精品解析：江苏省泰州市靖江市滨江学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 2025.12.25 （时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 3. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 5. 如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点为．过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D．下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 当时，或 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．） 7. 的算术平方根是_____． 8. 据统计，2025年前三季度江苏省国内生产总值（）为102811亿元，将数据102811用四舍五入法精确到100，所得近似数用科学记数法表示为________． 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ． 11. 点和点在直线上，则与的大小关系是________． 12. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为、，若，，则________． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，，则的周长为___________． 14. 已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 15. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是_________． 16. 已知一次函数，各顶点的坐标为，，，若一次函数的图象与的边有两个交点，则k的取值范围是________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 求x的值： （1） （2） 19. 如图，，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） （2）若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 21. 已知一次函数经过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）求一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积． 22. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 23. 漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 （1）你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； （2）当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 24. 如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． （1）求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当的面积等于3时，结合函数图象，求t的值． 25. 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线交于点． （1）如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，点是直线与射线的交点，当且，求此时的值； （2）在（1）的条件下，在直线上找一点，使，求出点的坐标； （3）如图，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【课本再现】 （1）苏科新版数学八年级上册第50页习题第6题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤恒成立的结论的序号________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若A、C、E不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断、、为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若A、C、E不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 2025.12.25 （时间120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行分析即可． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 是分数，分数有理数； ，都是整数，整数是有理数． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的概念，解决本题的关键是对带根号的数字进行判断，需要先对其进行化简，只有不能被开方的数字才是无理数． 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 10，15，20 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义．判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故选项符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，点E，点F在上，，添加一个条件，不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据全等三角形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：， 当时，利用可得，故A不符合题意； 当时，利用可得，故B不符合题意； 当时，利用可得，故C不符合题意； 当时，无法证明，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，故A选项的结论正确，不符合题意； ，， ， ， ， ，故B选项的结论正确，不符合题意； ， ， ， ，故C选项的结论正确，不符合题意； 设，则， ，， ， 解得（负值已舍去）， ， 即，故D选项的结论错误，符合题意． 故选：D． 5. 如图，动点P从点A出发，按顺时针方向绕半圆O匀速运动到点B，再以相同的速度沿直径回到点A停止，线段的长度d与运动时间t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的长不变为半径的长，点在线段上运动时，的长先变小，后变大，进行判断即可． 【详解】解：当点在上运动时，的长不变为半径的长，当点在线段上运动时，的长先变小，后变大， 故符合题意的只有选项B； 故选：B． 6. 如图，已知直线与直线交于点，直线与y轴的交点为．过直线上一点作x轴的垂线交直线于点C，交直线于点D．下列说法不正确的是（ ） A. ， B. 当时，或 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，利用待定系数法可求出和b的值，则可判断A；根据题意可得，，由，即可列出方程求解的值，据此可判断B；求出，，，当时，可列出方程求出m的值，则可判断C；当时，可推出，可判断当时，，则可判断D． 【详解】解：直线与y轴的交点为 ， 直线与直线交于点 ∴， 解得，故A说法正确，不符合题意； ∴直线的解析式为； 由题意得：，， ， 或， 解得或，故B说法正确，不符合题意； ∵， ，，， 当时， 则或 解得或，故C说法错误，符合题意； 当时，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 当时，，即此时满足， 当时，，故D说法正确，不符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．） 7. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 8. 据统计，2025年前三季度江苏省国内生产总值（）为102811亿元，将数据102811用四舍五入法精确到100，所得近似数用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，求近似数． 将数据102811用四舍五入法精确到100，即精确到百位，得到近似数102800，再将102800用科学记数法表示． 【详解】解：102811精确到100，需看十位数字， 十位数字为1，小于5，因此舍去，得102800， 102800用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握以上知识，正确列式求解是关键． 根据二次根式有意义的条件得，分式有意义的条件得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴且， 故答案为：且 ． 10. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点坐标是 ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横、纵坐标的符号关系是解题关键．根据关于x轴对称点的坐标特点，可直接求得所求点坐标． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为， 故答案为：． 11. 点和点在直线上，则与的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，进而判断即可． 【详解】解：∵中， ∴y随x增大而减小， ∵点和点在直线上，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为、，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，由正方形面积公式得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意知，， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，若，，则的周长为___________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由勾股定理，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，即可求出的周长． 【详解】解：在中，，，， , 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：14 14. 已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，通过点坐标求出与的关系，再根据点和点的纵坐标相等建立方程，代入关系式化简得到与的关系． 【详解】解：点在函数上， 可得：， 解得：， 点在上， 可得：， 点在上， 可得：， ， ， ， 整理得：， ， 两边除以可得：， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是_________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形的面积计算，延长交的延长线于，由勾股定理求出的长，证明得到，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ∵在中，， ， ∵平分， ， ， ， 又∵， ∴， ，， ， ； 故答案为：． 16. 已知一次函数，各顶点的坐标为，，，若一次函数的图象与的边有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象．一次函数的图象恒过点，若一次函数的图象与的边有两个交点，可得一次函数的图象与线段（不包括端点）有交点即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴一次函数的图象过定点， ∵一次函数的图象与的边有两个交点， ∴一次函数的图象与线段（不包括端点）有交点， 当一次函数的图象过点时， 此时， 解得：， 当一次函数的图象过点时， 此时， 解得：， ∴k的取值范围是或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，绝对值： （1）先计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减运算； （2）先化简绝对值，计算乘方，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 求x的值： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是掌握求一个数的平方根和立方根． （1）根据求一个数的平方根解方程； （2）根据求一个数的立方根解方程． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得或； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得． 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ． ，，， ． ． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的判定等．根据题意选用正确的判定三角形全等的方法是解题的关键．由等角对等边得到，利用“”判定，再得出对应相等的两边即可． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）画出绕原点O旋转后得到的，并分别写出点、、的坐标．（画图时字母应标注清楚） （2）若点是内一点，当绕原点O旋转后得到的时，点D的对应点的坐标为________． （3）若与关于某点中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求，、、 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是画旋转图形，中心对称的性质，坐标与图形，熟练画图是解本题的关键． （1）分别确定、、绕原点O旋转后的对应点、、，再顺次连接即可； （2）对于原点对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数； （3）找出对称的两个点，求中点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，与关于原点对称， 点的对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可知，与对称， 对称中心的坐标为，即， 故答案为：． 21. 已知一次函数经过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）求一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，掌握好一次函数的概念是解题关键． （1）将点坐标代入表达式，求出k与b的值； （2）分别求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标，计算出三角形的面积． 【小问1详解】 解：将，；，，代入一次函数得， ，解得，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 令，则， ∴点B的坐标为， ∴， 令，则，解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ， ∴一次函数的图象与两条坐标轴围成的三角形的面积为25． 22. 如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断； （2）在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】（1）旗杆在距离地面处折断 （2）行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理并正确计算是解题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，根据勾股定理列方程，解方程即可求出的的长度． （2）根据的长度，求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，与作比较，即可求解． 【小问1详解】 解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． 【小问2详解】 解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 23. 漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 （1）你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； （2）当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】（1）， （2）200 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 24. 如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． （1）求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）当的面积等于3时，结合函数图象，求t的值． 【答案】（1） （2） 在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象如下： 函数的一条性质：该函数的最大值为6 （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）首先求出，求出点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒，然后分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图象，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动，则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． 【小问2详解】 解：列表如下： x 1 3 4 5 2 6 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． 【小问3详解】 解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，三角形面积，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 25. 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，直线交于点． （1）如图，点是线段的中点，连接，点是射线上一点，点是直线与射线的交点，当且，求此时的值； （2）在（1）的条件下，在直线上找一点，使，求出点的坐标； （3）如图，若，过点作，交轴于点，此时在轴上是否存在点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明，然后证得，，得到点坐标，即可确定的值； （2）先求出，设点的坐标为，分：当点在射线上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，三种情况讨论，分别利用面积公式表示出，令，列方程求解点的坐标即可； （3）过点作射线交轴于点，使，过点作交射线于点，再过点作轴于点，利用等腰直角三角形特征，以及全等三角形性质，求出点的坐标，再求出直线与轴交点即是，最后利用对称性求出另一个坐标． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，， 当时，即，解得， ，两点的坐标分别为，， ， 点是线段的中点， ． 如图，连接， ， ． ， ， 在和中， ， ． ，， ， 将点代入中得： ，解得， 当且，此时； 【小问2详解】 解：如图， ， 设点的坐标为， 当点在射线上时，，如图所示， 则有： ， 令， ， 或（不合题意，故舍去）， 此时， ； 当点在线段上时，，如图所示， ，，且当在线段上时，不大于， 当点在线段上时，， 故不存在点，使； 当点在线段的延长线上时，，如图所示， 过点作轴交于点， 令，解得， ， ， 令， ， 或， （不合题意，故舍去）或， 此时， ； 综上，当时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作射线交轴于点，使，过点作交射线于点，再过点作轴于点， ， 直线， ， 设直线表达式为， 将点代入得，， 直线表达式为， 当时，即，解得， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形，， ， ，轴， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 设直线表达式为， 将点，代入得， ，解得， 直线表达式为， 当时，即，解得， ， 由对称性可知，另一个点在原点左边，即， 综上所述，在轴上存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，涉及一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，两个一次函数图象的交点坐标，对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和分类讨论是解题关键． 26. 【课本再现】 （1）苏科新版数学八年级上册第50页习题第6题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．判断与是否相等，并证明你的结论； 【初步探究】 （2）学习小组在没有改变图形的情况下，进行了如下探究：如图2，若与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．以下结论：①；②平分；③；④是等边三角形；⑤恒成立的结论的序号________； 【深入探究】 （3）学习小组通过改变点的位置，得到如下探究：如图3，若A、C、E不在一条直线上，其他条件不变，且始终保持．连接、、，试判断、、为边的三角形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （4）学习小组通过改变三角形的形状，经过深入思考，进行了如下探究：如图4，若A、C、E不在一条直线上，和是以和为直角的等腰直角三角形，且，，连接、，判断的值是否为定值？若是，请直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】 （1）解：，证明如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①②④⑤； （3）解：以、、为边的三角形是等边三角形，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是等边三角形； （4）200 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定定理． （1）由等边三角形性质得，，，则，进而得，由此依据判定和全等再由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知：，，则，根据三角形内角和可判断①，作，，由（1）知，则对应边上的高相等，根据角平分线的判定定理可判断②，根据已知条件不能判定点O一定是的中点，可判断③，证明得到根据可判断④，根据得到，根据得到，根据可判断⑤； （3）由等边三角形性质得，，，进而得，由此依据判定和全等得，证明，进而依据判定和全等得，继而得，由此可得出以、、为边的三角形的三角形是等边三角形； （4）连接，相交于点O，与相交于点M，由等腰直角三角形性质得，，，进而得，由此依据判定和全等得，再证明得，由勾股定理得，，，则，据此可得为定值． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∵， ∴，结论①恒成立，符合题意； 如图，作，， 由（1）知， 则对应边上的高相等， 点C在的平分线上，即平分，结论②恒成立，符合题意； 根据已知条件不能判定点O一定是的中点，结论③不恒成立，不符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，结论④恒成立，符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即，结论⑤恒成立，符合题意； 综上所述：恒成立的结论序号①②④⑤． 故答案为：①②④⑤； （3） 略 （4）解：连接，相交于点O，与相交于点M，如图所示： ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是和的外角， ∴， ∴， 即， ∴，，，都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $