3.1.1 函数及其表示方法知识清单-2026-2027 学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.1 函数及其表示方法　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 从变量之间的对应关系到函数：认识函数、掌握三要素与三种表示法 图 1　本节知识地图：函数的概念、三要素、函数记号、同一函数、三种表示法、图象与分段函数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数； ② 掌握函数的三要素，会求简单函数的定义域与值域； ③ 理解函数记号 y=f(x)，分清 f(x) 与 f(a) 的区别与联系； ④ 会判断两个函数是否为同一个函数； ⑤ 了解函数的三种表示法，理解图象的点集定义，认识分段函数。 重点 函数的概念、三要素、三种表示法、分段函数。 难点 用集合与对应的语言理解函数概念；图象是点集 F={(x,y)|y=f(x),x∈A}；分段函数的求值与图象。 二、情境引入（从变量关系到函数） 在初中，我们用 这类式子表示“一个量随另一个量变化”的依赖关系。进入高中，要把这种“唯一对应”的规律，用更精确的集合与对应语言重新定义——这就是函数。 先看三个实例： 实例 自变量 x 对应关系 因变量 y 说明 (1) 自由落体 下落时间 t 下落距离 s t≥0 (2) 气温变化 时刻 t 自动记录 温度 θ 连续 (3) 邮件计费 质量 m 分段规则 邮资 y 按区间 这三个例子有一个共同点：每给出一个自变量的值，都按某种确定的规则，得到唯一确定的一个因变量的值。函数，正是这种“唯一对应”关系的数学抽象。 三、函数的概念（定义与关键词拆解） 给定两个 非空实数集 A 与 B，以及 对应关系 f，如果对于集合 A 中的每一个实数 x，按照对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的实数 与 x 对应，则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数，记作 。其中 x 称为自变量，y 称为因变量。 图 2　函数概念对应图：A 中每一 x 唯一对应 B 中 y（多对一也可以），一对多则不是函数 关键词拆解： ① 非空实数集 A、B：A 是自变量 x 的允许取值范围（即定义域），B 包含值域，但通常比值域大； ② 对应关系 f：可以是解析式、图象、表格或文字描述，它决定 x 怎样得到 y； ③ “每一个 x”都要有对应（存在性）：A 中不能有没有着落的 x； ④ “唯一确定”（单值性）：一个 x 只能对应一个 y，因此“一对多”不是函数，而“多对一”可以； ⑤ 记法 y=f(x), x∈A：x 是自变量，y 是因变量，f 是对应关系。 四、函数的三要素 要素 含义 说明 对应关系 y=f(x), x∈A 函数的“灵魂”，决定 x 如何得到 y 定义域 自变量 x 的取值范围（即数集 A） 求函数的定义域是基本功 值域 {y∈B | y=f(x), x∈A} 由定义域与对应关系唯一确定 强调：定义域和对应关系是决定函数的两个要素。只要定义域和对应关系确定，值域就被唯一确定，这个函数也就确定了。 五、函数记号 y=f(x) 的辨析 （1）y=f(x) 是“y 是 x 的函数”的数学表示，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”。f 是一个对应关系（规则），不是一个数。除 f 外，还常用 g(x)、h(x)、F(x)、G(x) 等表示函数。 （2）f(x) 与 f(a) 的区别与联系： f(x) f(a) 含义 随 x 变化的变量（一般情形） x=a 时的函数值（常量） 关系 f(a) 是 f(x) 的一个特殊值 一旦 a 确定，f(a) 就是一个定数 例如：设 ，则当 时， 是一个常数。 六、同一个函数（同一函数）的判定 两个函数相同（即表示同一个函数），当且仅当 定义域相同 且 对应关系相同（即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等）。 注意：自变量使用什么字母表示，不影响是否为同一个函数。例如 与 （定义域相同）表示的是同一个函数。 例 1　判断下列各组函数是否为同一函数 组别 两个函数 结论与理由 (1) f(x)=，x∈A；u=，t∈A 同一函数：定义域、对应关系都相同，字母不同不影响 (2) f(x)=，x∈[0,2]；g(x)=2x，x∈[0,2] 不同：对应关系不同 (3) f(x)=，x∈[0,2]；h(x)=，x∈(0,2) 不同：定义域不同（一个含 0，一个不含） 七、求函数的定义域与值域（简单情形） 图 3　区间的数轴表示：端点含用实心圆点，不含用空心圆点；无穷大 ∞ 永远取不到 （1）定义域：使函数有意义的自变量取值范围。常见限制： 情形 要求 举例 分母 分母 ≠ 0 f(x)= 要求 x≠1 偶次根式 被开方数 ≥ 0 f(x)= 要求 x≥2 实际意义 符合实际 时间 t≥0、质量 m>0 例 2　求函数 的定义域。 解：需 ，即 ，所以定义域为 (−∞, 1) ∪ (1, +∞)。 （2）值域：当定义域和对应关系简单时，可直接观察得到。 例 3　已知 ，x∈[−1,3]，求其值域。 解：x∈[−1,3] 时， 最小为 0（x=0 取到），最大为 9（x=3 取到），故值域为 [0, 9]。 由表格给出的函数，其值域就是函数值构成的集合。下表给出的函数值域为 {−1, 0, 1}： x 的范围 x<2 2≤x≤3 x>3 y −1 0 1 八、函数的三种表示方法 表示法 如何表示 优点 缺点 解析法 用数学式子表示对应关系 简明、便于推导计算 不够直观；并非所有函数都能写解析式 列表法 列出 x 与 y 的对应表格 不需计算直接查值 只适用于离散、有限情形，不能反映整体规律 图象法 用图象表示函数 直观，能看变化趋势与最值 精度不高，一般不用于精确计算 例 4　某商场新进 10 台彩电，每台售价 3000 元。设售出台数为 x（正整数 1~10），收款数为 y 元，用三种方法表示这一函数关系。 解析法：y=3000x, x∈{1,2,…,10}（须注明定义域）。 列表法： x（台） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y（元） 3000 6000 9000 12000 15000 18000 21000 24000 27000 30000 图象法：在坐标系中描出以上 10 个点（横坐标为 x、纵坐标为 y），图象是离散的点。 提醒：解析法必须注明定义域；列表法要罗列所有对应；图象法要分清是“点”还是“线”。 三种表示方法各有适用的场合：需要精确计算和推导时用解析法；数据成对给出、需要快速查值时用列表法；需要观察整体变化、比较大小或求最值时用图象法。实际解题时，常根据问题的特点选用一种方法，也可以把几种方法结合起来使用。例如，先由解析式列出对应值表，再把表中的点描在坐标系中，就得到了图象。 （1）由表格求解析式。同一个函数关系可以用不同方法表示，下表给出某函数的部分对应： x 1 2 3 4 y 3 5 7 9 观察可知，y 恒为 x 的 2 倍加 1，故解析式为 y=2x+1，定义域为 x∈{1,2,3,4}。 （2）由解析式列对应值。把 x=1,2,3,4 逐一代入 y=2x+1，得 y=3,5,7,9，与上表完全一致，说明两种方法表示的是同一个函数。 想一想：只给出一张有限的对应表，能否完全确定一个函数？（一般不能：表中未列出的 x，其函数值无从查得。） 九、函数的图象 图 4　函数的图象：把 (x,y) 看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，满足条件的点组成的集合就是图象 将函数 y=f(x), x∈A 中的自变量 x 与对应的函数值 y，分别看成 平面直角坐标系 中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点 组成的集合 F 称为函数的图象，即 F={(x,y)| y=f(x), x∈A}。 性质 内容 ① 图象上任意一点的坐标 (x,y) 都满足函数关系 y=f(x) ② 满足函数关系 y=f(x) 的点 (x,y) 都在函数的图象 F 上 图象既可以是连续曲线，也可以是离散的点（如例 4 的列表法图象）。 例 5　判断点 是否在函数 的图象上。 解：把 代入得 y=2×1=2，点 (1,2) 满足函数关系，所以在图象上。 十、分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。 核心认识：分段函数是一个函数，不是几个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值范围的 并集（各段交集为空）；值域是各段函数值集合的并集；图象分段绘制后组合在一起。 图 5　分段函数示例：绝对值函数 y=|x|，在 x≥0 与 x<0 两段用不同式子，但整体是一个函数 例 6　绝对值函数 f(x)=|x| = { x, x≥0；−x, x<0 }。求 f(−2)，f(3)。 解：因为 −2<0，用 ，得 ；因为 ，用 ，得 。 例 7　分段函数 g(x)={ x+1, x<0；，x≥0 } 的图象：分别画出两段，再拼在一起（注意分界点 x=0 只取一次）。 十一、本节小结与易错辨析 本节从对应关系到函数，核心要点如下： 要点 关键内容 函数概念 非空数集 A、B + 对应关系 f，A 中每 x 唯一对应 B 中 y，记作 y=f(x),x∈A 三要素 对应关系、定义域、值域；定义域与对应关系决定函数 函数记号 y=f(x) 不是乘积；f(x) 是变量，f(a) 是常量（特殊值） 同一函数 定义域相同且对应关系相同；字母不影响 三种表示 解析法、列表法、图象法，各有优缺点 图象 点集 F={(x,y)|y=f(x),x∈A}；两点性质 分段函数 一个函数；不同区间不同对应；求值先判区间 易错提醒：① 误以为 y=f(x) 是乘积；② 把“一对多”当成函数（应为“多对一”可以）；③ 求定义域漏掉分母≠0、偶次根式≥0；④ 分段函数求值忘记先判断 x 在哪一段；⑤ 区间端点含与不含写错（∞ 永远取不到）。 十二、巩固练习 题号 题目 1 判断：y=f(x) 表示 y 等于 f 与 x 的乘积。（ ） 2 已知 ，求 f(2) 与 f(a)。 3 求 的定义域。 4 求 的定义域。 5 判断 与 是否为同一函数。 6 已知 ，x∈[−1,3]，求其值域。 7 由表格（x:1,2,3,4 对应 y:3,1,4,2）求该函数的值域。 8 分段函数 ，求 与 。 9 已知 ，求 f(0)。 10 判断点 (1,2) 是否在函数 y=2x 的图象上。 11 正方形边长为 x，面积为 S。用解析法表示 S 与 x 的关系，并注明定义域。 12 判断：分段函数是由几个函数构成的。（ ） 参考答案 1. （×）。y=f(x) 是“y 是 x 的函数”的数学表示，不表示乘积。 2. f(2)==5；f(a)=。 3. 分母 x−1≠0，即 x≠1，定义域为 (−∞, 1) ∪ (1, +∞)。 4. 被开方数 x−2≥0，即 ，定义域为 [2, +∞]。 5. 不同。g(x)=/x 在 x=0 处无定义，定义域比 f(x)=x 少一个 0，定义域不同。 6. x∈[−1,3] 时 最小 0、最大 9，值域为 [0, 9]。 7. 函数值只有 1、2、3、4，值域为 {1, 2, 3, 4}。 8. f(−2)=−2+1=−1（因 ，用 x+1）；f(2)==4（因 2≥0，用 ）。 9. f(0)=|0−1|=1。 10. 是。x=1 代入 y=2x 得 y=2，点 (1,2) 满足函数关系，在图象上。 11. S=，定义域为 (0, +∞)（边长大于 0）。 12. （×）。分段函数是一个函数，只是不同区间用不同式子表示。 学科网（北京）股份有限公司 $