专题13 反比例函数的图像和性质的经典题型讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13 反比例函数的图像和性质的经典题型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数概念辨析 题型02 从实际问题中抽象出反比例函数 题型03 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 题型04 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 题型05 由反比例函数的解析式判断其性质 题型06 由反比例函数经过的象限求k 题型07 由反比例函数的增减性求k 题型08 由反比例函数的性质比较大小 题型09 由反比例函数的图象求k 题型10 由反比例函数k的几何意义求面积 题型11 由图形面积求k 题型12 题型12 反比例函数与几何综合 题型13 反比例函数的对称性 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 （1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”； （2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号 【针对训练】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 4．（2026·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 知识点三 反比例函数的几何意义 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 【针对训练】 6．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 7．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【针对训练】 8. （25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 9. （25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 典例精析 题型01反比例函数概念辨析 【典例】在下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【变式】如果函数是反比例函数，那么m的值是___________． 题型02从实际问题中抽象出反比例函数 【典例】在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． (1)设菱形的两条对角线长分别为x（cm）和y（cm），求y关于x的函数解析式． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求这个菱形的边长． (3)小杭同学说：这个菱形的两条对角线长的和可以为13cm．小杭的说法正确吗？请说明理由． 【变式】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．250 B．200 C．100 D．50 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 【典例1】已知y与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【变式】已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【变式】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 题型05由反比例函数的解析式判断其性质 【典例】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【变式】对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 题型06由反比例函数经过的象限求k 【典例】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【变式】若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 题型07由反比例函数的增减性求k 【典例】若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 题型08由反比例函数的性质比较大小 【典例】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【变式】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型09由反比例函数的图象求k 【典例】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【变式】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 题型10由反比例函数k的几何意义求面积 【典例】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【变式】（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为 　 ． 题型11由图形面积求k 【典例】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 题型12 反比例函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 题型13 反比例函数的对称性 【典例】（2026•盘州市模拟）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式】平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 1．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 12．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A．B．C． D． 13．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 14．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 15．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 16．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 17．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 19．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 20．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 21．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 23．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 24．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 25．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 26．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 27．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 28．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 反比例函数的图像和性质的经典题型 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 反比例函数概念辨析 题型02 从实际问题中抽象出反比例函数 题型03 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 题型04 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 题型05 由反比例函数的解析式判断其性质 题型06 由反比例函数经过的象限求k 题型07 由反比例函数的增减性求k 题型08 由反比例函数的性质比较大小 题型09 由反比例函数的图象求k 题型10 由反比例函数k的几何意义求面积 题型11 由图形面积求k 题型12 题型12 反比例函数与几何综合 题型13 反比例函数的对称性 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响. y＝ (k为常数，k≠0) k>0 k<0 图　象 所在象限 一、三(x，y同号) 二、四(x，y异号) 性　质 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 （1）在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在哪一个象限内”； （2）反比例函数的图象的位置和函数的增减性由的符号决定；反之，由双曲线的位置或函数的增减性可确定的符号 【针对训练】 1．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵点A的横坐标， ∴点A在第二象限，可得． ∵点B横坐标为1，点C横坐标为3，都大于0， ∴点B、C都在第四象限，可得，． ∵， ∴ ∴． 知识点二 反比例函数的对称性与求点的坐标 【针对训练】 3．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【详解】解：双曲线与直线 相交于两点，由于正比例函数图像过原点，且双曲线关于原点中心对称，因此交点A和B关于原点对称， 已知B点坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均互为相反数，故A点坐标为． 故答案为：． 4．（2026·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：解：将代入得，则点A的坐标为， ∵点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 知识点三 反比例函数的几何综合 值与矩形面积的关系 值与三角形面积的关系 文字语言 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，轴于点 以为例：如图，过双曲线上任意一点作轴于点，连接 图示 的几何意义 【注意】因为中有正、负之分，所以上述两个面积结论中的不能写成 【针对训练】 6．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 7．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 【针对训练】 8. （25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 9. （25-26九年级上·宁夏银川·期末）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限， 一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：A ． 典例精析 题型01反比例函数概念辨析 【典例】下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中表示 是 的反比例函数的是______（填入序号）． 【答案】（2）、（3） 【分析】根据反比例函数的定义，形如（ 为常数， ）的函数是反比例函数，逐一判断各关系式即可得到结果． 【详解】解：是二次函数，故（1）不符合反比例函数形式； ，可化为的形式，其中 ，故（2）是反比例函数； ，可化为的形式，其中 ，故（3）是反比例函数； 整理得 ，不符合的形式，故（4）不符合反比例函数形式； ，分母为 ，不是 ，故（5）不符合反比例函数形式． 综上，只有（2）和（3）是反比例函数． 【变式】如果函数是反比例函数，那么m的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式． 根据反比例函数的定义，只需令且即可． 【详解】解：因为函数是反比例函数， 所以， 所以， 故答案为：． 题型02从实际问题中抽象出反比例函数 【典例】在面积为定值的一组菱形中，当菱形的一条对角线长为4cm时，它的另一条对角线长为12cm． (1)设菱形的两条对角线长分别为x（cm）和y（cm），求y关于x的函数解析式． (2)若其中一个菱形的一条对角线长为6cm，求这个菱形的边长． (3)小杭同学说：这个菱形的两条对角线长的和可以为13cm．小杭的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)5 (3)不正确，理由见解析 【分析】（1）由菱形的面积等于对角线乘积的一半，列出等式，可求解； （2）先求出另一条对角线，进而可得菱形对角线的一半的长度，由勾股定理可求解； （3）根据x+y＝13，可得，整理得x2﹣13x+48＝0，然后利用根的判别式求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：； （2）解：当x＝6cm时，＝8cm， ∴菱形对角线的一半为3cm，4cm， ∴菱形的边长＝cm； （3）解：小杭的说法不正确， 理由：若x+y＝13， 则， 整理得：x2﹣13x+48＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣23＜0， ∴一元二次方程x2﹣13x+48＝0无实数解， ∴小杭的说法不正确． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．250 B．200 C．100 D．50 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B． 题型03根据反比例或反比例函数概念求函数解析式 【典例1】已知y与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【答案】（1）；（2）y=16；（3）x=． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设，将x、y值代入求解k即可； （2）将x=1.5代入（1）中解析式求解即可； （3）将y=6代入（1）中解析式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，设y关于x的函数解析式， 将，代入，得：， 解得：k=36， ∴y关于x的函数解析式为； （2）当时，； （3）当y=6时，由得：，解得：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、平方根，掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，并会将已知量代入函数解析式求出未知量的值是解答的关键． 【变式】已知，与x成正比例，与x成反比例，且当时， ；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数和反比例函数的定义设，则，再把两组对应值代入得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n即可． （2）把代入（1）中求得的解析式即可求得． 【详解】（1）解：（1）设， 则， 根据题意得， 解得． 所以y与x的函数表达式为． （2）把代入得，． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 题型04反比例函数图象上点的坐标特征 【典例】已知反比例函数（）的图象经过点． (1)求的值； (2)判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】(1) ； (2) 点不在该反比例函数的图象上． 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）将代入即可求解； （2）计算当时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得； （2）解：， 当时，， ∴点不在该反比例函数的图象上． 【变式】某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_________（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【答案】丙 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲、乙、丙、丁， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知，， ∴、乙、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数， ，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 题型05由反比例函数的解析式判断其性质 【典例】已知反比例函数的图象经过点，下面说法错误的是（     ） A．反比例函数的关系式为 B．点在反比例函数图象上 C．反比例函数的图象在第二、四象限 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为y，正确，不符合题意； B、∵反比例函数的解析式为， ∴当时，y， ∴点在反比例函数图象上，正确，不符合题意； C、∵反比例函数的解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意； D、∵反比例函数的解析式为y， ∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大， ∴当时，y随x增大而增大，原说法错误，符合题意． 【变式】对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 题型06由反比例函数经过的象限求k 【典例】若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（   ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 【变式】若反比例函数的图像经过第一、三象限，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ 反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：． 题型07由反比例函数的增减性求k 【典例】若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 【变式】如果反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，那么a的取值范围是（   ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质，k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小，建立不等式，求解即可． 【详解】∵反比例函数（a是常数）的图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小， ∴a-2＞0， 解得a＞2， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟记k＞0时，图象所在的每一个象限内，y随x增大而减小是解题的关键． 题型08由反比例函数的性质比较大小 【典例】点在反比例函数图象上，且，则大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先判断的符号，再确定两个点所在象限，结合函数增减性即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴，即， ∴点和都在第二象限， 又∵， ∴． 【变式】已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 题型09由反比例函数的图象求k 【典例】一次函数经过第一、二、三象限，则函数的图像大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数经过的象限确定 、 的符号，进而确定反比例函数型的图像分布区域； 【详解】解：一次函数 的图像经过第一、二、三象限， ，， 函数的图像经过第一、三象限，且无限接近轴， 函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，其无限接近直线，排除B、C选项； 当时，，当时，，排除D选项；A选项符合题意． 【变式】已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 【答案】C 【分析】延长交y轴于E，则轴，推出四边形和四边形都是矩形，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：延长交y轴于E，则轴，如图： ∵四边形为矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵点A在双曲线上， ∴矩形的面积为4， ∵点B在双曲线上，且轴， ∴矩形的面积为12， ∴矩形的面积为． 题型10由反比例函数k的几何意义求面积 【典例】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 【变式】5．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个反比例函数y和y在第二象限内的图象依次为C1，C2．已知点P在C1上，点A，B在C2上，且PA⊥x轴，PB⊥y轴，则四边形OAPB的面积为　4　 ． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴且点A和点B在反比例函数y的图象上， ∴S△AOM＝S△BON＝1． 又∵点P在反比例函数y的图象上， ∴S矩形PMON＝6， ∴四边形OAPB的面积为：6﹣1×2＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象及反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 题型11由图形面积求k 【典例】如图，已知A、B是函数图象上的两点，点B位于点A的左侧，，均垂直于x轴，垂足为点M、N，连接，交于点．若，四边形的面积为3，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先设点坐标为，用、表示出的面积，再根据四边形的面积列方程求得的值便可． 【详解】解：设点坐标为，则，，， ， ， ， 轴于， ， 四边形的面积为3， ， 解得． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 题型12 反比例函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 【变式】直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 题型13 反比例函数的对称性 【典例】（2026•盘州市模拟）如图，正方形的中心在平面直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（4m，m）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于32，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】首先求出A（4m，m），然后由对称性得到（4m）2＝32，求出m2＝2，然后将P（4m，m）代入求解即可． 【解答】解：如图， 由条件可知A（4m，m）， ∵正方形和反比例函数图象都关于原点对称， ∴图中阴影部分的面积等于正方形AEOF的面积， ∴（4m）2＝32， ∴m2＝2， 将P（4m，m）代入得，， ∴k＝4m2＝8． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 【变式】（2025•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【分析】根据新运算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形． 【解答】解：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B， ∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2， ∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 1．反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 2．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．若点，都在图象上，且，则 C．图象位于第二、四象限 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】求反比例函数值、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【详解】解：将代入函数得：， ∴这个函数的图象经过点，不经过点，则选项A错误； ∵反比例函数中的， ∴图象位于第一、三象限；则选项C错误； 在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减小，选项D正确； 若，或，则；若，则，则选项B错误． 6．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 7．如果反比例函数的图象经过点与，那么_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴点A，B在第一象限，且， ∴． 8．在平面直角坐标系中，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形的面积为______． 【答案】6 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求出四边形的面积． 【详解】解：因为点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、， 所以矩形的面积． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】连接，根据平行线间的距离相等，可得与同底等高，面积相等，利用反比例函数的几何意义求出的值，结合图象所在象限确定的符号，即可得出解析式． 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式为， 轴，轴轴， 轴， 的面积的面积， 又的面积， ， ， 又反比例函数的图象的一支位于第二象限， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 10．如图是反比例函数的图象，请写出一个符合要求的整数k的值：___________． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】求反比例函数解析式、根据反比例函数的定义求参数 【详解】解：由反比例函数的图象，可知， ∴整数k可取4．（答案不唯一） 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、坐标系中的平移 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 12．在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 13．对于反比例函数，当，且时，自变量x的取值范围是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】由反比例函数值求自变量、判断反比例函数的增减性 【分析】结合反比例函数的图象与性质，分和两种情况讨论自变量的取值范围. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小. 当时，对应第一象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. 当时，对应第三象限的图象， 当时，， ∵随增大而减小， ∴. ∴的取值范围是或. 14．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】连接，，设交轴于点，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到 ，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到， ，进而求解即可． 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 15．已知反比例函数，当时，的最大整数值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数值、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的值判断时的增减性，结合的取值范围求出的取值范围，即可得到最大整数值． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，；当时，， ∴， ∴的最大整数值为． 16．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、求反比例函数解析式 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 17．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、因式分解的应用 【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可． 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 19．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【知识点】反比例函数与几何综合、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 20．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】设点的横坐标为，根据轴可知点、的横坐标也为，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合推出，建立等式化简即可求解． 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 21．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴． 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、反比例函数与几何综合、二次根式的混合运算、根据正方形的性质求线段长 【分析】过作轴于点，过作于点，通过证明，得到，，根据点均在反比例函数的图象上，得到点，，代入，解得，代入即可得到答案． 【详解】解：过作轴于点，过作于点，则， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， 正方形的顶点，均在反比例函数的图象上， ， ， ， 解得（负值不合题意，已舍去）， ． 23．在如图所示的某函数图象上可以找到个不同的点：，，…，，使得，则的最大值为（     ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、由反比例函数值求自变量、点坐标规律探索 【分析】由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上，再结合反比例函数图象的性质，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解：由得点，，…，，都在同一个反比例函数的图象上， 当反比例函数图象位于第一、三象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； 当反比例函数图象位于第二、四象限时，反比例函数图象与此函数的图象最多有个交点； ∵， ∴的最大值为． 24．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、用勾股定理解三角形 【分析】设，，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． 25．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象在第一、三象限，且关于x的一元二次方程有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是_________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象位置得出的初步范围，再结合一元二次方程有实数根的条件得到的完整取值范围，找出所有符合条件的整数求和即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数不能为，且根的判别式大于等于 即，得， ， 解得， 综上可得的取值范围是，且， ∴满足条件的整数为， 所有满足条件的整数的值之和为． 26．如图，正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，，过点，分别向轴、轴作垂线，两垂线交于点，则的面积为_______． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】设点，，利用正比例函数和反比例函数的性质得到坐标之间的倍数关系，确定点C的坐标，进而表示出的直角边长，利用三角形面积公式进行解答即可． 【详解】解：设点，， ∵正比例函数的图象与反比例函数，的图象分别交于点，， ∴且， ∴， ∴， ∵点在第一象限，点在第二象限， ∴ ∴， 同理， ∵轴，轴， ∴， ∴， ， ∴ ． 27．在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于，两点，则的面积是________（用含，的代数式表示） 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据题意得出，，从而求解． 【详解】解：如图：点为与轴的交点， 则，， ∵，， 故，， ∴的面积． 28．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】求一次函数自变量或函数值、求直线围成的图形面积、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； （3）解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $