表达式可得x的值，根据x的取值范围，可得结果； （3）把二次函数化成顶点式，根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：（1）设AB长为x（m），则BC长为（m）， ∴且．即． ∴． （2）由题意得：，解得：或7． ∵，∴不合题意，就舍去． ∴如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长应为7m． （3）由题意知：， ∴在对称轴直线的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值．最大值为． ∴篱笆围成的花圃的最大面积为m2． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的面积问题，根据题意理清关系是解题的关键． 22. 如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， 平分， ， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，面积法求线段长，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为是直径，则，根据平分，可得，则可证明题目； （2）由题意可得，在中利用三角形内角和定理解决问题即可； （3）利用勾股定理可求得，根据求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， ， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：，且平分， ，，， ， ，， ， ． 23. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与性质，函数与方程的关系，二次函数最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可； （3）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，原点在上方，顶点在线段下方，当时，原点在上方，在下方，根据抛物线与线段只有一个交点分别讨论即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； 【小问3详解】 解：点坐标为， 的解析式为， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，需使得在上方， ，解得； 当时，原点在上方，在下方， 要使抛物线与线段只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ， 解得：， 又，则， ， ； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 24. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】（1）90，120 （2） 证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州中学2026学年初三第一次综合练习 数学学科问卷 一．选择题（共10小题，每题3分） 1. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 3. 已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，中，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象的顶点坐标为，那么关于的一元二次方程的根的情况是（ ）一题多解法 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 10. 如图，四边形内接于，，点，，分别是，，的中点，若的半径为2，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 4 二．填空题（共6小题，每题3分） 11. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是正______边形． 12. 若二次函数的图像过原点，则______. 13. 如图，是的直径，弦于E，，，则的长为______． 14. 已知二次函数的图像如图所示，当时，x的取值范围是 _____________． 15. 如图，桥拱关于水面反射的影子经过所在的圆心O，已知水面宽米，P为桥拱的最高点，在离水面相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是的中点，则点C离水面的距离是 ___________________ 米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与对称轴直线交于点，与轴、轴分别交于，，三点，①若点的坐标为，则点的坐标为；②对于任意，始终有；③若，则；④若，，（，为常数）的所有根的和为．上述命题正确的是________． 三．解答题（共8小题，共66分） 17. 已知二次函数图象的顶点坐标，且经过点． （1）求这个二次函数表达式； （2）将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式． 18. 如图，在中，已知，，． （1）用直尺和圆规作出的外接圆（保留作图痕迹，不必写出作法）； （2）在（1）的条件下，写出中的劣弧_________； （3）若以点A为圆心作，当的半径r满足________时，点B和点C有且只有一个点在内． 19. 已知教室的粉笔盒里现有2支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率． 20. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． （1）求证：； （2）若所对圆心角的度数为，求的度数． 21. 如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m），面积为y（m）． （1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； （2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？ （3）求出所能围成的花圃的最大面积． 22. 如图，以的一边为直径的半圆与边，分别交于点，，且平分． （1）求证：； （2）设，用含的代数式表示； （3）若，求弦的长． 23. 已知抛物线，点为平面直角坐标系原点，点坐标为． （1）若抛物线过点，求该函数图象的对称轴与顶点坐标． （2）在（1）的条件下，当时函数的最大值为，最小值为，求的值． （3）若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 24. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； （2）如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； （3）如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $