河北邢台市质检联盟2026-2027学年高二上学期10月测评数学试题

高二数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 中 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.4。 你 一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.过A(1,4√3)，B(2,3√3)两点的直线的倾斜角为 如 A晋 B哥 c. π 2.点A(0,一2)到直线3x一4y+2=0的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线x一2y十c=0将圆C:(x一1)2+y2=4的圆周平分，则c= 封 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 1 4.已知直线l的一个方向向量为m,平面a的一个法向量为n,若cos(m,n)= ,则直线1与平 面α所成的角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 5.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,1,-2),B(一2，m,m),C(m,2,4),且AB⊥OC, 则m= A.3 B.-3 C.2 D.-2 6.已知点M(1,0),N(0,3)在直线l:(x一3)-一y十2=0的两侧，则k的取值范围是 A(-1,号) B(-，-3)U1,+) c(-}) D.(-o,-1DU(}+∞) 笑 7.已知动点P与两个定点O(0,0),A(0,4)的距离之比为1：3，则动点P的轨迹方程为 A2+(0+号》-是 B+(-2)》=日 C.x2+(y+2)2=12 D.x2+(y-2)2=12 8,已知四棱锥P-ABCD的所有棱长均为4，且P吃=}EA,C京-F店，则- A.√15 B./1I C.3 D.4 【高二数学@第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 9.设点A(-1,1),B(2,5),C(4,3),D(0,-5),E(3,一4)，F(8,一6)，若直线1分别与△ABC、 △DEF各恰有一个交点，则直线L的斜率的最小值为 A-号 B.-5 C.-6 D.-7 10.《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形（扇环 是指圆环被扇形截得的部分)的柱体.现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1,BB1, CC1,DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆（同心圆）的半径分别为1和2，对 应的圆心角为，E为DD,的中点，则异面直线AB,与CE所成角的余弦值为 A①7 4 D B瓷 C85 20 D 11.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,-6),B(-6,0),C(6,0),一束光线从点D(-4,0)射 出，经AB反射后，再经AC边上的点E反射，落到点F(2,0)处，则点E的坐标为 A(9,2》 B(,) c(9,》 D.(3,-3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 12.已知圆C的方程为x2+y2+2x-4y一15=0，点M(2,一1)，N(4,3),则 A圆心C的坐标为（一1,2） B.圆C的半径为4 C.点M在圆C的内部 D.点N在圆C的外部 13.如图，△ABC是等腰三角形，A(0,5),B(一√3，一1)，C(5,一1)，D是BC的中点，坐标原 点E在线段AD上，过点E的直线L与线段AB,AC分别交于F,G两点，则 A直线1的斜率的取值范围为[-，停] B点G的纵坐标的最大值为 c5<IrG1c号 是≤部+装 1 24 【高二数学◆第2页（共4页）】 CS扫描全能王 同壁3亿人都在用的扫描App 14.已知正四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面边长为2，高为4，点P满足A1产=λAB+AD AAi,Aμ∈[0,1]，点Q满足B成=mBB,m∈[0,1]，D克=DD,则 A,点P在正方形ABCD内（含边界） B当m=时，EP+PQ≥2,6恒成立 C.当m=g时，满足A1P⊥DQ的点P的轨迹长度为2W2 D.当m=6时，满足D,P⊥PQ的点P的轨迹围成的区域面积为元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 15若直线y=3x十1与直线y=2十x-5平行，则m=▲ 16.已知圆C经过A(2,5),B(4,3)两点，且圆心C在直线y=2x上，则圆心C的坐标 为▲· 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2V2, AB=4,AB∥CD,AB⊥BC,且CD=2,BC=3,E为PC的中点，平面 ADE交PB于点R,则品 四、解答题：本题共4小题，共62分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(13分) 已知点A(1,一1)，B(4,5),C(6,0). (1)若点D在y轴上，且CD⊥AB,求直线BD的斜截式方程； (2)若点D在x轴上，且∠BCD=∠BDC,求直线AD的倾斜角. 19.(15分) 如图，四边形ABCD是梯形，AB/∥CD,AB⊥BC,BC=2,AB=2CD=6,EA=EB=√13， DE=2√2，F是线段BE的中点、 (1)证明：AB⊥DE. (2)证明：CF平面ADE (3)求直线CF到平面ADE的距离. 【高二数学◆第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 20.(17分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD/BC,AB⊥AD,AD=3AB=BC=6,点E在线段AD 上，AE=2.将△ABE沿BE折起，使点A移动到点P的位置，连接PC,PD,得到如图2所 示的四棱锥P-BCDE.设线段BC的中点为F. (1)若PC=2√3，证明：EC⊥平面PBE. (2)若PF=√6，求二面角B-PC-D的正弦值. D 9 欧 图1 图2 21.(17分) 到 在平面中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆.已知 x,y满足方程x2十y=16,记其构成的平面图形为2，A(0,t),B(4,0),C(0,一2)为平面图 形2上不同的三点，点D(1,0)在平面图形2的内部. (1)求t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求△ACD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形2的最小覆盖圆的半径. 线 【高二数学。第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp高二数学测评参考答案 1.C设直线AB的领斜角为9，则am035-5-5,解得0答 2-1 2,B所求距离d=0+8+2 2. 5 3.A易知圆心C的坐标为(1,0).由题意知圆心C在直线x一2y+c=0上，则1一2×0+c= 0,解得c=-1. 4.A设直线l与平面a所成的角为0，则sin0=cos(m,n>=2,因为0°≤0≤90，所以 0=30°. 5.D因为AB=(-3,m-1,m+2),O元=(m,2,4),AB⊥0C,所以AB.O元=-3m十 2(m-1)+4(m+2)=0,解得m=-2. 6.C易知直线l:k(x-3)-y+2=0恒过点P(3,2).因为点M(1,0),N(0,3)在直线l:k(x -3》-y十2=0的两侧，所以ak<m又w=-号w=1,所以-}k<1. 又A设Pe以由-日易风-则一化的测+(+》 9 41 8,B由图可知成-E驴+P心+C京.因为P陀-}EA,C京=F,所以 成-}pA+P心+p啦-P心)=-pi+Pi+P心因为四 棱锥P-ABCD的所有棱长均为4，连接AC,所以AC=4√2，PA2+PC2 =AC,则PALPC,所以E=GPiP+PI+P心-}Pi.P吃-0+ 号Pi,P元-品×16+×8=1，则-m. 9.C直线l肯定经过△ABC及△DEF各一个顶点，且直线l的倾斜角是钝角.由图（图略）可 知，只需比较直线CF,AD的斜率因为如-8-一是，k如=。 -5-1 8-4 =-6,所以l的 斜率的最小值为一6. 10.D以底面扇环对应的圆的圆心O为坐标原点，建立如图所示的空间直A 角坐标系.则A(-1w3,0,B(-2,4).C1,6.0,E20,2所 以AE-(分，-4)，C2=(10,2),则sAE,C2)= AB.CE ABCE 【高二数学·参考答案◆第1页（共7页）】 +8 √85 √/17X√5 10,即所求角的余弦值为0了 11.B如图，易知直线AB的方程为y=-x一6，直线AC 的方程为y=x一6.设点D关于直线AB对称的点为 B D y D1(x,y),则 x+41, 解得 x=-6, 即 24+=-6, x一41 y=-2, D1(-6,-2).设点F关于直线AC对称的点为F1(a, b),同理可得F1(6,一4)，则直线D1F1的方程为y=一 6x-3.由 y=- -3得 y=x-6, _18 7 24 即(9，》. y= 7, 12.ACD圆C的标准方程为(x+1)2+(y一2)2=20，它的圆心坐标为（一1,2），半径为2√5， A正确，B错误；把点M,N的坐标分别代入(x+1)2+(y一2)2，得(2+1)2+（一1一2）2< 20,(4+1)2+(3一2)2>20，则点M在圆C的内部，点N在圆C的外部，C,D均正确， 1以.AC设1：y一缸，因为直线EB的斜率为得，直线5C的斜率为，所以-C≤。 A正确。 5 x=- y=kx, 易知直线AB的方程为y=2√3x十5，由 -23 5 得 y=2W3x十5， 5k 即F k-25 y k-25 5k 5 ),同理可得G(, 5k k-2√3 k+2√3k+2√3 ，当1经过点B,即k-号时，点G的纵坐标最大， 最大值为 +29号，B箭误 5k 5 由上知，FG=I+.,5 5 k-23k+23 203:W1十(0≤k<3).令√1+ 12-k2 -161≤2)则G-8 3.易知f0)日-：在1,2]上单调递减，所以5。 t <0)≤12，则5≤1G1≤华C正确 【高二数学·参考答案◆第2页（共7页）】 因为|EF|=√I+k· 5 ,|EG|=√W1+. 5 |k-2√5 k十25，所以EF+BG 法品是新1+》因为0所以品+G器D错误 37 24 14.ABD对于A,因为A户=AAB+μAD-AA1,所以A户=AAB+ A AD,则点P在正方形ABCD内（含边界），A正确.以A为坐标原点， D 建立如图所示的空间直角坐标系.设P(x,y,0),0≤x≤2,0≤y≤2. 对于B,易知E(2,0,1),设点E关于平面ABCD对称的点为E',连接 E'P,则E(20,-1D.当m=时，Q(0,23,则EP+PQ=EP+ PQ≥E'Q=√22+22+4=2√6，B正确， 对于C,因为A100,40,D,20,40,Q(0,2),所以A户=(xy,-40,D=(-2,2, 号）.由A1P1D,Q,得y=x-1.令y=0,得x=1,记F1,0),令x=2,得y=1,记 G(2,1),则满足条件的动点P的轨迹为线段FG,长度为√2，C错误 对于D,当m=6时，Q(,2),D庐-(x-2y,-4),P-(-x,2-y,)由DPL PQ,得-x(x-2)+y(2-y)-1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1,即点P的轨迹是以(1,1,0) 为圆心，1为半径的圆，面积为π，D正确. 15.4由2m,1=3,得m=4. 3 16.(1,2)易知线段AB的中点坐标为(3,4)，AB=一1，则线段AB的中垂线的方程为y=x +1,易知圆心C在线段AB的中垂线上.又圆心C在直线y=2x上，所以由 y=x十1，得 y=2x, x=1, 即圆心C的坐标为(1,2). y=2, 号 取AB的中点O,连接OP,OD.因为PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,所以易证PO ⊥平面ABCD,PO⊥AB,OB=CD.因为AB⊥BC,AB∥CD,所以OD⊥OB 以O为坐标原点，OD,OB,OP所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，则A(0,一2,0)，B(0,2,0),C(3,2,0),D(3,0, 0),P(0,0,2),E(21,1),所以Ad=(3,2,0),A=(,3,1),Pi= (0,2,-2).设PF=λPB(0≤1≤1)，则PF=(0,2,-2),F(0,2λ，2 一2)，AF=(0,2x十2,2-2).因为A,D,E,F四点共面，所以可设 【高二数学·参考答案◆第3页（共7页）】 3mt2n=0, A=mAi+aA2,则A3-(3m十号a,2m十3，小，所以有2m十3n2十2，解得 n=2-2λ， 2 m=- 3, 4 n= 3, 器 1 λ=3’ 18解：①设DC0,m.因为CDLAB,所以×=-1， …2分 解得m=3,即D(0,3).…3分 5-31 1 因为km一4-。2，所以直线BD的斜截式方程为y-2x十3. …5分 (2)设D(n,0).因为∠BCD=∠BDC,所以∠BCx=π-∠BDC, …7分 所以tan∠BCx=一tan∠BDC,即kc=一kBD,…8分 则由8解得a=2,用Dc2,0 ，…10分 设直线AD的领斜角为8.因为m0-g头1， …12分 所以0=至，即直线AD的倾斜角为不 ，…13分 19.(1)证明：取AB的中点O,连接OD,OE 因为AB=2CD,ABCD,AB LBC,所以OD LAB.…1分 因为EA=EB,O是AB的中点，所以OE⊥AB.…2分 又OD∩OE=O,所以AB⊥平面ODE,，…3分 因为DEC平面ODE,所以AB⊥DE.…4分 (2)证明：（方法一）连接OF,OC.因为O,F分别是AB,EB的中点，所以OF∥AE. 因为OF中平面ADE,AEC平面ADE,所以OF平面ADE.…5分 因为AO=CD=3,AB∥CD,所以四边形OADC是平行四边形，所以OC∥AD,同理可得 OC/平面ADE.… …7分 又OC∩OF=O,所以平面OCF平面ADE.因为CFC平面OCF,所以CF平面ADE. …9分 (方法二)取AE的中点G,连接DG,GF(图略).因为F是BE的中点，所以GF∥AB,且 GF=AB.又AB,/CD,CD=2AB,所以GF/CD,且GF=CD,所以四边形CDGF是平 【高二数学·参考答案◆第4页（共7页）】 行四边形，所以CFDG.因为CF中平面ADE,DGC平面ADE,所以CF平面ADE, ………9分 (3)解：由(1)可知OE⊥AB. 在Rt△OAE中，OA=3,AE=√/13，所以OE=√/13-32=2. 又OD=OE=2,DE=2√2，所以OD2+OE2=DE,所以OD⊥OE.又OD⊥AB,AB∩OE =O,所以OD⊥平面ABE.… …10分 以O为坐标原点，OE,OB,OD所在直线分别为x,y,之轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-3,0),E(20,0),D(0,0,2),B(0,3,0),F(1,,0, 所以A正=(23,0)，Ad=(03,2),Fi-(1,-多0.…12分 A它.n=2x十3y=0, 设平面ADE的法向量为n=(x,y,之)，则 AD.n=3y十2z=0, 令y=一2，得n=(3,-2,3),…13分 所以点F到平面ADE的距离d= 1FE.n3+33√22 n √22 11 故直线CF到平面ADE的距离为3V巴 11 15分 20.(1)证明：（方法一）连接EF,依题意得△ABE,△BEF,△CEF均为等腰直角三角形，… …1分 则∠BEF=∠CEF=45°，… 2分 则∠BEC=∠BEF十∠CEF=90°，所以EC⊥BE. 3分 (方法)三由AD=3AB-BC=6,得AB=2,BC=4.又ABLAD,AE=2,所以BE- √22+22=22.… 1分 因为AB=AE,AB⊥AD,所以∠ABE=∠EBC=45°，则EC2=BE2+BC2-2BE·BC· cos45°=8，所以BE2+EC2=BC2,则EC⊥BE.… …3分 又PE=AE=2,PC=2√5，所以PE2+EC2=PC2,则EC⊥PE.…5分 因为BE∩PE=E,所以EC⊥平面PBE.…6分 (2)解：取BE的中点G,连接GP,GF.因为PB=PE=2,所以 PG⊥BE.因为GF为△BCE的中位线，所以GF∥EC.由(1)可 知EC⊥BE,所以GF⊥BE.…8分 以G为坐标原点，GB,GF所在直线分别为x,y轴，建立如图所 示的空间直角坐标系。 【高二数学·参考答案◆第5页（共7页）】 易知BE⊥平面PFG.因为PF=6,PG=GF=√2，所以cos∠PGF=2+2-6 1 2X√2X√2 2 则∠G=120.易得P0,号，)，52,00).C(-反，22,0)，D(-3v2,2v2,0 则元-(-，52-9).8C-(-2wg.22,0.ci-(-22,0.0 ……11分 F元.n=-2z+5y2y-6 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则 2 220， B元.n=-22x+2W2y=0, 令x=1,得n=(1,1W5).…13分 设平面PCD的法向量为m=(a,b,c),则 P心.m=-2a+5y6- 26- 2c=0, CD.m=-2√2a=0, 令b=√3，得m=(0,W3,5),…15分 则cos(m,n)=m·n=3V3 mn 35 …16分 设二面角B-PC-D的平面角为0，则sin0= 272√70 35 35, 即二面角B-PCD的正弦值为35. …17分 21.解：(1)因为点A(0,t)在曲线2：x2+y4=16上，所以t4=16,解得t=士2. 又C(0,一2)与A是不同的点，所以t=2,即A(0,2).… 2 …1分 设AB的中点为E,则E(2,1). 当以E为覆盖圆的圆心时，因为|EA|=|EB|=√5，|EC引 =√22+32=√13，所以半径至少为√13的圆才能覆盖 △ABC.…3分 当以AC的中点O(0,0)为圆心时，因为|OA|=|OC|=2,|OB|=4,所以半径至少为4的 圆才能覆盖△ABC.…5分 当以△ABC的外心F为圆心时，由AB的斜率为-2，可得EF的方程为y=2.x一3，易知 3 y=2x-3, AC的中垂线方程为y=0,由 得 y=0 区=2'即F(受，0)，此时△ABC外接圆的半 y=0, 35 径为4-2=2 …7分 【高二数学·参考答案◆第6页（共7页）】 因为VB>号，>号，所以AABC的最小覆益圆的方程为(：一》°+y°-空（或写成x十 y2-3x-4=0).… 8分 (2)在△ACD中，|AD1=CD. 若以AD的中点G(号，1)为圆心，则半径至少为GC=√(2) +32= 37 的圆才能覆盖 △ACD.… ……10分 若以O为圆心，则半径至少为OA|=2的圆才能覆盖△ACD 若以△ACD的外心H为圆心，则由AD的斜率为一2，可得GH的方程为y= 2t3 ,=1+3 =2x+4'得 y x=- 由 2'即H(-多，o, y=0, y=0, 此时△ACD外接圆的半径为DH=1+2=2 35 …12分 因为GC到>号>2，所以△ACD的最小覆盖圆的方程为2十y=4.14分 (3)设Ma,b)是平面图形D上一点，则10M12=a2+63=-6+6+16=-(62-2)}°+ 65（-2≤6≤2.m 15分 当6-即6=士号时，OM1 2 16分 因为平面图形D关于原点中心对称，所以平面图形n的最小覆盖圆的半径为√⑤， 2 ………17分 【高二数学·参考答案◆第7页（共7页）】