河北保定市唐县第一中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学答案 题号 2 3 5 7 9 10 答案 C C D B C C D BC ABD 题号 11 答案 ABD 8.D【分析】求出点A关于x轴、直线I的对称点M、N的坐标，可知BM=AB,CN=AC,则 AB+AC+BC=BM+CN+BC≥MW,当且仅当点B、C分别为线段MN与x轴、直线I的交点时， 等号成立，即可求解 VA 【详解】如下图所示： 点A关于x轴的对称点为M(4,-5),设点A关于直线I的对称点为N(a,b), b-5-_1 则a-42 a=0 ,解得 b+5=2xa+4 6-7,即点N(0,7),由对称性可知BM=|AB,1CN=|AC, +2 2 2 所以△ABC的周长为AB+AC+BC=|BM+|CW+|BC≥MN=V(4-0)}'+(-5-7)2=4W10, 当且仅当点B、C分别为线段MN与x轴、直线l的交点时，等号成立，故△ABC周长的最小值为4V10 11.ABD【详解】以C为原点，分别以CA,CB,CC为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标：C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),P是A4的中点，故 P(2,0,1).对于选项A,向量AB=(-2,2,2),BC=(0,-2,2),故AB·BC=(-2)×0+2×(-2)+2×2=0. 因此AB⊥BC,即AB,⊥BC,A正确， 对于选项B,CA=(2,0,0),CB=(0,2,2), C4=2x=0 x=0 设平面ACB,的一个法向量i=（x,y,z),则 n.CB=2y+2z=0 解得2=-y令y=1,则万=(0,1，-) 解 因为C乎=(2,0，，所以点P到平面4C8的距离为d-CP_0x2+1x0+(-x2 1成 V02+12+(-1)2 =2，B正确 对于选项C,向量PB=(-2,2,1),设直线PB与平面ACB,所成角为O, 则sin0= PB·10×(-2)+1×2+(-1)×1 PBH 3×V2 6,C错误 对于选项D,侧面BCCB内的点Q满足x=0.设Q(0,y,z),由PQ=V6得： 答案第1页（共4页） V(2-0)2+(y-0)2+(z-1)2=V6,化简得y2+(z-1)2=2 该圆半径为√2，在矩形BCCB(y∈0,2，z∈0,2])内的部分是圆心角为无的圆弧， 所以轨迹长度为}×2π×N=5r,D正确 A、 2 12.(0,0,3) 13.(-4,3)U(3,10) 【详解】由题意得，直线I的方程可化为(x+2)k-y+4=0,所以直线1恒过定点A(-2,4), 又曲线x-2=√4-y2可化为(x-2)2+y2=4(x≥2)，其表示以(2,0)为圆心，半径为2的圆的右半部分，如 图当1与该曲线相切时，点20)到直线的距高d=4+=2,解得k-4+7或k=4-7 Vk2+1 3 3 由题意可知点B(2,2),则k=4-2-{ -2-221 图可得，若要使直线与曲线x-2=4-广有两个交点，须得)k<4十7，即k: 「1√7-4 2’3 15.(1)2x+y-7=0(2)x+2y=0或x+y+1=0 【详解】(1)直线：x-2y+4=0整理为斜截式方程得y=2x+2,故4的斜率k 2因为4与4垂直， 所以马的斜率人=一 1 =-2,又过点(2,3)，由点斜式方程得：y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0 2)联+告0解物=2.=1，-2. 分两种情况讨论：①当4在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为y=c,将P(-2,1)代入得1=-2k, 1 解得三一二，故方程为y三一)x,即x+2少=0： ②当l,在两坐标轴上的截距不为0时，设方程为+Y-1(a≠0，即x+y=a,将P(-2,)代入得 aa a=-2+1=-1,故方程为x+y=-1,即x+y+1=0;综上，14的方程为x+2y=0或x+y+1=0. 16a后号-1o-2 【详解】K1)已知5上2，因为FE上2c,所以c=1.点P0,-3)在椭圆上，将其代入椭圆方程+上 9 b2 =l,即京=l,解得b=3.又因为c2=d-,c=1,b=3,所以d=+c2=9+1=10. 所以椭圆的标准方程为亡+上=1 109 (2)因为PR1P,所以aP的面积S=2×刘PRIXIPFH4,则IPRIXIPE上8根据椭圆定义， IPFI+|PF=2a.由勾股定理可得PF2+|PEPAFE2=(2c)2 答案第2页（共4页） 又0P℉I+|PFD2PF2+|PF2+2|PFI×|PF2l,即(2a)2=(2c)2+16 在椭圆中有c2=a2-b2,将(2a2=(2c)2+16变形为a2=c2+4,即b2=4,解得b=2. 17.(1)以点C为坐标原点，CB,CD,CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间 直角坐标系C-yz.:PC=2,BC=2V3, -oL).n2/5.ne)a2J5.io)ro2wl5a2 0p-0-12.Di-(.a0,aW-（5}设i-k为r鱼P的-个法同量. DP.n=0, -y+2z=0, 由 得 2√5x+3y=0. 令y=2,得n=（-5,2,1, DA.n=0, n.CM=-5x5+2x0+1×3=0,则n1CM,又CMz平面PMD,CM1平面PMD: (2)如图，取AP的中点E,连接BE,则EN5,2,1,BE=（-V5,2,1 PB=VPC2+BC2=4=AB,:.BE L PA.BE.DA=(-,2,1)-(2.3.0)=0, .BE⊥DABE⊥DA,又PAODA=A,PA,DAc平面PAD, ∴BE⊥平面PAD,又BEC平面PAB,.平面PAB⊥平面PAD. 18.()P(3,1),圆C的方程为(x-7)2+(y-4)}=25 (2)x=10或7x+24y-70=0 【详解】1)将直线的方程整理为(x-3)x-2y+5=0,令-30 -x-2y+5=0'解得 x=3 y=1'故P3,, 由圆心在直线x-2y+1=0上可设圆心坐标为C(2m-1,m),则AC=CP, 即V(2m-1-4)2+m2=(2m-1-3)2+(m-1)},解得：m=4, 故圆心坐标为C(7,4),半径为V(7-4)2+42=5,故圆C的方程为(x-7)2+(0y-4)2=25: (2)当直线斜率不存在时，直线l为x=10,此时圆心到x=10的距离为10-7=3， 由垂径定理得：弦长为2×V52-32=8,满足要求，当直线斜率存在时，设直线为y=k(x-10), 圆心C7,4)到直线y=(x-10)即x-y-10k=0距窝为d=4+3 V+2, 答案第3页（共4页） 2 由垂径定理得： 4+3k 8)2 1+k2 ,解得：=7故直线岁程为：少40)即 7x+24y-70=0综上：直线4方程为x=10或7x+24y-70=0 19.(I)因为SC⊥底面ABC,DEC面ABC,所以SC⊥DE,又D为棱AB上的点，CD=ED, 取CE的中点M,所以DM⊥CB,又AC⊥BC,所以DMI∥AC, 又因为CM=AME,CE=2EB=4,所以M-号c,所以DW-号4C=2, 所以CD=DE=2√2，所以CD2+DE2=CE2,所以CD⊥DE, 又SCOCD=C,SC,CDc平面SCD,所以DE⊥平面SCD: (②()3V21,(i)存在，P为SB的中点 14 因为SC⊥底面ABC,所以SD与底面ABC所成角为∠SDC, 所以在RtSDC中，tan∠SDC=SC=2 CD 2 又CD=2V2,所以SC=2, 如图，以CA,CB,C下为x轴，y轴，z轴，以1为单位长度，建立空间直角坐标系C-z, 则S(0,0,2),A(3,0,0),D(2,2,0),E(0,4,0)，DE=（-2,2,0),AS=（-3,0,2),AD=（-1,2,0), 设平面ASD的一个法向量n=（x,y,z), n⊥AS 由 n方.A6=0n∫-3x+2z=0 万1D'即 D=0'即 -x+2y=0取x=2,可得i=(2,13), 又由(1)可知DE为平面SCD的一个法向量， 设平面ASD与平面SCD所成的二面角为B,所以cos0=cos(DE,n= DE.n 4+2-万 DE同 2W2×V1414 所以sn0=N-eos0-32,又由(1)可知DE为平面SCD的一个法向量，设平面4SD与平面SCD所 14 成的二面角为0，所以平面AD与平面，SCD所成的二面角的正弦值为3V21 14 (i)假设存在点P,使得点P到平面ASD的距离为 14 设SP=SE(0≤≤1)，由(i)可得SE=(0,4,-2),所以SP=SE=(0,4九，-22)， 又由(i)可知平面ASD的一个法向量i=(2,1,3),所以点P到平面ASD的距离d= |SP.i41-62_14 14 14 所以1=？所以P为S证的中点， 答案第4页（共4页）高二数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.经过A(0,2),B(a,4)两点的直线的方向向量为p=(1,2),则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.若点(2,1)在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则α的取值范围是() A. c（4 D.(,4u2 3. 已知圆C:x2+y2=4与圆C:(x+a)2+y+2)2=9有三条公切线，则a=() A.V21 B.V29 C.±√29 D.±V21 4.已知直线：x+y-1=0,l2:(3a-2)x+y-2=0,则l/1l2的充要条件是() 1 A.a= B.a=1 C.a=2 D.a=1或2 3 5.在三棱柱ABC-ABC中，设AA=a,AB=b,AC=,M是BC上靠近B点的三等分点，则AM 可表示为() A.AM=1a+26+1e B.AM=-2a+6+2c 3 33 333 1 2 3 D.AM= 6.设点A(2,1),B(-2,3),若直线x+y+1=0与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围为() A.（-0,-1) B.（-2,1) c.（-1,2) D.(1,+oo) 7.已知在菱形ABCD中，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角A-BD-C为 直二面角，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为() A D. 8.已知点A(4,5),点B在x轴上，点C在直线：y=2x+2上，则△ABC周长的最小值为() A.10 B.210 C.310 D.410 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知直线：x-y+1=0,则下列结论错误的是() A.直线1的倾斜角是： B.若直线m:x-y-1=0,则1⊥m C.点(1,0)到直线1的距离是1 D.过点(2，-2)与直线1平行的直线方程是x-y-4=0 10.圆C:(x-1)+(y-1)2=25,直线1：mx+y-3m-2=0,则() A.直线l与圆C必相交 B.圆C被y轴截得的弦长为4V6 C.圆C被直线1截得的弦长最短时，直线I的方程为2x-y-4=0 D.m=1时，圆C上存在四个点到直线l的距离为2 11.在直三棱柱ABC-ABC中，AC⊥BC,AA=AC=BC=2,P为棱AA的中点，Q是侧面BCCB 内一点（含边界），PQ=√6，则() A.AB⊥BC B.点P到平面ACB的距离为 C.直线PB与平面4A所成角的正弦值为Y5 D.点Q的轨迹长度为2元 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知向量=(0,0,2)，b=（-1,1,1),则向量a+6在向量ā上的投影向量为 13.已知方程，之十广=1表示椭圆，则实数k的取值范国为 Γ10-kk+4 14.若直线1：x-y+4+2k=0与曲线x-2=√4-y2有两个交点，则实数k的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知直线l:x-2y+4=0,1:4x+3y+5=0,且直线l,的交点为点P. (1)若直线1经过点(2,3)，且与直线垂直，求直线13的方程： (2)若直线1，经过点P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线4的方程. 16.15分)已知，B分别是新圆c等+茶=1(a>b>0)的东、右货点，P为c上-点 (1)若FF=2,点P的坐标为(0，-3)，求椭圆C的标准方程； (2)若PF⊥PF2,△FPF的面积为4，求b的值 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中， ∠ABC=∠BCD=90°，AB=4,BC=2N3,CD=1,点M在PB上，PB=4PM.求证： P M (I)CMl面PAD: (2)面PAB⊥面PAD 18.(17分)已知直线1：(k-1)x-2y+5-3k=0(k∈R)恒过定点P,圆C经过点A(4,0)和点P,且圆 心在直线x-2y+1=0上. (1)求定点P的坐标与圆C的方程； (2)过M(10,0)的直线l被圆截得的弦长为8，求直线（方程. 19.(17分)如图，在三棱锥S-ABC中，SC⊥底面ABC,AC⊥BC,CE=2EB=4,AC=3,D 为棱AB上的点，CD=ED: S B D (I)求证：DE⊥平面SCD: (②)设，SD与底面ABC所成角的正切值为2 (i)求面ASD与面SCD所成的二面角的正弦值： ()棱SE上是否存在点P,使得点P到面4SD的距离为4？若存在，确定点P的位置：若不存 14 在，请说明理由.