精品解析：江苏泰州市靖江市滨江学校2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级数学 （时间：120分钟总分：150分） （注意：请在答题卷上答题，答在试卷上无效！） 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题卡对应处） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 3. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 4. 如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ） A. 小明说的对 B. 小亮说的对，可添条件为“” C. 小亮说的对，可添条件为“” D. 两人说的都不对 5. 如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与原三角形的形状有关，无法判断 6. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处） 7. __________． 8. 已知，，，则的度数为______． 9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 10. 在中，，，则______． 11. 如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 12. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__________． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为______． 14. 如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，如果的面积是32，则的面积是______． 16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本大题有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 利用开平方运算求下列各式中的： （1）； （2）． 18. 已知，求的平方根． 19. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积________； （3）在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 20. 如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF． （1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是　　． （2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D． 21. 小明利用一根长的竿子来测量学校里路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子 在的延长线上移动，使，此时测得．根据这些数据，你能帮小明计算出路灯的高度．请写出计算过程并说明理由． 22. 下面是八上课本第55页复习题12：已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：． 下面是小明证明的做题过程： 证明：， ， 第①步 在和中， ， 第②步 ． 第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 23. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 24. 如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”……以此类推．举个例子：如图，是斜边的中线，则叫的“双等腰线”． （1）如图，中，，，请你作出的“三等腰线”；（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，画出的“四等腰线”，并做必要的标注或说明；（无需尺规作图） （3）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的顶角的度数是______．（写出所有可能） 26. 【问题提出】在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点为的中点，作射线交于点， （1）探究：与的数量关系． ①【特殊化】当点与点重合时，容易发现和的数量关系：______； ②【一般化】如图所示，判断与的数量关系，并说明理由； （2）【应用】当，时，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （时间：120分钟总分：150分） （注意：请在答题卷上答题，答在试卷上无效！） 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确答案填到答题卡对应处） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 3. 如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．由于斜边为公共边，则添加一组直角边对应相等即可． 【详解】解：∵， ∴当添加或时，． 故选：C． 4. 如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ） A. 小明说的对 B. 小亮说的对，可添条件为“” C. 小亮说的对，可添条件为“” D. 两人说的都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项结合已知得出，从而得到，即可求出最终结果； 本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：可添条件为才能说：直线是的垂直平分线 证明如下： 在和中 ， 直线是的垂直平分线 故选：C． 5. 如图，把一个三角形沿虚线剪去一个角后得到一个四边形，若原三角形的周长为m，得到的四边形的周长为n，则关于m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 与原三角形的形状有关，无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查两点之间，线段最短，根据两点之间，线段最短，解答即可． 【详解】根据两点之间，线段最短， ． 故选：C． 6. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转性质得出，结合公共边和公共角，分析满足的条件及三角形全等关系． 【详解】解：由题意知，固定，绕转动得到， ∴，． ∵、在射线上， ∴． 在和中，满足两边和其中一边的对角分别相等， 由图可知与不全等， ∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请将答案填到答题纸上对应处） 7. __________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 【详解】解：， 故答案为：5 【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义并灵活运用是解题的关键．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 8. 已知，，，则的度数为______． 【答案】80 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形内角和定理计算的度数即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 9. 一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．题目给出等腰三角形有两边长为4和8，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：①为腰，为底，此时周长为； ②为底，为腰， ∵， ∴两边之和等于第三边无法构成三角形，故舍去． 综上所述：它的周长是． 故答案为：． 10. 在中，，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件证明△ABC是等边三角形，由此得到答案. 【详解】∵AB=AC，， ∴△ABC是等边三角形， ∴BC=AB=2， 故答案为：2 【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边相等. 11. 如图，在中，，，中线的长为偶数，则=______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用倍长中线法构造全等三角形，利用三角形的三边关系求出的范围，即可得出结果. 【详解】解：延长至点，使，连接，则， ∵是的中线， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 又∵的长为偶数， ∴. 12. 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，平分，交于点D，，，则点D到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”． 将点到的距离转化为的长度即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，且， ∴点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离为． 故答案为：3． 14. 如图，垂直平分，垂足为，交于点，连接，的垂直平分线交于点，，则的周长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，即可得，，再用线段相等进行转化即可求解的周长． 【详解】解：∵点在的垂直平分线上， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴的周长为： 的周长为 ． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，如果的面积是32，则的面积是______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：在中，，，的面积是32， ， 又是边上的中线， 所以点是的中点， ． 16. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 利用开平方运算求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 18. 已知，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和平方的非负性得到关于x和y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ 得 得 将代入①得，解得 ∴ ∴9的平方根为 ∴的平方根为． 【点睛】本题考查非负数的性质和求平方根，熟练掌握非负数之和为0，则每一个非负数都等于0是关键． 19. 如图，网格中的与为轴对称图形． （1）利用网格线作出与的对称轴l； （2）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出的面积________； （3）在网格中画出以为一边且与全等（不与重合）的． 【答案】（1）如图， （2）3 （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）结合轴对称的性质，连接，作线段的垂直平分线l，则直线l即为所求． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）根据全等三角形的判定作图即可． 【小问1详解】 解：连接，作线段的垂直平分线l， 则直线l即为所求． 【小问2详解】 的面积为． 故答案为：3． 【小问3详解】 略 20. 如图，点B，F，C，E在一条直线上BF＝CE，AC＝DF． （1）在下列条件①∠B＝∠E；②∠ACB＝∠DFE；③AB＝DE；④AC∥DF中，只添加一个条件就可以证得△ABC≌△DEF，则所有正确条件的序号是　　． （2）根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A＝∠D． 【答案】（1）②③④； （2）添加条件∠ACB＝∠DFE，理由： ∵BF＝CE， ∴BF+CF＝CE+CF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ③在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SSS）； ④∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； 故答案为：②③④； （2）答案不唯一．添加条件∠ACB＝∠DFE，理由如下： ∵BF＝EC， ∴BF+CF＝EC+CF． ∴BC＝EF． 在△ABC和△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（SAS）； ∴∠A＝∠D． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案； （2）答案不唯一，添加条件∠ACB＝∠DFE，证明△ABC≌△DEF（SAS）；即可得出∠A＝∠D． 【详解】解：（1）①在△ABC和△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∠B＝∠E， 不能判定△ABC和△DEF全等； ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 小明利用一根长的竿子来测量学校里路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竿子 在的延长线上移动，使，此时测得．根据这些数据，你能帮小明计算出路灯的高度．请写出计算过程并说明理由． 【答案】解：∵，，， 在中，， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即路灯的高度为． 【解析】 【详解】略； 【分析】先由角角边的判定定理证明与全等，再由即可求解． 22. 下面是八上课本第55页复习题12：已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，，，求证：． 下面是小明证明的做题过程： 证明：， ， 第①步 在和中， ， 第②步 ． 第③步 （1）老师批改时，告知小明在第______步中有错，请你写出正确的证明过程； （2）若，，求证：． 【答案】（1）② 正确过程如下所示： ，， ，， ，， ， ， 在△和△中， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由不能证明两个三角形全等可知第②步有错；根据等边对等角和三角形外角的性质证明，再利用证明，则可证明结论； （2）由全等三角形的性质和三角形外角的性质推出，，则可求出，进而可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图是风筝的结构示意图，点D是等边三角形的外部一点，且，过点D作交于点F，交于点E． （1）求证：垂直平分线段； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段； （2）6 【解析】 【分析】（1）由等边三角形，可得，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行证明即可； （2）由题意知，，由平行线的性质可得，则是等边三角形，，，由三角形外角的性质求，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边三角形， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质是解题的关键． 24. 如图所示，一根长2a的木棍，斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行． 请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由． 在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值． 【答案】(1)斜边上的中线OP不变；(2)当的斜边上的高h等于中线OP时，为等腰直角三角形时，面积最大，理由见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断； （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出． 试题解析：（1）不变． 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变． （2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h<OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大 此时，S△AOB=AB·h=×2a·a=a2，所以△AOB的最大面积为a2. 点睛：此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键． 25. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”……以此类推．举个例子：如图，是斜边的中线，则叫的“双等腰线”． （1）如图，中，，，请你作出的“三等腰线”；（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，画出的“四等腰线”，并做必要的标注或说明；（无需尺规作图） （3）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的顶角的度数是______．（写出所有可能） 【答案】（1） （2）分别为的中点 （3），， 【解析】 【分析】（1）作的中垂线交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形，先作，分别取的中点，连接即可； （3）分顶角为锐角，直角和钝角三种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当顶角为锐角时，如图，则，解得； 当顶角为直角时，斜边上的中线一定能将直角三角形分成2个等腰三角形，满足题意； 当顶角为钝角时，如图，则，解得； 故顶角度数为. 26. 【问题提出】在中，，，点是直线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点为的中点，作射线交于点， （1）探究：与的数量关系． ①【特殊化】当点与点重合时，容易发现和的数量关系：______； ②【一般化】如图所示，判断与的数量关系，并说明理由； （2）【应用】当，时，求长． 【答案】（1）①（或）．理由： 当D与B重合时，， 将绕A逆时针旋转得到， ∵， ∴， ∴是腰长为的等腰直角三角形，； 同时P是即的中点， 在等腰中，斜边中线， ∴（或）． ②与的关系是或，理由： 与的关系是：，延长到，使，连接，，如图2所示： ， 在中，， ，． ，点为的中点， ∴， ∵， ∴． ，， ，． 是的外角， ． ． 由旋转的性质得：，， ， ． 在和中， ， ∴△MDA≌△BAE（SAS）． ，． 又∵． ． （2）． 【解析】 【分析】（1）①对于特殊化情形，直接代入点D与B重合的条件，结合中点性质和旋转性质，推导与的数量关系．②对于一般化情形，延长到点M，使，连接，，首先利用旋转的性质得到，结合已知，推导与相等，证明与全等，得到与的数量关系． （2）当Ｄ在上时，当Ｄ在延长线上时，分两种情况解答．由，结合（1）结论知，，根据等腰直角三角形性质证明，得到，证明，由，得，即得． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 解：当Ｄ在上时， ∵，∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，​ 当D在延长线上时， ∵， ∴由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $