精品解析：内蒙古呼和浩特市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

呼和浩特市第一中学2025—2026学年第一学期高一年级 第二次月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的解集得到方程的根，利用根与系数的关系列方程组求解即可. 【详解】解：不等式的解集为， 即方程的解为 由方程的根与系数的关系可得，解得， 故选：B. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点存在性定理即可求解. 【详解】由题可知，为增函数，再由， 所以，根据零点存在定理知，零点在范围内． 故选：B. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，排除A,B，再利用特殊值，根据之间函数值正负的不同，取，即可得到函数值，判断出结果. 【详解】，那么，那么函数为偶函数，故排除A,B， 当 时， ，取 ，那么, 那么排除C. 故选：D 6. 已知函数，在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过换元令，，则问题转换为求二次函数的值域问题． 【详解】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为， 故选：A． 7. 已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两命题都是真命题时的取值范围，再取交集即可． 【详解】由题意知命题：“”为全称量词命题，是真命题， 故，可得； 结合题意知命题：“”为真命题， 即有实数解，则，解得或， 综合上述,实数需满足，可知实数的取值范围是. 故选：B. 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，再设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟，可得关于的方程，利用对数的运算性质及换底公式，即可求解. 【详解】有题意知℃，因为一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟， 所以，即； 设水温从℃降至45℃，需要的时间为分钟， 所以，即， 所以， 所以， 所以水温从℃降至45℃，大约还需要10分钟. 故选：B. 10. 已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，根据图象得到，，即可得到答案. 【详解】的图象如下图所示： ， 设，由图知：，即，得. 所以. 函数单调递减，与轴交于点， 由图知：. 故选：B 二、多选题：本题共4小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换底公式计算判断AD；举例说明判断BC作答. 【详解】依题意，，A正确； 令，则，B错误； 令，则，C错误； ，D正确. 故选：AD 12. 已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数函数的图象判断． 【详解】由图象知，可以看作是向左移动个单位得到的，因此， 故选：BD． 13. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是真命题 B. 若，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则或 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数值域得到选项A正确；利用特殊值判断B选项错误；由幂函数的定义得到的值，带回原函数判断单调性即可得到C选项正确；由二次函数的图像的性质得到D选项正确． 【详解】A选项，恒成立，A选项正确； B选项，若，如，则，B选项错误； C选项，函数是幂函数， 所以，即，解得，或， 当时，在上单调递减，符合题意， 当时，，不符合题意， 所以，C选项错误； D选项，设，则有两个实根，且一个正实根，一个负实根， 故，D选项正确． 故选：AD． 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇偶性得到恒等式，再利用赋值思想即可判断选项. 【详解】因为为奇函数，所以则可推出关于对称，即故A正确，B错误； 因为为偶函数，所以则关于对称，故C正确；由令得，， 由令得，， 所以，所以， 又因为，则，所以，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 15. 已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象经过点，求出底数，最后再求其反函数. 【详解】因为对数函数且的图象经过点， 所以，所以，所以对数函数的解析式为， 所以其反函数为. 故答案为： 16. 函数的单调增区间为______． 【答案】（也对） 【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数的单调性同增异减来求得单调增区间. 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 17. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 18. 对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得在上无实数根，参变分离可得在上无实数根，令，，求出的值域，即可得到不等式，解得即可. 【详解】依题意在上无实数根，即在上无实数根， 即在上无实数根， 令，，则在上单调递增， 又，，即， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共4小题，计56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简指数式和对数式，再将结果进行加减运算； （2）根据对数运算法则对各项分别化简，再进行计算. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 20. 已知函数满足. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，代入函数，求出得解析式； （2）利用函数的单调性可得值域. 【小问1详解】 函数满足 则有解得 故. 【小问2详解】 由（1）可知，函数定义域为， ， 因为函数与都在上单调递增， 所以函数在上是增函数. 因为， 所以函数在上的值域为. 21. 已知函数（且）． （1）求函数的定义域． （2）判断函数的奇偶性并给出证明． （3）求使成立的x的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数为奇函数； 证明：因为的定义域为， 设，则， 所以 所以函数为奇函数； （3）当时，使的x的取值范围为； 当时，使的x的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求出结果； （2）根据奇偶函数的定义分析判断，即可得到结果； （3）分和两种情况进行讨论，求解不等式，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 当时，若，则， 即且，解得； 当时，若，则， 即且，解得； 综上所述，当时，使的x的取值范围为； 当时，使的x的取值范围为. 22. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ①，解得， ②，解得， ③，解得，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市第一中学2025—2026学年第一学期高一年级 第二次月考数学试卷 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：高一数学备课组 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 若不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，在上的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题“”，命题“”.若两个命题都是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若℃，现有一杯℃的热水降至℃大约用时1分钟，那么水温从℃降至45℃，大约还需要（ ）（参考数据：） A. 11分钟 B. 10分钟 C. 9分钟 D. 8分钟 10. 已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11. 设是均不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数(为常数，其中)的图象如图，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”是真命题 B. 若，则 C. 若幂函数在区间上是减函数，则或 D. 方程有一个正实根，一个负实根，则 14. 设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，若，下列叙述正确的是（ ） A. B. 关于对称 C. 关于对称 D. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 15. 已知对数函数且，且图象过点，的反函数记为，则的解析式是________． 16. 函数的单调增区间为______． 17. 已知正实数满足，则的最小值为__________. 18. 对于定义在集合上的函数，若存在实数满足，则把叫做的一个不动点，已知，没有不动点，则实数的取值范围是________． 四、解答题（共4小题，计56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 化简求值： （1）； （2）. 20. 已知函数满足. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的值域. 21. 已知函数（且）． （1）求函数的定义域． （2）判断函数的奇偶性并给出证明． （3）求使成立的x的取值范围． 22. 已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $