精品解析：陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

2027届高三10月质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则该数列的前8项和（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 4. 在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，点在直线上，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 或 6. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 10. 已知函数与的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间单调递增 C. 函数图象的一个对称中心为 D. 的一个可能取值为 11. 已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 直线，的斜率之积为 C. 是直角三角形 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__． 13. 一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； （2）从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：当时，； （3）若有两个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三10月质量检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以的虚部为． 3. 在等差数列中，，，则该数列的前8项和（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质和前项和公式求解. 【详解】因为，所以. 4. 在同一坐标系中，函数（且）与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从所过定点和单调性上判断出答案 【详解】函数（且）恒过点，恒过点， 且两函数单调性一致，只有B满足要求 5. 已知，，点在直线上，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量的性质得到，再利用向量数乘表示，解方程组得到P的两组坐标即可. 【详解】，因为在直线上，且，所以有两种情况： 同向得到，反向得到， 设，则， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的坐标为或. 6. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】若，，则必有，充分性成立； 若，，则与可能平行，也可能相交、异面，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】正四棱台体积公式： ，其中 为棱台的高，、​分别为上下底面积. 上底面边长为2，故； 下底面边长为4，故. 正四棱台的上下底面均为正方形，上下底面对角线长分别为​、. 侧棱、高、上下底面对角线一半的差值构成直角三角形：上下底对角线一半的差为， 侧棱长为​，由勾股定理得： . 代入体积公式得. 8. 已知函数的最大值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】令，则， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 所以. 由题意知且，所以， 又因为函数的最大值为，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. 直线恒过定点 C. 当时，直线与圆相切 D. 当时，直线平分圆 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A选项，变形为， 故圆的半径为，A正确； 对于B选项，可以看出直线恒过点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 即当时，直线与圆只有个公共点，即直线与圆相切，C正确； 对于D选项，当时，直线的方程为， 由于圆心不在上，故直线不平分圆，D错误. 10. 已知函数与的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间单调递增 C. 函数图象的一个对称中心为 D. 的一个可能取值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用两函数图象关于直线对称求出的解析式，再结合三角函数的图象与性质对各选项逐一分析判断. 【详解】根据两个函数图象关于直线对称的性质：对任意，有. 代入得： ， 即中，. 选项，的最小正周期，正确； 选项，当时，，令，则在该区间先增后减，因此不单调递增，错误； 选项，，符合对称中心的函数值为0的性质，正确； 选项，取时，​是符合条件的取值，正确. 11. 已知点，分别为双曲线：（）的左，右顶点，点为上异于，的动点，直线，与轴的两个交点分别为，，下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 直线，的斜率之积为 C. 是直角三角形 D. 的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据双曲线方程求渐近线即可；对于B：设，结合双曲线方程分析证明；对于C：求点的坐标，结合斜率公式证明线线垂直；对于D：求点的坐标，可得，进而分析求解. 【详解】根据题意，如图所示： 对于A，双曲线的标准形式为，为等轴双曲线，，所以渐近线方程为，故A正确； 对于B，设，满足，，，则，故B正确； 对于C，直线的方程为，令得，所以直线的斜率， ，故，故C正确； 对于D，直线的方程为，令得， 则， 由得，故，即，取值范围为，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__． 【答案】 【解析】 【分析】 利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，又由. 故答案为：． 13. 一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆与该抛物线的准线相切，则动圆必过定点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而得结果． 【详解】抛物线的焦点，准线方程为， 依题意圆心到直线的距离即半径等于圆心到焦点的距离，所以在圆上． 即动圆必过定点的坐标为. 14. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过4个步骤变成1（简称为4步“雹程”）．已知数列满足：（为正整数），，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知，采用逆推法，分两类反向求前一项：偶数逆推为后一项的倍，奇数逆推需满足结果是正奇数，依次求出，得到所有可能的值，选出最小值． 【详解】由，，， 得逆运算规则： 若为偶数，则； 若为奇数，则，且必须是正奇数，否则舍去， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以或， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 当时， 若为偶数，则， 若为奇数，则，不是正整数，舍去， 所以或，即可取， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理把边化为对应角的正弦，再结合三角形内角和化简已知等式，求出． （2）先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，从而得到周长． 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由正弦定理，，其中． 代入已知等式，得． 由，，所以． 又因为，所以，从而． 所以． 【小问2详解】 由第（1）问，，且． 由三角形面积公式，得． 于是． 因为，所以，从而． 由余弦定理，． 因为，所以． 故的周长为． 16. 某工厂开发了一种新型机床产品，为评估新型机床的生产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产品中各抽取了200件，对两台机床的产品进行检验，得到如下数据： 机床类型 良品 次品 合计 新型国产机床 160 40 200 原有进口机床 140 60 200 合计 300 100 400 （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关； （2）从这400件样品中有放回地抽取3次，每次抽取1件产品，记抽到新型国产机床生产的良品的次数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）与使用机床的类型有关 （2）分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用列联表求出，根据小概率值的独立性检验得到结论； （2）求出每次抽到新型国产机床生产的良品的概率，求出的可能取值，求出的可能取值的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式求出. 【小问1详解】 由列联表得． 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，能判断产品的质量与使用机床的类型有关． 【小问2详解】 每次抽到新型国产机床生产的良品的概率为， 依题意的可能取值为0，1，2，3， 所以，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 易知，故． 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，其中，是棱的中点． （1）求证：平面； （2）平面与平面有可能垂直吗，若有可能，求出的长；若没有可能，说明理由． 【答案】（1）连接交于点，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，则平面． （2）有可能， 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）建系，求出各个点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，根据两个平面垂直时法向量的关系列出方程就可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设当时，平面平面， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即， 令，得， 设平面的法向量为，则， 即，令，得， 当平面与平面垂直时，有，解得． 故当时，平面平面． 18. 已知椭圆：（）的离心率为，点，在椭圆上，当直线过椭圆的一个焦点且垂直于轴时，弦长． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为0的直线交椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点的坐标和弦长列出方程组即可求解. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，列出韦达定理，进而表示出的方程，令结合韦达定理即可求出点的坐标. 【小问1详解】 不妨设的一个焦点为，， 则当时，，解得，所以， 所以,解得，，． 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 若直线与轴垂直，则点与重合，不符合题意； 依题意可设直线方程为，，，， 联立化简得， 显然，且，， 又因为，所以的方程为， 令，得，将，代入上式， 可得， 故点的坐标为． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：当时，； （3）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）​ （2）为比较与，令，其中，则． 故在上单调递减，在上单调递增，所以，等号当且仅当时成立． 取，得，等号当且仅当时成立． 当时，，，且仅在时取等号，因此在上严格单调递增． 所以当时，，即所证结论成立． （3）​ 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标和该点处的导数，利用点斜式写出切线方程． （2）先利用对数函数的不等式得到，再由导数符号和证明结论． （3）注意恒为零点，按、、、分类．当时，将与的大小比较转化为研究的符号，确定的单调性，再结合连续性判断其余零点的个数． 【小问1详解】 当时，，则，从而，， 故所求切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意，，． ①当时，由第（2）问证明中的（），得（），故只有零点，不符合题意． 当时，记，，为判断与的大小，令，定义域为． 则，所以在上单调递增，在上单调递减，且． 当从右侧趋近时，，当时，． 当时，，故，当时，由指数函数的单调性，、、分别等价于、、． ②当时，，由在上单调递减及知，结合连续性及上述单调性，在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为正，连同，恰有两个零点，符合题意． ③当时，由第（2）问证明可知在上严格单调递增，又，所以只有一个零点，不符合题意． ④当时，，由在上单调递增及知，结合连续性及（），在内有唯一零点，其另一零点为． 于是当且仅当，在定义域内其余非零点处，故在、上为正，在上为负． 因此在、上分别单调递增，在上单调递减． 又，当时，由连续性和单调性，在内恰有一个零点，在和上均为负，连同，恰有两个零点，符合题意． 综上，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $