29.2圆的有关性质同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学上册 · 同步训练 29.2　圆的有关性质 29.2　圆的有关性质 29.2.1　垂直于弦的直径 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 圆的对称性 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．圆的对称轴是直径 C．圆有无数条对称轴 D．经过圆心的直线是圆的对称轴 知识点2 垂径定理 2．如图29-2-1，是的直径，弦，垂足为，下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．如图29-2-2，是的直径，弦于点. 若，，则（　　） A．6 B． C．9 D．12 4．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何.”用现在的几何语言表示如下：如图29-2-3，弦，垂足为， 寸， 寸，则直径的长是（　　） A．12 寸 B．24 寸 C．13 寸 D．26 寸 5．如图29-2-4，是的直径，弦于点. 若，，则弦的长是（　　） A． B． C．6 D．8 6．如图29-2-5，是的弦，，为直线上的两点，. 求证：. 7．如图29-2-6，在中，，是互相垂直的两条弦，于点，于点，且 cm， cm，求的半径长. 知识点3 垂径定理的推论 8．下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的弦平分这条直径 D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧 9．如图29-2-7，在中，是弦的中点，，则的度数为____________. 知识点4 垂径定理及其推论的应用 10．如图 29-2-8 是一个圆形拱门的示意图，它是以点 为圆心的圆的一部分， 是 中弦 的中点，连接 并延长，交 于点 . 若 m， m，则 的半径为 （　） A． m B．1 m C． m D．2 m B 拓展题 规律方法综合练 11．一次综合实践活动的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径. 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图 29-2-9，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上、下边缘分别与杯口相交于 ， 和 ， 四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 7 cm， cm， cm，则可计算纸杯杯口的直径为 （　） A．5 cm B．9.6 cm C．10 cm D．10.2 cm 12．如图 29-2-10，在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 在第一象限， 与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ， 的半径为 ，则点 的坐标为 ____________. 13．数学思想 分类讨论 已知 的直径为 10 cm，， 是 的两条弦，， cm， cm，则 与 之间的距离为 ____________. 14．盾构机中某种零件由两个厚度均为 1 cm 的圆弧形金属块紧密嵌套而成，装置内部存有一定液体，将该装置放置在水平桌面 上，其截面示意图如图 29-2-11①所示，液面记为 ，内侧金属壁记为 弧AEB，外侧金属壁记为 弧CPD，当外侧金属壁在 上无滑动转动一定的角度时，内侧金属壁向反方向转动相同的角度. 已知 ，其中，内外壁所在圆的圆心均为 ，两弧所对的圆心角均为 ，内侧壁 弧AEB 的半径为 4 cm，弧CPD 与桌面的接触点为 . (1)当内侧金属壁转动到如图②所示的位置时，连接 ，，求证：； (2)如图③，当内侧金属壁转动至点 ，， 共线，即 时，液面的一端 恰与点 重合，求液面 的长. 29.2.2　圆心角 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 圆心角的概念及计算 1．下列四个图中的角，是圆心角的是 （　） 2．如图 29-2-13，在半径为 2 的 中，弦 的长为 2，则弦 所对的圆心角的度数为 ____________. 知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系 3．下列说法正确的有 （　）①相等的圆心角所对的弧也相等；②相等的圆心角所对的弦也相等；③长度相等的两条弦所对的弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等.（　） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 4．如图 29-2-14，在 中，若 是 弧AB 的中点，，则 的度数为 （　） A．45° B．80° C．85° D．90° 5．如图 29-2-15，在 中，弧AC=弧BD，，则 的度数为 （　） A．60° B．30° C．40° D．50° 6．如图 29-2-16，在 中，若 弧AB=弧CD，则下列判断错误的是 （　） A． B． C．弧AC=弧BD D． 7．如图 29-2-17，在 中，弧AB=弧AC，，则 的度数为 ____________. 8．如图 29-2-18，已知点 ，，， 在 上，，连接 ，. 求证：. 9．如图 29-2-19，在 中，弧AC=弧BC， 于点 ， 于点 . 求证：. B 拓展题 规律方法综合练 10．如图 29-2-20 所示，在 中，弧AB=2弧CD，则下列结论正确的是 （　） A． B． C． D．无法确定 11．如图 29-2-21 所示，， 是半径为 3 的 上的两点. 若 ， 是 弧AB 的中点，则四边形 的周长为 ____________. 12．如图 29-2-22 所示， 为 的直径， 为半圆上靠近点 的三等分点， 于点 ，则 的度数为 ____________. 13．如图 29-2-23 所示，以 ▱ 的顶点 为圆心， 长为半径作圆，分别交 ， 于点 ，，延长 交 于点 . 求证：弧GE=弧EF. C 探究题 拓广探究创新练 14．如图 29-2-24，， 是 的弦，，半径 ， 分别与弦 ， 垂直，垂足分别为 ，，，交 于点 ，，交 于点 ，连接 . (1)求证：； (2)求证：四边形 是菱形； (3)若 ，，则 ____________. 29.2.3　第1课时　圆周角定理及其推论 A 巩固题 知识要点分类练 知识点1 圆周角的概念 1．如图 29-2-25， 是圆周角的是 （　） 2．如图 29-2-26，弧BC 所对的圆周角是 ____________，弧CD 所对的圆周角是 ____________. 知识点2 圆周角定理 3．如图 29-2-27，点 ，， 在 上，，则 的度数是 （　） A．40° B．50° C．80° D．100° 4．如图 29-2-28，， 是 的弦，， 是 的半径， 是 上任意一点(点 不与点 重合)，连接 . 若 ，则 的度数可能是 （　） A．70° B．105° C．125° D．155° 5．如图 29-2-29， 的半径为 5， 为弦. 若 ，则 的长为 ____________. 6．如图 29-2-30，，， 为 上的三点，. 若 ，则 的度数是 ____________. 知识点3 圆周角定理的推论 7．如图 29-2-31， 是 的弦，点 ， 都在 上. 若 ，则 （　） A．20° B．40° C．50° D．70° 8．如图 29-2-32， 是 的直径，， 是圆上的两点，连接 ，，. 若 ，则 的度数为 （　） A．14° B．15° C．16° D．37° 9．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角曲尺进行如图 29-2-33 所示的测量，测得 cm， cm，则圆形镜面的半径为 ____________. 10．如图 29-2-34， 是 的直径，， 是 的两条弦，连接 ，， 平分 ，则 的度数为 ____________. 11．如图 29-2-35，A 是⊙O 上一点，BC 是⊙O 的直径，AC=2，AB=4，点 D 在⊙O 上且平分 ⌒BC，求 DC 的长. B 拓展题 规律方法综合练 12．如图 29-2-36，点 A，B，C 在半径为 2 的⊙O 上，∠ACB=60°，OD⊥AB，垂足为 E，交⊙O 于点 D，连接 OA，则 OE 的长为（　） A．2 B．1 C．6 D．5 13．如图 29-2-37，两灯塔 A，B 间的距离恰好等于暗礁所在圆的半径（图中阴影部分为暗礁区），要使船 P 不驶入暗礁区，则航行中应保持∠P（　） A．大于30° B．小于30° C．大于60° D．小于60° 14．如图 29-2-38，MN 为⊙O 的弦，∠ONM=50°，则弦 MN 所对的圆周角的度数为 ____________. 15．如图 29-2-39，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上的两点，D 为 ⌒AC 的中点，OD 与 AC 交于点 E，连接 BC，AD. (1)求证：OD∥BC； (2)若∠B=70°，求∠CAD 的度数. C 探究题 拓广探究创新练 16．【新考法】注重学习过程 如图 29-2-40①所示，AB，CD 是⊙O 的弦，且 AB⊥CD，垂足为 P，连接 AD，BC. 若 AD=4，BC=3，求⊙O 的直径长. 下面是小博的解题过程，请补充完整. 解：如图②，连接 DO 并延长，交⊙O 于点 E，连接 AE. …… 29.2.3　第2课时　圆内接四边形 A 巩固题 知识要点分类练 知识点 圆内接四边形的性质 1．如图 29-2-41，四边形 ABCD 内接于⊙O. 若∠D=50°，则∠B 的度数是（　） A．115° B．120° C．125° D．130° 2．如图 29-2-42，四边形 ABCD 内接于⊙O. 若∠BOD=130°，则∠ECD 的度数是（　） A．50° B．55° C．65° D．70° 3．如图 29-2-43，四边形 ABCD 内接于⊙O，⌒AB=⌒BC，连接 BD. 若∠ABC=70°，则∠BDC 的度数为（　） A．20° B．35° C．55° D．70° 4．如图 29-2-44，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，AB=AD，E 是 ⌒AD 上一点，连接 AE，DE，BD. (1)若∠C=110°，则∠E 的度数为 ____________； (2)若∠E=∠C，求证：△ABD 为等边三角形. B 拓展题 规律方法综合练 5．如图 29-2-45，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径. 若∠BEC=20°，则∠ADC 的度数为（　） A．100° B．110° C．120° D．130° 6．如图 29-2-46，点 A，B，C，D 在圆上，∠C=90°，D 为 ⌒AB 的中点，连接 BD. 若 AC=1，BD=2，则 BC 的长为 ____________. C 探究题 拓广探究创新练 7．如图 29-2-47，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别交于点 E，F. (1)当∠E=∠F 时，∠ADC=____________°； (2)当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F 的度数； (3)若∠E=α，∠F=β，且 αβ，请你用含有 α，β 的代数式表示∠A 的大小. 参 考 答 案 【29.2.1 垂直于弦的直径】 1．B 2．D[解析]是的直径，弦，垂足为，，，为的中点，即，故选项A，B，C结论成立。而与不一定相等，故选项D结论不一定成立。故选D。 3．C[解析]，是的直径，，。在Rt中，由勾股定理，得。故选C。 4．D[解析]如图，连接。，寸，寸。设寸，则寸。寸，寸。在Rt中，由勾股定理，得，即，解得，寸，寸。故选D。 5．B[解析]连接。由题意，得，。在Rt中，由勾股定理，得。，。 6．证明：如图，过点作于点，则。，，，，即。 7．解：连接，如图。，，(cm)，(cm)，。，是互相垂直的两条弦，，四边形是矩形， cm。在Rt中，由勾股定理，得 cm，即的半径长为5 cm。 8．D 9．[解析]是弦的中点，，即，。故答案为。 10．C 11．C[解析]如图，设纸杯杯口的圆心为，过点作于点，的延长线交于点，连接，。 cm，(cm)。，，， cm，(cm)。设 cm，则 cm。在Rt中，由勾股定理，得。在Rt中，由勾股定理，得。又，，即，解得， cm，(cm)，纸杯杯口的直径为(cm)。故选C。 12．[解析]过点作轴于点，连接，如图。，，。在Rt中，，，，。 13．7 cm或1 cm[解析]过圆心作于点，直线交于点，连接，。，。的直径为10 cm， cm。由垂径定理可知 cm， cm， cm， cm。(1)当圆心在，之间时，如图①， cm；(2)当圆心在，同侧时，如图②， cm。综上所述，与之间的距离为7 cm或1 cm。 14．解：(1)证明：如图①，连接，，，。由题意知，，即。又，，，。(2)如图②，连接交于点，连接，则经过点。，，，，。，，(cm)，(cm)， cm。 【29.2.2 圆心角】 1．B 2．[解析]如图，连接，。，是等边三角形，。故弦所对的圆心角的度数为。 3．D 4．D 5．D 6．B 7．[解析]，，，。 8．证明：，，，即，。 9．证明：如图，连接。，。于点，于点，。在与中，，，，，。又，，即。 10．C[解析]如图，取的中点，连接，。在中，，，。在中，，。故选C。 11．[解析]连接。是的中点，。又，。又，和都是等边三角形，，四边形的周长为12。 12．[解析]如图，连接。是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，。又，是等边三角形，，。又，。 13．证明：连接，如图。四边形为平行四边形，，，。，，，。 14．解：(1)证明：，。半径，分别与弦，垂直，，，，。(2)证明：，，四边形是平行四边形，。又，，，四边形是菱形。(3)　[解析]，，。在Rt中，由勾股定理，得。由(2)知。设，则。在Rt中，由勾股定理，得，即，解得，。 【29.2.3 第1课时 圆周角定理及其推论】 1．D 2．　， 3．B 4．D 5．[解析]连接，。，。又，是等边三角形，。 6． 7．B 8．C[解析]如图，连接。是的直径，。，，。故选C。 9． cm 10．[解析]如图，连接。，。是的直径，，。平分，。故答案为。 11．解：是的直径，。在Rt中，，，。点在上且平分，，。在Rt中，由勾股定理，得，，。 12．B 13．B[解析]如图，设暗礁所在圆的圆心为点，与交于点，连接，，，。，是等边三角形。，。是的外角，，。 14．或[解析]，，，弦所对的圆周角的度数是或。故答案为或。 15．解：(1)证明：是半圆的直径，。为的中点，，。又，，，，。(2)连接，如图。，，，由(1)知，。 16．解：补全过程如下：为的直径，，即。，。，，，即，，。在Rt中，由勾股定理，得，的直径长为5。 【29.2.3 第2课时 圆内接四边形】 1．D[解析]根据圆内接四边形的性质可知。故选D。 2．C 3．C 4．解：(1)[解析]四边形是的内接四边形，。，。，。四边形是的内接四边形，，。(2)证明：由(1)知，。又，，。又，，为等边三角形。 5．B[解析]如图，连接。是的直径，。，。四边形是的内接四边形，。故选B。 6．[解析]连接，，如图。，是圆的直径，。为的中点，，。，。 7．解：(1)(2)在中，，，。四边形是的内接四边形，，，。(3)，，，，，。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $