陕西汉中市东辰外国语学校2026-2027学年高三上学期第三次模拟考试数学试卷

汉中东辰外国语学校2027届高三上学期第三次模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中最小正周期等于的是（ ） A. B. C. D. 3. 在长方形中，，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，，，则“”是“是锐角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内，对应的点在第一象限 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象可由图象向左平移个单位得到 C. 函数的单调递增区间为 D. 若在上恰有3个最值点和4个零点，则 11. 已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 是单调递增数列 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列是等比数列，其前项的和为，若，，则_____. 13. 已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 14. 已知菱形的边长为，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，且四面体的外接球表面积为，则________. 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤． 15. 年月日，的正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注．现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于分钟的用户称为“忠实粉丝”． （1）估计该产品用户每日的平均使用时长（同一组的数据用该组区间的中点值代替）； （2）现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在，的用户中随机抽取人，并从中随机抽取人作进一步分析，记为人中“忠实粉丝”的人数，求的分布列和期望． 16. 已知的内角，，的对边分别是，，，. （1）求； （2），边上的中线，交于点，，，求的余弦值. 17. 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，. （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知，函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 汉中东辰外国语学校2027届高三上学期第三次模拟考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 第Ⅱ卷 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）取中点，连接. 因为是等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. （2）或. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 证明：由，， ①当时，，则在上单调递增， ②当时，设，则， 所以，故在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理可知，存在唯一，使得，即. 所以当时，，即；当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综述：在上单调递增，在上单调递减，存在唯一，使得. 故存在唯一的极值点. （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $