26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课题名称 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 内容解析 《二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质》是在学生已经学习了y=ax²和y=a(x-h)²的图象和性质的基础上，进一步研究一般形式二次函数的图象和性质。本节课主要内容包括：用配方法将一般式化为顶点式、推导对称轴和顶点坐标公式、研究一般式的图象画法和性质。 从知识体系来看，本节课是二次函数图象和性质的核心内容，起着承上启下的作用：它既是对前面所学特殊二次函数图象和性质的归纳和提升，又为后续学习二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用奠定基础。通过本节课的学习，学生将掌握研究一般二次函数的基本方法，完善函数知识体系。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了一次函数、反比例函数等知识的基础上，进一步研究二次函数的图象、性质及其应用。本章的主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用。二次函数是初中函数体系的重要组成部分，也是中考的重点和难点。 对应课标： ①会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ②通过实际问题分析数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。 ③能根据已知条件确定二次函数的表达式。 ④理解二次函数与一元二次方程的关系。 ⑤能利用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.会用配方法将二次函数y=ax²+bx+c化为y=a(x-h)²+k的形式，能说出图象的对称轴和顶点坐标。（运算能力、推理能力） 2.通过观察图象，能归纳说出y=ax²+bx+c的图象特征和性质（开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值）。（几何直观、抽象能力） 3.经历从一般式到顶点式的转化过程，体会转化与化归的数学思想，发展模型观念。（模型观念） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能正确用配方法将一般式化为顶点式，能说出对称轴和顶点坐标公式。 达成目标2的标志是：学生能根据解析式判断开口方向、对称轴、顶点坐标，并能说出增减性和最值。 达成目标3的标志是：学生能理解配方法的原理，体会一般式与顶点式之间的内在联系。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了y=ax²和y=a(x-h)²的图象和性质，掌握了抛物线的开口方向、对称轴、顶点、增减性等基本概念，具备了用描点法画函数图象的能力。学生在上两节课的学习中已经掌握了研究二次函数图象和性质的基本思路，了解了配方法的基本步骤。学生具备了一定的类比学习能力和数形结合思想基础。 困惑点或探索点 学生在配方过程中容易出错，特别是提取二次项系数和加上一次项系数一半的平方这两步；对对称轴和顶点坐标公式的记忆可能不够牢固；对a、b、c三个系数分别对图象有什么影响可能混淆不清。 教学 重难点 教学重点 用配方法求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标，以及图象和性质。 教学难点 配方法的推导过程，以及a、b、c对二次函数图象的影响。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：y=ax²+bx+c是二次函数的一般形式，掌握它的图象和性质是解决二次函数相关问题的基础。二次函数在实际生活中有着广泛的应用（如最大利润、抛物线形拱桥、喷水池等）。 学什么：配方法将一般式化为顶点式、对称轴公式、顶点坐标公式、一般式的图象画法、a/b/c对图象的影响、增减性和最值。 怎么学：采用“复习旧知—探究配方—归纳公式—画图验证—性质总结”的教学思路。先复习顶点式的图象和性质，再引导学生通过配方法将一般式化为顶点式，从而推导出对称轴和顶点坐标公式。让学生在动手实践、自主探究、合作交流的过程中建构知识。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 创设情境 复习引入 师：我们已经学过哪些形式的二次函数？它们的图象和性质是什么？ 生1：y=ax²，对称轴是y轴，顶点是原点。 生2：y=a(x-h)²，对称轴是直线x=h，顶点是(h, 0)。 师：很好。如果二次函数的一般形式是y=ax²+bx+c，它的对称轴和顶点坐标是什么？我们怎么研究它的图象和性质？ 师：我们已经会研究y=a(x-h)²+k的图象和性质了。那如果我们能把y=ax²+bx+c化成y=a(x-h)²+k的形式，是不是就可以研究它的图象和性质了？ 生：是。 师：那怎么转化呢？我们可以用什么方法？ 生：配方法。 学生能回忆起顶点式二次函数的图象和性质。 学生能想到用配方法将一般式化为顶点式。 通过复习顶点式的图象和性质，为学习一般式做好铺垫。 通过创设问题情境，引导学生想到用配方法转化的思路，激发探究欲望。 概念探究 探究y=ax²+bx+c的图象和性质 探究1：用配方法化一般式为顶点式 例1：求二次函数y=x²-4x+3的对称轴和顶点坐标。 师：我们用配方法来试一试。 y = x² - 4x + 3 = (x² - 4x + 4) - 4 + 3 = (x - 2)² - 1 师：化成顶点式后，对称轴和顶点坐标是什么？ 生：对称轴是直线x=2，顶点是(2, -1)。 师：对。那它的图象是什么样的？开口方向呢？ 生：开口向上，因为a=1>0。 （教师展示配方法示意图。） 探究2：推导一般公式 师：对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，我们用配方法来推导对称轴和顶点坐标公式。 y = ax² + bx + c = a(x² + · x) + c = a[x² + · x + ()² - ()²] + c = a(x + )² - a · ()² + c = a(x + )² - + c = a(x + )² + 师：所以，对称轴是直线x = -，顶点坐标是(-, )。 师：大家记住这个公式了吗？ 生：记住了。 （教师展示一般式的图象，标注对称轴和顶点。） 探究3：a、b、c对图象的影响 师：我们来看看a、b、c分别对图象有什么影响。 （1）a决定开口方向和大小：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小。 （教师展示不同a值的对比图。） （2）c决定与y轴的交点：当x=0时，y=c，所以抛物线与y轴的交点是(0, c)。 （教师展示不同c值的对比图。） （3）b与a共同决定对称轴的位置：对称轴是x=-。当a、b同号时，对称轴在y轴左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧；当b=0时，对称轴是y轴。 师：总结一下y=ax²+bx+c的性质： （1）开口方向：a>0向上，a<0向下 （2）对称轴：直线x = -（3）顶点坐标：(-, ) （4）增减性： a>0时，x < -时y随x增大而减小，x > -时y随x增大而增大； a<0时，x < -时y随x增大而增大，x > -时y随x增大而减小。 （5）最值：a>0时，x=-时y最小值=； a<0时，x=-时y最大值=。 学生能正确用配方法将一般式化为顶点式。 学生能记住对称轴和顶点坐标公式。 学生能说出a、b、c对图象的影响。 学生能根据解析式说出开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性。 通过用配方法将一般式化为顶点式，让学生体会转化与化归的数学思想，培养运算能力。 通过推导一般公式，让学生经历从特殊到一般的探究过程，培养推理能力。 通过观察a、b、c对图象的影响，帮助学生直观理解系数与图象的关系，培养几何直观和抽象能力。 通过归纳一般式的性质，完善学生的函数知识体系，发展模型观念。 课堂练习 知识巩固 辨析应用 练习1：求下列抛物线的对称轴和顶点坐标： （1）y = 2x² - 8x + 5 （2）y = -x² + 2x - 3 参考答案： （1）对称轴直线x=2，顶点(2, -3)； （2）对称轴直线x=1，顶点(1, -4)。 练习2：说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y = 3x² + 6x - 1 （2）y = -2x² + 4x + 2 参考答案： （1）开口向上，对称轴直线x=-1，顶点(-1, -4)； （2）开口向下，对称轴直线x=1，顶点(1, 4)。 练习3：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点(0, 3)、(1, 0)、(3, 0)。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 参考答案： （1）y = x² - 4x + 3； （2）开口向上，对称轴直线x=2，顶点(2, -1)。 学生能正确用配方法或公式法求对称轴和顶点坐标。 学生能根据解析式说出开口方向、对称轴和顶点坐标。 学生能利用已知点求二次函数的解析式。 通过基础练习题，巩固配方法和公式法求对称轴和顶点坐标的技能。 通过辨析题，加深学生对一般式性质的理解。 通过综合应用题，培养学生的运算能力和知识迁移能力。 反思总结 学生为主体发言总结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 生1：我学会了用配方法把一般式化成顶点式。 生2：我记住了对称轴公式x=-和顶点坐标公式。 生3：我知道了a、b、c分别对图象有什么影响。 生4：我能说出一般式的开口方向、对称轴、顶点和增减性了。 师：本节课你还有哪些疑惑？ 生：怎么快速判断a、b、c的符号？ 师：这个问题我们可以结合图象来记忆，大家课后多做练习巩固。 学生能主动归纳本节课所学的主要内容，形成知识体系。 学生能提出自己的疑惑和问题，养成反思的习惯。 通过学生自主总结，梳理本节课的知识脉络，加深对一般式图象和性质的理解。 通过提出疑惑，激发学生进一步学习的兴趣。 板书设计 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1. 配方法化一般式为顶点式： y = ax² + bx + c = a(x + )² + 2. 公式： 对称轴：直线x = - 顶点坐标：(-, ) 3. 性质： 开口方向：a>0向上，a<0向下 增减性： a>0时，对称轴左侧减，右侧增 a<0时，对称轴左侧增，右侧减 最值：x=-时，y= 4. a、b、c的作用： a：开口方向和大小 c：与y轴交点(0, c) a、b共同决定对称轴位置 提纲挈领，重点突出，便于学生梳理知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $