精品解析：河北邢台市四校2026-2027学年高二上学期10月学情检测数学试题

高二年级10月学情检测 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】若直线与直线互相垂直， 则，得. 2. 已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（ ） A. 5100 B. 4999 C. 5202 D. 5000 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，对，， 可知数列的奇数项构成等差数列，偶数项也构成等差数列，二者公差都为， 前项中，奇数项为，共项。首项，公差， 奇数项的和为， 偶数项为，共项，首项，公差， 偶数项的和为， 数列前项和为. 3. 设函数在上可导，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数在上可导，所以 . 4. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的实数根， 因此，解得，所以的取值范围是. 5. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式，因为，两边除以，得出. 设，求导：. 由条件，又，所以， 在R上单调递增. 已知，， 因为单调递增，所以时，， 故不等式解集为. 6. 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先将方程的根转化为函数图像交点，分区间讨论求出参数的范围 ，再解方程，分,两段统计零点总数. 【详解】方程有三个不同的实数根，等价于与的图象有三个交点. （1）当时，，，联立得，解得（舍）或， 若，则与有一个交点，若，则与无交点； （2）当时，，，联立得， 当时，方程无解，当时，可化为，令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，又时，，时，， 所以当时，方程有且仅有一个解，即方程有且仅有一个实数根； 当时，方程有两个解，即方程有两个不同的实数根. 综上，若方程有三个不同的实数根，则. 求的零点，即求方程的根， 当时，由，解得，方程只有一个根； 当时，由整理得， 因为，且，所以方程有两个不同的负根， 综上，方程有三个不同的实数根，即的零点个数为. 7. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用垂直直线联立求出A点坐标，由线段比例得到向量关系求出B坐标，代入双曲线方程得到a，b，c关系，再用椭圆、双曲线的定义求出椭圆长半轴，最后算椭圆离心率. 【详解】设，其中，，则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， ，故， ，， 由双曲线定义得，所以， 设椭圆的长轴长为， 由椭圆和双曲线共焦点和椭圆定义得， 所以椭圆半轴长为， 所以椭圆的离心率为. 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 若，则的最小值为4051 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 10. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明判断A；利用双曲线的对称性推理判断B；设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理并按直线与双曲线位置关系分类求解判断CD. 【详解】双曲线：的右焦点为，左右顶点分别为， 对于A，当直线斜率为0时，，A错误； 对于B，由满足的直线恰有3条，得必有2条直线与双曲线的左右两支相交， 并关于轴对称，另有一条直线与右支交于两点，也关于轴对称，其斜率不存在， 因此为通径长，等于12，B正确； 对于C，当斜率为0时，成立， 当斜率不为0时，若直线与交于同一支， 则， 设，， 由，得， 则，，， 因此， 若直线与交于左右两支时， 不妨设在左支，， 同理可得成立，因此恒成立，C正确； 对于D，当直线与交于右支时，， 当直线与交于左右两支时，不妨设， ， 由，得， 当直线斜率为0时，， 因此的取值范围为，D正确． 11. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，且则数列的通项公式为 B. 设是等差数列的前项和，若，则 C. “数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据当时得到的通项公式不是；对于B，根据得到，再利用得到；对于C，根据等差数列与正项等比数列的定义验证充分性与必要性即可；对于D，，再利用并项求和转化为等比数列求和即可. 【详解】对于A，令，， 即， 代入，可得. 当时 所以A错误. 对于B，因为是等差数列的前项和， 所以，所以 ，故B正确 对于C，充分性：数列为正项等比数列，可设 所以，所以，因为为常数， 所以为等差数列. 必要性：数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 所以，所以， 因为为常数，且首项， 所以数列为正项等比数列. 故C正确. 对于D， 所以. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式an＝________. 【答案】12n－10 【解析】 【分析】 首先求出两数列的公差及其最小公倍数，即为新数列的公差，再找出首先，最后根据等差数列的通项公式计算可得； 【详解】解：等差数列2，6，10，，190，…的公差为4， 2，8，14，，200，…的公差为6， 2与6的最小公倍数为12， 两个等差数列的公共项为2，14，26，38，50，，则公共项为． 故答案为： 13. 若，恒成立，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得在上恒成立，构造函数利用导数求得最小值，由此可得a的范围. 【详解】，恒成立， 得在上恒成立， 设，则， 对于函数，， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时，取“=”号， 故，a的取值范围是． 14. 如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】过作于，利用几何关系求出，再以为原点，在平面内建立平面直角坐标系，利用点在抛物线上代入可得. 【详解】过作于， 因为，所以， 因为是母线的中点，所以，， 以为原点，在平面内建立平面直角坐标系如右图： 易得，设抛物线方程为，代入可得， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用点斜式求出方程即可； （2）根据直线的斜率，求出的中垂线斜率，结合的中点，得到的中垂线方程，其与直线的交点即为圆心，即为半径，根据圆心半径写出圆的标准方程即可. （3）由（2）得圆心的坐标，结合的距离等于半径，判断得到的外接圆方程. 【小问1详解】 边的中点．中线过与，斜率， 故：，即． 【小问2详解】 的中点为，的斜率为，故的垂直平分线方程为． 圆心在直线上，联立 解得．半径，故圆的标准方程为． 【小问3详解】 由（2）得圆心，又， ，， 故三点均在圆上，所以的外接圆就是圆，方程为． 16. 党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. （1）证明：为等比数列； （2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 【答案】（1） 由题意，当时， ， 变形为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）约为亿元 【解析】 【分析】（1）由题意得到递推公式，化简得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，计算出该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积，结合题意可求得改造的费用. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以数列的通项公式. 则， 由题意可知，该地区政府完成沙漠治理计划时，把沙漠改造成绿洲的面积为 ， 所需的改造费用为（亿元）. 17. 数列的前项和满足，等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）已知前项和，利用作差，推出是等比数列，代入求出首项，得到；算出，代入条件得到关于等差数列首项、公差的方程组，解出，得. （2）写出，得到等差×等比型数列；写出，两边同乘等比数列公比，两式相减，对中间等比部分求和，化简得到 【小问1详解】 由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由(1)得， 得 ， . 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【小问1详解】 由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得 ， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设有且两点间的距离，将问题化为求 ()的最小值即可； （3）将问题化为对任意恒成立，并应用导数研究其最小值即可得. 【小问1详解】 当时 ， 所以，故切点为， 又 ，得切线斜率 ， 所以切线方程为，化简得； 【小问2详解】 当时，，， 由轴，可知两点的纵坐标相等，即， 所以，即， 因为，两点间的距离， 由于，， 令 ()，则，求导得， 令 ，则， 因为时 ，所以（仅在时等号成立），即在上单调递增， 因此，即在上单调递增， 所以的最小值为， 所以两点间最短距离为1； 【小问3详解】 已知时，恒成立， 且，， 所以 ，整理得对任意恒成立， 令 ()，则问题转化为对任意恒成立， 注意到，要使在时恒成立，则在右侧必须单调递增， 求导，且， 若要满足条件，必有，即， 当时， ， 令，求导得 ， 令，求导得， 所以在上单调递增，且， 因此 ，在上单调递增，且， 所以，从而， 综上，当时在上单调递增， 因此对任意恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月学情检测 数学试题 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若直线与直线互相垂直，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2. 已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则（ ） A. 5100 B. 4999 C. 5202 D. 5000 3. 设函数在上可导，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，其中为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作直线的垂线交于点，并与的右支交于点，，过点作与双曲线有相同焦点的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的最大项 D. 若，则的最小值为4051 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 10. 已知双曲线：的右焦点为，过的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 若满足的直线恰有3条，则 C. 恒成立 D. 的取值范围为 11. 数列前项的和为，则下列说法正确的是（    ） A. 若，且则数列的通项公式为 B. 设是等差数列的前项和，若，则 C. “数列为正项等比数列”是“数列为等差数列”的充要条件 D. 若，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，则数列{an}的通项公式an＝________. 13. 若，恒成立，则a的取值范围是________． 14. 如图，在圆锥中，，是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点．已知平面与圆锥侧面的交线是抛物线的一部分，设该抛物线的焦点为．若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 的三个顶点分别是、、． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程； （3）求的外接圆方程． 16. 党的十八大以来，我国防沙治沙工作取得显著成效，《全国防沙治沙规划（20212030年）》的提出明确了今后一个阶段防沙治沙工作的总体思路、工作重点和目标任务.某地区政府顺势提出了沙漠治理的十年计划.已知第年该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，是绿洲.从第年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，而原有绿洲的被沙漠所侵蚀后又变成沙漠.设第年的绿洲面积为万平方千米，其中，. （1）证明：为等比数列； （2）假设把沙漠改造成绿洲的改造费为每万平方千米亿元，请计算该地区政府完成沙漠治理计划总共需要拨款的费用. 17. 数列的前项和满足，等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $