26.2.2 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质(第3课时) 教学设计（含大单元教学设计） 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数顶点式（y=a(x-h)²+k）的图象和性质，整合a、h、k对抛物线的共同影响。课堂导入通过复习y=a(x-h)²的平移规律，自然引出含h、k的完整顶点式，搭建从单一平移到综合变换的学习支架。 特色在于通过小组合作探究a、h、k的作用，结合喷水池实际例题培养模型意识，分层练习（必做、选做）巩固参数理解。发展学生推理意识和几何直观，提升从顶点式读取信息的能力，为教师提供清晰教学流程和分层资源。

分课时教学设计 第五课时《26.2.2 二次函数的图象和性质(第3课时)》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课学习完整顶点式，综合三个参数对抛物线的共同影响．教材通过探究画出的图象，对比，说明先左右、再上下平移可以得到目标抛物线，归纳顶点式完整特征：开口方向由决定，对称轴，顶点．本课整合前面上下、左右平移全部知识，是顶点式内容的收官课时．学生能够直接从解析式读出顶点、对称轴，分析增减和最值，为后续一般式配方法打下基础．本节课继续落实数形结合，是本章核心内容，既是前面平移知识的汇总，又为后续一般式转化提供工具，起到承前启后作用． 学习者分析 学生已经分别掌握、、的图象和平移规律，但把同时放在一个解析式中，综合运用时容易混乱．部分学生分不清先平移哪个方向，容易把顶点坐标的符号写错；不能分清三个参数各自的作用．学生能够记住结论，但遇到参数为负数的解析式，读对称轴、顶点极易出错．教学组织小组合作，对比图象，归纳各自功能，通过例题反复训练读取顶点式信息． 教学目标 1.认识顶点式，综合掌握对抛物线的影响． 2.直接由顶点式读出顶点坐标、对称轴，分析函数增减与最值． 3.理解完整的抛物线平移变换过程． 教学重点 掌握顶点式图象性质，会直接读出对称轴、顶点坐标． 教学难点 综合理解的作用，处理为负数时，准确写出顶点与对称轴． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.认识顶点式，综合掌握对抛物线的影响． 2.直接由顶点式读出顶点坐标、对称轴，分析函数增减与最值． 3.理解完整的抛物线平移变换过程． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：说一说二次函数y＝a(x－h)²(a≠0)的图象和性质. 答案：(1) 图象形状：图象是抛物线，形状、开口大小和完全相同，可由抛物线左右平移得到：向右平移个单位；向左平移个单位. (2) 对称轴：直线. (3) 顶点坐标：. (4) 开口方向、最值及增减性 ①当时，开口向上；顶点是最低点，函数最小值为； 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大. ②当时，开口向下；顶点是最高点，函数最大值为； 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小. 注意：只改变抛物线左右位置，不改变开口大小、开口方向. 导入：我们知道抛物线是由左右平移得到的，抛物线是由上下平移得到的，如果把两种变换合并，得到，抛物线会发生怎样的变化？下面，我们再来讨论当 时，二次函数 的图象和性质.板书课题． 学生活动2： 学生回顾y＝a(x－h)²的图象和性质，猜想在中同时改变h、k时图象变化，进入新课学习． 活动意图说明： 复习前两课时的平移知识，将上下、左右平移进行整合，自然引出完整顶点式，搭建知识台阶． 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：(1)画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线 与抛物线 有什么关系? 解：(1)列表: ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 ... ... -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 ... 然后描点画图，得到 的图象（如图所示） 抛物线 的开口向下，对称轴是 ，顶点是 . (2)如图所示，把抛物线 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 归纳：一般地，抛物线 与 形状相同，位置不同. 把抛物线 向上 (或向下)、向左 (或向右) 平移，可以得到抛物线 . 平移的方向、距离要根据 的值来决定. 抛物线 有如下特点: (1)当 时，开口向上； 当 时，开口向下. (2)对称轴是 . (3)顶点是( ). 从二次函数 的图象可以看出: 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 取最小值，最小值为 ；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 随 的增大而减小，当 时， 取最大值，最大值为 . 例 ：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管的长应为多少？ 解:如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 轴，水管所在直线为 轴，建立平面直角坐标系. 点 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 由这段抛物线经过点 ，可得 解得 因此 当 时， ，也就是说，水管的长应为 . 学生活动3： 学生独立列表描点画图；开展小组合作探究，组内观察图象，讨论探究两个问题；研读教材归纳段落，小组内分工，分别总结各自作用；小组合作分析例2，思考如何利用顶点式设函数；小组代表分享答案，全班订正，练习由顶点式读出开口、对称轴、顶点、最值，整理笔记． 活动意图说明： 整合平移全部知识，借助小组合作拆解三个参数的作用，结合喷水池实际例题，让学生体会顶点式解决实际问题的价值，落实数形结合 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：26.2.2 二次函数的图象和性质(第3课时) 一、图象形状 二、对称轴 三、顶点坐标 四、开口方向、最值及增减性 注意：只改变抛物线上下位置，只改变抛物线左右位置. 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 答案：D 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 答案：D 3．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 解：（1）由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 选做题： 4．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 答案： 【综合拓展类练习】 5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 解：（1）∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 答案：B 2．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 答案： 3．画出下列抛物线的大致图象： (1)； (2)． 解：（1）函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为，则图象开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，函数图象如图所示： （2）函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向下，对称轴在轴右侧，顶点在第一象限，函数图象如图所示 选做题： 4．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （3）， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 教学反思 本课整合平移知识，借助教材喷水池例题，大部分学生能识别顶点式基本特征．但取负数时，学生读顶点坐标错误率很高；部分学生平移顺序混乱．后续要多加变式训练，重点练习解析式含负参数的题型，强化从顶点式读取信息，为配方法学习做好充分铺垫． 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科《二次函数》单元教学设计 数学 年级 九年级 设计者 教材版本 人教版 册、章 上册第二十六章 课标要求 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系． 3．会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题． 4．知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 内容分析 本章是初中函数模块的收官内容，承接一次函数、一元二次方程的知识，是初中代数的重要组成部分．教材按照“认识概念—探究图象性质—建立函数与一元二次方程联系—解决实际问题”编排，遵循由特殊到一般的研究路径．二次函数既是对之前整式运算、配方法的综合巩固，也为高中继续学习函数奠定基础．本章充分体现数形结合思想，通过描点画图、图象平移研究抛物线特征，打通函数与方程之间的内在关联．教材设置面积、运动轨迹、拱桥、销售利润等现实情境，引导学生经历从实际问题抽象函数模型的完整过程，发展模型观念．二次函数是中考核心考查内容，搭建起代数运算、几何图形、实际应用之间的桥梁，在整个初中数学知识体系中具备承上启下的重要价值． 学情分析 学生已经掌握一次函数相关知识，会用描点法画函数图象，熟练求解一元二次方程，具备一定的代数式变形能力．但学生对函数与图象的对应关系理解不够透彻，配方法在二次函数变形中容易运算出错；容易混淆a、h、k对抛物线的影响，平移方向时常判断错误．学生能够记忆顶点、对称轴公式，但不会结合图象理解公式由来；处理实际问题时，容易忽略自变量的实际取值范围，不能自觉结合现实条件检验结果．学生数形转化能力偏弱，将实际情境转化为二次函数模型存在障碍，需要借助图象与实例逐层突破． 单元目标 （一）教学目标 1．理解二次函数的概念，识别二次函数一般形式，能辨析二次项、一次项、常数项以及对应系数． 2．会用描点法画二次函数图象，掌握、、的图象特征，理解参数的作用，掌握抛物线平移规律，会求对称轴、顶点坐标、函数最值． 3．理解二次函数图象与一元二次方程的联系，能利用抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况，会借助图象求方程近似根． 4．能够分析面积、运动、拱桥、销售利润等实际问题，建立二次函数模型求解最值，关注自变量的实际取值范围． 5．经历观察、画图、探究的学习过程，体会数形结合、转化、建模思想，提升几何直观与分析解决实际问题的能力． （二）教学重点、难点 重点： 1．理解二次函数概念，掌握二次函数的图象与性质，会确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点，能求二次函数的最大值与最小值． 2．理解二次函数图象和一元二次方程的内在联系，会利用函数图象分析一元二次方程根的情况． 3．建立二次函数模型解决实际最值问题，能够确定实际问题中自变量的取值范围． 难点： 1．理解抛物线的平移规律，能够利用配方法将一般式化成顶点式，体会配方法在函数变形中的作用． 2．实现解析式与图象的相互转化，运用数形结合思想理解二次函数与一元二次方程的联系． 3．从复杂实际情境抽象出二次函数模型，求解最值时兼顾图象性质与自变量的现实取值限制． 单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号 单元主要内容 课时数 1 二次函数的概念 1 2-6 二次函数的图象和性质 5 7-8 二次函数与一元二次方程 2 9-11 实际问题与二次函数 3 12 数学活动——哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系 1 13 章末复习 1 达成评价 课题 课时目标 达成评价 评价任务 26.1 二次函数的概念 1．通过分析实际问题，抽象出函数关系式，认识二次函数，理解二次函数的定义． 2．能识别二次函数一般形式，分清二次项、一次项、常数项及对应系数． 3．会依据定义判断一个函数是否为二次函数，明确的隐含条件． 1．能说出二次函数的定义及一般形式． 2．能准确识别二次函数各项与系数． 3．会依据概念判别函数是否属于二次函数． 任务一：从实际问题列函数关系式，归纳二次函数定义 任务二：辨析二次函数，识别各项系数，完成教材例题 26.2.1 二次函数的图象和性质 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响． 1．能够用描点法画出的图象． 2．能说出图象的顶点、对称轴、开口性质． 3．能根据的正负判断抛物线开口方向． 任务一：描点绘制图象，认识抛物线 任务二：对比不同值的图象，归纳性质，完成对应例题 26.2.2 二次函数的图象和性质(第1课时) 1．画出的图象，对比，理解上下平移规律． 2．掌握的顶点、对称轴、增减性与最值． 3．体会数形结合思想，理解解析式变化与图象平移之间的联系． 1．掌握图象性质，能确定顶点、对称轴． 2．理解决定抛物线上下平移． 3．能判断的增减性和最值． 任务一：画图对比与，探究平移规律 任务二：归纳性质，完成课堂练习 26.2.2 二次函数的图象和性质(第2课时) 1．绘制图象，探究抛物线左右平移规律． 2．掌握的对称轴、顶点坐标、增减性． 3．辨析正负与图象平移方向的对应关系． 1．能说出的顶点、对称轴． 2．掌握引起的左右平移规律． 3．会判断的增减变化． 任务一：作图探究图象特征 任务二：辨析左右平移，完成教材习题训练 26.2.2 二次函数的图象和性质(第3课时) 1．认识顶点式，综合掌握对抛物线的影响． 2．直接由顶点式读出顶点坐标、对称轴，分析函数增减与最值． 3．理解完整的抛物线平移变换过程． 1．能由顶点式直接写出顶点、对称轴． 2．掌握对图象的综合作用． 3．能描述抛物线完整平移路径． 任务一：整合平移规律，学习顶点式 任务二：由解析式说出图象特征，完成例题 26.2.3 二次函数的图象和性质 1．会用配方法把化成顶点式． 2．推导一般式下抛物线对称轴、顶点坐标公式． 3．掌握图象性质，会求最值． 1．能将一般式通过配方法化为顶点式． 2．记忆并运用顶点、对称轴公式． 3．能分析一般形式二次函数的增减性、最值． 任务一：配方法变形二次函数解析式 任务二：推导顶点、对称轴公式，完成例题计算 26.3 二次函数与一元二次方程(第1课时) 1．理解抛物线与轴交点横坐标就是对应一元二次方程的根． 2．由抛物线与轴交点个数，对应判别式的三种情况． 3．建立二次函数图象与一元二次方程之间的联系． 1．知道抛物线与轴交点和方程根的对应关系． 2．会根据交点个数判断一元二次方程根的情况． 3．能用函数观点看待一元二次方程． 任务一：结合实例探究抛物线与轴交点 任务二：建立交点个数与判别式的联系，处理教材例题 26.3 二次函数与一元二次方程(第2课时) 1．会利用二次函数图象求对应一元二次方程的近似解． 2．能够结合函数图象判断代数式取值、不等式大致解集． 3．进一步强化数形结合思想方法． 1．能借助函数图象求一元二次方程近似根． 2．能利用图象判断函数值正负． 3．会用图象简单分析对应不等式． 任务一：利用图象估算方程的近似根 任务二：结合图象分析函数取值，完成课堂习题 26.4 实际问题与二次函数(第1课时) 1．能够建立二次函数模型解决几何面积最值问题． 2．会求二次函数实际问题的最大值、最小值． 3．懂得考虑自变量的实际取值范围． 1．能从面积情境中构建二次函数． 2．会求实际情境下函数最值． 3．能关注自变量取值限制． 任务一：分析面积问题，建立函数模型 任务二：求解最值，完成教材例题 26.4 实际问题与二次函数(第2课时) 1．分析销售利润类问题，列出二次函数关系式． 2．结合自变量取值范围，求解利润最大问题． 3．辨析题目数量系，提高建模能力． 1．能梳理利润问题中的数量关系． 2．会建立利润的二次函数模型． 3．在限定自变量范围内求利润最值． 任务一：探究销售利润问题，找出等量关系 任务二：列式求解利润最大值，完成探究1 26.4 实际问题与二次函数(第3课时) 1．分析拱桥、抛射类运动轨迹问题，建立二次函数模型． 2．根据实际情境恰当建立平面直角坐标系． 3．利用二次函数解析式解决现实测量问题． 1．会根据实际场景合理建立坐标系． 2．能求出抛物线实际问题函数解析式． 3．能用函数结果解释现实问题． 任务一：拱桥实例，建立坐标系求解析式 任务二：利用函数解决实际测量计算，完成探究2 数学活动：哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系 1．通过数学活动探究两个正数和一定时，乘积的变化规律，用二次函数解释结论． 2．读懂刹车距离实际函数模型，感受函数在生活中的应用． 3．经历探究猜想、建模验证的完整过程． 1．能用二次函数解释“和定，积最大”的规律． 2．读懂刹车距离函数，完成简单计算． 3．能够主动参与探究活动，说出探究思路． 任务一：开展“哪个积大”探究活动，用函数验证猜想 任务二：分析刹车距离问题，完成活动计算 第26章 二次函数 章末复习 1．梳理二次函数概念、图象、性质，巩固解析式三种形式之间的互化． 2．回顾二次函数与一元二次方程的联系，梳理实际应用模型． 3．查漏补缺，综合运用知识解决综合性习题． 1．能构建本章知识框架，厘清知识脉络． 2．熟练进行三种解析式形式转化． 3．可以综合解决函数、方程、实际应用综合题． 任务一：学生自主梳理本章思维导图 任务二：完成典型综合复习题，查漏纠错 二次函数 二次函数的概念 任务：探究二次函数的概念 二次函数的图象和性质 任务1：探究二次函数𝑦=𝑎𝑥^2的图象和性质 任务2：探究二次函数𝑦=𝑎𝑥^2+𝑘的图象和性质 任务3：探究二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)^2的图象和性质 任务4：探究二次函数𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)^2+𝑘的图象和性质 任务5：探究二次函数𝑦=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐的图象和性质 二次函数与一元二次方程 任务1：探究二次函数与一元二次方程的联系 任务2：将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题 实际问题与二次函数 任务1：探究最大高度与最大面积问题 任务2：探究最大利润问题 任务3：利用二次函数建模解决实际问题 数学活动 活动：哪个积大与刹车距离与刹车时车速的关系 章末复习 任务：对本章内容进行回顾和思考 学科网（北京）股份有限公司 $