29.2 圆的有关性质 周学自检2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2 圆的有关性质 周学自检2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图， 是的弦，半径 于点 ．若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C在上，C是的中点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．下列四个图形的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，以为直径的分别与交于点F，D，点F是的中点，连接交于点E．若．则弦的长为（      ） A． B． C．4 D．5 8．如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．下列命题正确的有（    ） ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 12．如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 13．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为____________． 14．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 15．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为______． 三、解答题 16．如图，已知扇形．请用尺规作图法，在上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 17．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 18．如图，为的直径， 点 C、D 是的三等分点， ，求 的度数． 19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？ 20．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C A D A D A C 1．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】由垂径定理得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴． 2．【答案】D 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】垂径定理的推论 【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断． 【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理． 所以是的垂直平分线， 因而，，，都是正确的． 所以选项B、不一定成立． 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】等边对等角、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆心角与弧的关系，圆心角与圆周角的关系．连接，由点是劣弧的中点得，故，再由得到即可． 【详解】解：如图，连接， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案． 【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意； B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键． 6．【答案】D 【知识点】圆周角定理 【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 7．【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】先根据圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后利用勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：为的直径， ， 点是的中点， ，， ，， ， ， 又， ， 解得或（舍去）， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 8．【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 9．【答案】A 【知识点】垂径定理的推论、利用垂径定理求解其他问题 【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断． 【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条． ①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确； ②只满足其中的一个条件，所以不正确； ③不满足条件，所以不正确； ④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确． 故选：A． 10．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 11．【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求平行弦问题 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 12．【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 13．【答案】/ 【知识点】求角的余弦值、勾股定理与网格问题、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】根据勾股定理求得直径的长，再根据圆周角定理得到，再根据余弦函数的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由图可得：，，， ∵为直径，有， ∴在中，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，余弦函数，熟悉掌握余弦的比值关系是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】等边对等角、圆心角概念辨析及简单运算 【分析】连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 15．【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 16．【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、作角平分线(尺规作图) 【分析】作的角平分线交于，则，即知，即为符合条件的点． 【详解】解：以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于两点，再以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点交于， 即：作的角平分线交于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即：该点即为所求． 17．【答案】此时水面的宽度AB为8m 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 18．【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，先求出，根据点C、D是的三等分点，求出的度数是，即 【详解】解： 为的直径， 点 C、D 是的三等分点 的度数是 故答案为 19．【答案】相等，理由见解析． 【知识点】已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据等量代换可得，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 四边形是的内接四边形，且是四边形的一个外角， ， 由圆周角定理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 20．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、利用垂径定理求值、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $