26.2.2 二次函数 y=a (x-h) 2+k 的图象和性质 教学设计 2026-2027 学年人教版九年级数学上册

26.2.2 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质 课题名称 26.2.2 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质 内容解析 《二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质》是在学生已经学习了 y=ax² 的图象和性质之后，对二次函数图象的进一步研究。教材通过列表、描点、画图，由特殊到一般，依次探究 y=ax²+k 的上下平移、y=a(x-h)² 的左右平移，再到 y=a(x-h)²+k 的综合平移，归纳出顶点式抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 本节课是二次函数图象性质的核心内容，上承 y=ax² 的基础图象，下启一般式 y=ax²+bx+c 的配方转化，更是用二次函数解决实际最值问题（如喷水池、拱桥、利润最大）的直接依据，在整个二次函数章节中起统领作用。教学中渗透数形结合、从特殊到一般、分类讨论（a>0与a<0）等数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生学习了函数概念、一次函数的基础上，进一步研究二次函数。本章主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系，以及用二次函数解决实际问题。本章的重点是二次函数的图象与性质；难点是建立二次函数模型并利用图象性质解决实际问题。 对应课标（《义务教育数学课程标准（2022年版）》）： ①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； ②会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质； ③会用配方法将数字系数的二次函数的一般式化为顶点式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴； ④已知不共线三点的坐标可以确定一个二次函数； ⑤能用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.（直观想象·数形结合）会用描点法画出 y=a(x-h)²+k 的图象，通过观察图象说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标，理解抛物线 y=a(x-h)²+k 与 y=ax² 之间的平移关系。 2.（数学抽象·逻辑推理）经历从 y=ax² 到 y=ax²+k、y=a(x-h)²、y=a(x-h)²+k 的探究过程，归纳顶点式抛物线的性质，掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，能根据 a、h、k 迅速判断开口方向、对称轴、顶点与最值。 3.（数学建模·应用意识）会用顶点式 y=a(x-h)²+k 解决简单实际问题（如已知顶点和一点求解析式、喷水池水柱高度等），体会二次函数是刻画现实世界变化规律的重要模型。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能在同一直角坐标系中正确列表、描点，画出 y=−(x+1)²−1 与 y=−x² 的图象，并能指出前者由后者先向下平移1个单位、再向左平移1个单位得到。 达成目标2的标志是：学生能独立填写顶点式性质表格（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值），并能迅速说出 y=3(x−2)²+1、y=−2(x+1)²−3 等函数的开口方向、对称轴与顶点坐标。 达成目标3的标志是：学生能根据“顶点(1,2)且过点(3,−6)”设顶点式求解析式；能建立喷水池水柱的坐标系，设顶点式求水管长度。 学情分析 已有的知识、认知水平 学生已经学习了二次函数 y=ax² 的图象和性质，知道它是一条抛物线，对称轴是 y 轴，顶点是原点(0,0)，a>0时开口向上、a<0时开口向下，会用描点法画二次函数图象。学生已经具备类比一次函数平移（如 y=kx 与 y=kx+b）的经验，这为理解二次函数平移提供了迁移基础。但九年级学生对“左右平移为什么是左加右减”容易与“上下平移上加下减”混淆，特别是 h 的符号（如 x+1 是向左平移1个单位，而非向右）需要通过图象直观辨析。 困惑点或探索点 学生容易混淆“左加右减”的符号：把 y=a(x+1)² 误认为是 y=ax² 向右平移1个单位；另外对顶点坐标 (h,k) 中 h 的符号易错（如 y=a(x+1)² 的顶点横坐标是 −1，不是 1）；增减性的描述也容易漏掉“在对称轴左侧/右侧”这一前提。 教学 重难点 教学重点 顶点式 y=a(x-h)²+k 的图象与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值；抛物线的平移规律。 教学难点 理解“左加右减、上加下减”的平移规律，特别是 h 的符号对左右平移方向与顶点横坐标的影响；从图象平移中抽象出顶点式性质。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：顶点式 y=a(x-h)²+k 是二次函数最直观的表达形式，一看就能读出顶点、对称轴与最值，是解决实际最值问题的利器，也是后续学习一般式配方的基础。 学什么：会画 y=a(x-h)²+k 的图象；归纳其开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值；掌握平移规律；会用顶点式求解析式与解决简单实际问题。 怎么学：采用“复习旧知—画图探究—观察比较—归纳性质—应用拓展”的探究式教学。让学生亲手列表、描点，在同一坐标系中画出 y=ax² 与 y=a(x-h)²+k 的图象，通过对比直观发现平移关系；借助几何画板动态演示 a、h、k 变化对图象的影响，渗透数形结合与从特殊到一般的思想。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 1. 二次函数 y=ax² 的图象是什么形状？对称轴和顶点坐标各是什么？ 2. 一次函数 y=2x 的图象向上平移3个单位得到哪个函数？左右平移呢？ 复习引入 师：我们已经知道 y=ax² 的图象是一条抛物线，对称轴是 y 轴，顶点在原点。请同学们回忆：如果把这条抛物线向上、向下、向左、向右平移，新的抛物线解析式是什么？它的顶点和对称轴又会怎样变化？ 生：一次函数平移是“上加下减、左加右减”，二次函数应该也有类似规律。 师：很好！今天我们就来研究平移后的二次函数——y=a(x-h)²+k 的图象和性质。（板书课题） 学生能准确说出 y=ax² 的开口方向、对称轴、顶点；能类比一次函数平移提出二次函数平移的猜想。 从学生已有的 y=ax² 图象和一次函数平移经验出发，通过类比设疑，制造认知冲突，激发探究欲望。 概念探究 探究一：上下平移 在同一直角坐标系中，画出 y=−x²、y=−x²+1、y=−x²−2 的图象，比较它们的位置关系。 探究二：左右平移 在同一直角坐标系中，画出 y=−x² 与 y=−(x+1)² 的图象，比较它们的位置关系。 探究三：综合平移 画出 y=−(x+1)²−1 的图象，指出它的开口方向、对称轴和顶点；它与 y=−x² 有什么关系？ 活动一：画图观察（上下平移） 学生列表、描点、连线，画出三条抛物线。 师：观察三条抛物线的开口方向、对称轴、顶点，你发现了什么？ 生：形状完全相同，开口都向下；对称轴都是 y 轴；顶点分别是 (0,0)、(0,1)、(0,−2)。 归纳：抛物线 y=ax²+k 与 y=ax² 形状相同，只是位置不同。把 y=ax² 向上平移 k（k>0）个单位得到 y=ax²+k；向下平移 |k|（k<0）个单位得到 y=ax²+k。顶点是 (0,k)。 活动二：画图观察（左右平移） 学生画出 y=−x² 与 y=−(x+1)² 的图象。 师：两条抛物线的开口方向、形状有什么关系？顶点位置呢？ 生：开口方向、形状完全相同；顶点分别是 (0,0) 和 (−1,0)，对称轴分别是 y 轴和直线 x=−1。 归纳：抛物线 y=a(x−h)² 可由 y=ax² 向左平移 |h|（h<0）个单位或向右平移 h（h>0）个单位得到。顶点是 (h,0)，对称轴是直线 x=h。 活动三：综合平移 师：结合上面两个结论，你能说出 y=−(x+1)²−1 的开口方向、对称轴、顶点吗？它与 y=−x² 有什么关系？ 生：开口向下，对称轴是直线 x=−1，顶点是 (−1,−1)。它可以看作由 y=−x² 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到。 活动四：归纳性质 师生共同填写顶点式性质表格： 一般地，抛物线 y=a(x-h)²+k 与 y=ax² 形状相同，位置不同。把抛物线 y=ax² 向上（下）、向左（右）平移，可以得到 y=a(x-h)²+k。平移方向、距离由 h、k 决定。 （1）当 a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下。 （2）对称轴是直线 x=h。 （3）顶点坐标是 (h,k)。 （4）增减性：a>0 时，当 x<h，y 随 x 的增大而减小；当 x>h，y 随 x 的增大而增大。a<0 时相反。 （5）最值：a>0 时，当 x=h，y 有最小值 k；a<0 时，当 x=h，y 有最大值 k。 平移规律口诀：左加右减（括号内），上加下减（括号外）。 学生能正确画出三条系列抛物线；能说出上下、左右平移后顶点与对称轴的变化；能归纳出顶点式的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。 让学生经历“画图—观察—比较—归纳”的完整探究过程，在直观图象中发现平移规律，落实直观想象与数形结合。通过由特殊到一般的归纳，培养学生的抽象概括能力。 课堂练习 例1：说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。 (1) y=3(x−2)²+1； (2) y=−2(x+1)²−3； (3) y=x²−4。 例2：抛物线 y=−2x² 怎样平移可得到 y=−2(x+3)²−4？ 例3：已知抛物线的顶点坐标是 (1,2)，且经过点 (3,−6)，求这条抛物线的解析式。 例1讲评： (1) a=3>0，开口向上；对称轴直线 x=2；顶点 (2,1)；当 x=2 时，y 有最小值 1。 (2) a=−2<0，开口向下；对称轴直线 x=−1；顶点 (−1,−3)；当 x=−1 时，y 有最大值 −3。 (3) 写成 y=(x−0)²−4，a=>0，开口向上；对称轴 y 轴（直线 x=0）；顶点 (0,−4)；当 x=0 时，y 有最小值 −4。 例2讲评： y=−2(x+3)²−4 = −2(x−(−3))²+(−4)，即 h=−3，k=−4。 由“左加右减、上加下减”，抛物线 y=−2x² 先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到 y=−2(x+3)²−4。 例3讲评： 解：∵ 抛物线顶点为 (1,2)， ∴ 设其解析式为 y=a(x−1)²+2。 又∵ 抛物线经过点 (3,−6)， ∴ −6 = a(3−1)² + 2，即 4a = −8，解得 a = −2。 ∴ 所求抛物线解析式为 y = −2(x−1)² + 2。 教师强调：已知顶点坐标时，常设顶点式 y=a(x-h)²+k，再代入另一点求 a。 例1直接巩固顶点式五要素；例2辨析平移方向与 h、k 符号；例3训练用顶点式求解析式。题目由识别到平移再到建模，层层递进，突破“左加右减”这一难点。 反思总结 学生为主体发言总结 这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？ 师：请同学们回顾一下，顶点式 y=a(x-h)²+k 中，a、h、k 分别决定抛物线的什么？ 生1：a 决定开口方向和形状，h 决定对称轴与顶点横坐标，k 决定顶点纵坐标。 生2：平移规律是“左加右减、上加下减”；x+1 是向左平移，不是向右。 生3：知道顶点和一点时，可以设顶点式求解析式。 师：课后请完成教材习题 26.2 第3、4题。 学生能说出 a、h、k 的作用；能复述平移规律；能说清顶点式求解析式的步骤。 通过师生共同回顾，梳理顶点式性质与平移规律，强化 h 的符号这一易错点，培养归纳概括能力。 板书设计 26.2.2 二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象和性质 一、平移规律：左加右减（括号内），上加下减（括号外） 二、性质： （1）开口方向：a>0 向上，a<0 向下 （2）对称轴：直线 x=h （3）顶点坐标：(h,k) （4）最值：a>0 时 x=h 取最小值 k；a<0 时 x=h 取最大值 k 三、求解析式：已知顶点 (h,k)，设 y=a(x-h)²+k，代入另一点求 a。 提纲挈领,重点突出. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $