专题08 二次函数与实际问题13大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题08 二次函数与实际问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  投球问题 题型二  拱桥问题 题型三  拱门问题 题型四  喷水问题 题型五  隧道问题 题型六  跳跃问题 题型七  销售问题 题型八  几何图形问题 题型九  几何图形动态问题 题型十  表格问题 题型十一  新情境问题 题型十二  实物抽象出二次函数模型 题型十三   跨学科问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 投球问题 能把投球轨迹抽象成二次函数模型，求解运动过程中的高度、水平距离等物理量 经典应用题，期中解答题常考，易错：忽略自变量实际取值范围 拱桥问题 会建立平面直角坐标系，将拱桥轮廓转化为抛物线，求解拱高、桥宽等参数 高频模型题，难点：恰当建立坐标系，准确提取图像数据 拱门问题 利用抛物线模型，计算拱门通行高度与宽度，判断物体能否正常通过 中档应用题，优先选用顶点式求解，计算错误是常见丢分原因 喷水问题 建立二次函数模型，求解水流的最大高度、水平喷射最远距离 生活场景类抛物线模型，重点考查顶点最值的应用 隧道问题 抽象隧道截面抛物线，分析车辆通行的高度、宽度限制条件 期中解答高频题型，必须结合实际意义检验方程解是否合理 跳跃问题 将物体跳跃轨迹转化为二次函数，求最大高度、落点水平距离 运动类模型，易错：忽略自变量要符合实际，不能取负数 销售问题 构建二次函数表示利润，求解最大利润，分析售价变化对利润的影响 期中重难点解答必考题型，易错：忽略售价、销量对应的自变量取值限制 几何图形问题 结合矩形、三角形等静态几何图形，列出面积类二次函数并求最值 几何代数综合，核心是借助几何性质列出函数关系式 几何图形动态问题 分析动点背景下几何图形的边长、面积变化，建立二次函数求解最值 拔高综合题型，需要同时掌握动点分析与函数建模，难度偏大 表格问题 读取表格数据，识别二次函数关系，求出解析式并完成相关计算 数据探究类题型，难点：从多组数据中判断函数类型 新情境问题 读懂陌生实际背景，提取数量关系，建立二次函数模型求解 期中创新题型，侧重考查文字材料信息提取能力 实物抽象出二次函数模型 从现实实物中抽象抛物线，自主建系、设解析式并完成计算 综合能力考查，对数学建模能力要求较高 跨学科问题 结合物理等学科背景，提取条件，建立二次函数模型解决跨学科综合问题 期中压轴类新题型，需要跨学科知识融合，信息量大 知识点01 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 投球问题 【典例1】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【变式1】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【变式3】（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 题型二 拱桥问题 解｜题｜技｜巧 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即．主桥长为，缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点M相距处的吊杆长为．请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【变式2】（2026·广西玉林·三模）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 【变式3】（2026·山西晋中·二模）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． 题型三 拱门问题 【典例3】（2024·陕西榆林·二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． (1)求出图中抛物线的函数解析式； (2)从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图1是某校的拱形大门截面示意图，图2是该拱形大门的部分正面示意图，已知拱门跨度为12米，拱门最高点与地面的高度差为4米，因举办活动，需在拱门上方悬挂气球，计划在拱门两端和顶部的上方设计3根竖直支柱，，，相邻两根支柱之间悬挂气球，已知米，米，装饰气球的形状呈抛物线型，且左右两条灯带所在抛物线关于轴对称；以为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱形部分所在抛物线的函数表达式； (2)想在气球下方悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点和处（横幅宽度不计），求横幅的长度． 【变式3】（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 题型四 喷水问题 【典例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【变式2】（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 题型五 隧道问题 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【变式3】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）． 题型六 跳跃问题 【典例6】（25-26九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境：海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”．如图①所示为海洋馆中海豚从水面跳出的一个瞬间．如图②所示，以海豚的出水点为原点，以水面为轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度(单位：米)与水平距离(单位：米)近似满足二次函数关系． 解决问题： (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/米 竖直高度米 根据表中数据，直接写出的值为___________，的值为___________． (2)在（1）的条件下，海豚在向上跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过．已知呼啦圈的圆心与水面的距离为米，求呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·湖北·期末）大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． (1)求该抛物线的解析式； (2)绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； (3)小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务， 动物园小狗跨栏安全评估 素材一 在动物园的宠物表演环节，小狗要跨越连续的障碍栏架．已知小狗跳跃时，高度y（单位：米）与距起跳点的水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，小狗从起跳点起跳，当水平距离为0.5米时，高度达到0.8米；当水平距离为2.5米时，高度再次回到0.8米． 素材二 保障安全条件：动物园的障碍栏架高度为0.9米，小狗跨越栏架时竖直方向上与栏架最高点至少保留0.1米的安全距离 问题解决 任务一 确定小狗跳跃形状 请以合适的位置为原点，建立平面直角坐标系，根据上述信息求出小狗跳跃高度y关于x的函数关系式；    任务二 判断是否成功跨越 若某障碍栏架底部中心位于小狗起跳点水平右侧2米．请计算小狗能否在保障安全条件下成功跨越此栏架，并说明理由；    任务三 计算最多跨越障碍栏架数 为了提高观赏性，需要调整第一个栏架底部中心与小狗起跳点的水平距离，使得小狗一次性可以跨越更多栏架，若相邻栏架底部的水平间距为0.5米，通过计算说明小狗在保障安全条件下一次性最多可以成功跨越几个栏架．（可能用到的参考数据：）    题型七 销售问题 解｜题｜技｜巧 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例7】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）春节临近，由于我县执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨（，且x是整数）元． (1)这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为________个； (2)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (3)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 题型八 几何图形问题 易｜错｜点｜拨 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例8】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)山羊的活动范围的面积能否达到35平方米？ (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【变式3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 题型九 几何图形动态问题 解｜题｜技｜巧 解决动态问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的二次函数模型同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法. 【典例9】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为____（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当时，求t的值． (4)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【变式1】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接、，设运动时间为． (1)直接写出线段__________； (2)求的面积关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)当的面积时，直接写出的值． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 题型十 表格问题 【典例10】（2026·广东·二模）综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到点处开始，用相关仪器测量并记录小球在水平木板上的运动时间（单位：），运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示y与t的函数关系． (1)观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与t的函数关系式为 请求出该关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到 点处的同时，在其右侧 处的水平木板上有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系． 【问题解决】 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 n 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网； 【综合应用】 （2）根据表格数据，求出二次函数的解析式； （3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 (1)填空： ________， _______； (2)根据表格，请确定抛物线的函数表达式； (3)已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 题型十一 新情境问题 【典例11】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【变式1】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【变式2】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【变式3】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 题型十二 实物抽象出二次函数模型 【典例12】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【变式1】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【变式2】（25-26九年级上·广东潮州·期末）景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动． 【收集素材】 素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗． 素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深． 【问题提出】 问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ 【方案设计】 步骤 方案设计 步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式． 步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律． 【问题解决】 (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式； (2)当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制6条平行的地面标志线，每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为0．米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外侧移动米(在所在直线上)，此时两个水柱(水柱形状不变)的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯(在所在直线上左右对称安装)，每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米(左右相同)，射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小距离为米，求，的值． 题型十三 跨学科问题 【典例13】（2026·江苏连云港·二模）数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【变式1】（2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题）在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 7.5 30 67.5 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 【变式2】（2026·广西柳州·二模）【综合与实践】一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间（s）的关系为． 方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： （s） 1 2 3 （cm） 10 20 30 （cm）    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度________，重力加速度________； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【变式3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）某网店销售一种成本为元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：______件． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，当销售定价为多少元时，每日销售利润最大？求出最大利润． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种玻璃水杯如图①所示，其截面的左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为多少? 3．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 4．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 5．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 2．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 3．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 4．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 二次函数与实际问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一  投球问题 题型二  拱桥问题 题型三  拱门问题 题型四  喷水问题 题型五  隧道问题 题型六  跳跃问题 题型七  销售问题 题型八  几何图形问题 题型九  几何图形动态问题 题型十  表格问题 题型十一  新情境问题 题型十二  实物抽象出二次函数模型 题型十三   跨学科问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 投球问题 能把投球轨迹抽象成二次函数模型，求解运动过程中的高度、水平距离等物理量 经典应用题，期中解答题常考，易错：忽略自变量实际取值范围 拱桥问题 会建立平面直角坐标系，将拱桥轮廓转化为抛物线，求解拱高、桥宽等参数 高频模型题，难点：恰当建立坐标系，准确提取图像数据 拱门问题 利用抛物线模型，计算拱门通行高度与宽度，判断物体能否正常通过 中档应用题，优先选用顶点式求解，计算错误是常见丢分原因 喷水问题 建立二次函数模型，求解水流的最大高度、水平喷射最远距离 生活场景类抛物线模型，重点考查顶点最值的应用 隧道问题 抽象隧道截面抛物线，分析车辆通行的高度、宽度限制条件 期中解答高频题型，必须结合实际意义检验方程解是否合理 跳跃问题 将物体跳跃轨迹转化为二次函数，求最大高度、落点水平距离 运动类模型，易错：忽略自变量要符合实际，不能取负数 销售问题 构建二次函数表示利润，求解最大利润，分析售价变化对利润的影响 期中重难点解答必考题型，易错：忽略售价、销量对应的自变量取值限制 几何图形问题 结合矩形、三角形等静态几何图形，列出面积类二次函数并求最值 几何代数综合，核心是借助几何性质列出函数关系式 几何图形动态问题 分析动点背景下几何图形的边长、面积变化，建立二次函数求解最值 拔高综合题型，需要同时掌握动点分析与函数建模，难度偏大 表格问题 读取表格数据，识别二次函数关系，求出解析式并完成相关计算 数据探究类题型，难点：从多组数据中判断函数类型 新情境问题 读懂陌生实际背景，提取数量关系，建立二次函数模型求解 期中创新题型，侧重考查文字材料信息提取能力 实物抽象出二次函数模型 从现实实物中抽象抛物线，自主建系、设解析式并完成计算 综合能力考查，对数学建模能力要求较高 跨学科问题 结合物理等学科背景，提取条件，建立二次函数模型解决跨学科综合问题 期中压轴类新题型，需要跨学科知识融合，信息量大 知识点01 二次函数与实际问题 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图像和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 题型一 投球问题 【典例1】（26-27九年级上·陕西榆林·阶段检测）小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)假设小强在练习实心球时，他的正前方距离原点米的点处放置有一个米高的警示牌（与轴垂直），问实心球是否会砸到警示牌，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为． (2)实心球会砸到警示牌，理由详见解析． 【分析】（1）先根据顶点的坐标设抛物线的顶点式，再代入求得抛物线解析式．（2）警示牌在距离原点米的位置，计算对应横坐标时的纵坐标，与米比较后判断实心球是否会砸到警示牌． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的解析式为，其中， 将代入得 ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ， 实心球会砸到警示牌． 【变式1】（26-27九年级上·河北唐山·阶段检测）踢足球是同学们喜爱的一项运动．如图，甲同学站在球门正前方的点处练习射门，他离球门的距离；身高的乙同学站在球门前的点处充当守门员，且他只做上下起跳防守，最大起跳高度为；点，，在一条直线上，，足球球门高度为，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，足球飞行路线可看成抛物线的一部分． (1)甲射门时，球离点的水平距离与离地高度的部分数据如下表所示，求关于的函数解析式； 0 5 10 15 16 … 0 3 4 3 2．56 … (2)在（1）的条件下，若乙防守，通过计算判断甲的这次射门能否成功； (3)甲改变射门的角度再次射门，使球的最大高度发生改变，但保持球达到最大高度时与点的水平距离不变，若在乙防守的前提下甲这次射门能成功，求的取值范围． 【答案】(1) (2)解：乙防守时甲这次射门不成功，判断如下： ∵，， ∴， ∵乙防守， ∴乙可达最高为， 当时， ， ∴乙防守时甲这次射门不成功； (3) 【分析】（1）先求出顶点坐标，再利用待定系数法即可求出答案； （2）先求出乙可达的最大高度，再求出当时的函数值，比较后即可得到结论； （3）依题意得，求出，由时，，由时，，分别求出的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时，y的值相等， ∴对称轴为， ∴顶点为， ∴； 将代入得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：依题意得，且经过， ∴ 解得， ∴， 当时，足球要超过乙跳起来的最大高度，即， ∴ 解得； 当时，足球要低于门框的最大高度，即， ∴ 得， ∴． 【变式2】（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 (2) (3) 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 【变式3】（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 题型二 拱桥问题 解｜题｜技｜巧 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【典例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即．主桥长为，缆索最低处的吊杆长为，桥面上与点M相距处的吊杆长为．请建立适当的平面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度． 【答案】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到N，Q点坐标，求出抛物线解析式，利用C点坐标，求出长即可． 【详解】解：以M点为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 根据题意可知，，，， 设抛物线解析式为， 点，在抛物线上， 解得 抛物线解析式为， ，， ， 当时，， ， 答：索塔在桥面以上部分的高度为． 【变式1】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 【变式2】（2026·广西玉林·三模）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．      素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．    素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．    问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． (1)确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； (2)确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； (3)拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 【答案】(1) (2) (3)共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是 【分析】（1）由题意易得桥拱最高点的坐标为，，则有，设抛物线的解析式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （3）由题意易知矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）：①：②；③；④；⑤；⑥，然后根据拱桥的最高点到的距离为进行分类求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：桥拱最高点的坐标为，， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 令，则有， ∴桥墩的高度； （3）解：∵矩形广告牌的面积为且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在上）： ①：②；③；④；⑤；⑥， ∵拱桥的最高点到的距离为， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑤： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当时，， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为， ∵， ∴方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是； 方案二：矩形广告牌的长为，宽为，点的坐标是，因为点与点关于对称轴对称，所以点的坐标是． 【变式3】（2026·山西晋中·二模）综合与实践 【问题情境】 小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题． 【建立模型】 整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距． 如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式； 【问题解决】 (2)将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部． ①求线段的长； ②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标． 【答案】(1) (2)①线段的长为；②， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①先求出抛物线的解析式为：，然后求出，，再求出的长度即可； ②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧，然后根据函数解析式得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为：， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， ∴抛物线的解析式为： ， 把代入得：， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴，， ∴； ②把代入得：， ∵， ∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧， ∴， 解得：，， 把代入得：， 把代入得：， ∴，． 题型三 拱门问题 【典例3】（2024·陕西榆林·二模）某校为举办毕业典礼，搭建了一个近似于抛物线形的毕业拱门，该拱门的示意图如图所示，是垂直于水平地面的柱子，拱门的另一端在水平地面上的点处，拱门到水平；地面的高度与到柱子的水平距离满足函数关系式（，为常数，），已知，． (1)求出图中抛物线的函数解析式； (2)从柱子上的点处拉一条横幅到拱门的点处，，若，小华的身高是，请问拉上横幅后小华不弯腰是否能通过该拱门？说明理由． 【答案】(1) (2) 能通过该拱门， 理由：设，则， ，， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 拉上横幅后小华不弯腰能通过该拱门的． 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中得应用，要吃透题意，建立函数模型，结合实际得出结果． （1）由题意可得，抛物线过点和，根据待定系数法即可求出结果． （2）设，则，根据即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线过点和， 把上述两点坐标代入函数表达式得：， 解得：， 函数表达式为：． （2）略 【变式1】（2025九年级上·全国·专题练习）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求设计出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较、的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得，， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中， 令得：； 解得或， ， ， ， ． 【变式2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图1是某校的拱形大门截面示意图，图2是该拱形大门的部分正面示意图，已知拱门跨度为12米，拱门最高点与地面的高度差为4米，因举办活动，需在拱门上方悬挂气球，计划在拱门两端和顶部的上方设计3根竖直支柱，，，相邻两根支柱之间悬挂气球，已知米，米，装饰气球的形状呈抛物线型，且左右两条灯带所在抛物线关于轴对称；以为原点，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求拱形部分所在抛物线的函数表达式； (2)想在气球下方悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点和处（横幅宽度不计），求横幅的长度． 【答案】(1) (2)6米 【分析】（1）设抛物线的解析式分别是，根据求得a值即可； （2）根据题意，求得，，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 设抛物线的解析式分别是，把，代入，得：， 解得， ； （2）解：由题意，， ，， ，， ，，， ，是左侧抛物线上的一对对称点，，是右侧抛物线上的一对对称点， 两个抛物线的对称轴是，， 根据两条灯带的最低点和处（横幅宽度不计）， ，， ． 【变式3】（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． （2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 题型四 喷水问题 【典例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）射水鱼以陆生昆虫为食．它在捕食时，能从口中射出一股水流，准确击中以内的昆虫．如果不考虑空气阻力，那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分（如图）．在一次捕食时，射水鱼射出的水珠运动的高度y（单位：）与向前运动的水平距离x（单位：）之间的关系可以近似地表示为．根据这一关系回答下列问题： (1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物，那么当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步上升？当水珠向前运动的水平距离在什么范围时，它运动的高度逐步下降？水珠运动的最大高度是多少？ (2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离、高度处，那么这次射出的水流能否击中这只昆虫？ 【答案】(1)当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； (2)这次射出的水流不能击中这只昆虫 【分析】（1）根据函数解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向下，进而可得在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小，即可求解； （2）将代入得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，，过原点， 在对称轴的左侧，即时，随的增大而增大，在对称轴的右侧即时，随的增大而减小， ∴当时，它运动的高度逐步上升；当时，它运动的高度逐步下降；水珠运动的最大高度是； （2）解：当时，， ∴这次射出的水流不能击中这只昆虫． 【变式1】（25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 【变式2】（2026·山西长治·三模）综合与实践 问题情境 喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究． 资料收集 实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流： 小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度（水流喷水孔点O与落地点M之间的水平距离）为，最高点距地面． 小亮：图2是乙组喷泉水柱形状的示意图，为喷水管，点A为喷水孔，此时B为水的落地点，记的长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为． 小颖：图3是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道在线段上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入上方的安全区域矩形内． 数学建模 如图3，以甲组喷泉喷水孔点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O竖直向上为y轴的正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决 (1)求图3中甲组喷泉抛物线的函数表达式； (2)若乙组喷泉跨度恰好为，求喷水管的高度； (3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为，求此时安全通道的宽度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令求解即可； （3）对于两组抛物线，分别令求出值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为， 故设抛物线表达式为 代入可得，， 解得 ∴抛物线表达式为 （2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为， 故设抛物线的表达式为， 代入可得， 解得或（舍去） ∴抛物线的表达式为 当时， ∴喷水管的高度为 （3）解：由题意得， 对于，当时，则， 解得； 对于，当时，则， 解得， ∴安全通道的宽度为． 【变式3】（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 题型五 隧道问题 【典例5】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽米，矩形部分高米，抛物线的最高点离地面米，按如图建立以所在直线为轴，所在直线为轴的直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)该隧道内设双车道，现有一辆货运卡车高米、宽米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？请说明理由． (3)在（）的条件下，若将隧道横截面的“抛物线”部分看成“圆弧”，为弧的中点，其余条件均不变，此时，卡车还能顺利通过吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 当时，， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道； (3) 解：这辆货运卡车能顺利通过隧道，理由如下： 如图，设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，连接， ∵为弧的中点， ∴，， 又由题意可得，， ∴， ∵， ， 解得， ∴， ，， ， ∴这辆货运卡车能顺利通过隧道． 【分析】（）设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出，与卡车高比较即可判断求解； （）设圆弧所在圆的圆心为点，则点在上，连接，在圆上取点，作于点，使得，设与相交于点，圆弧所在圆的半径为，利用勾股定理求得r的长，进而求出和的长度，得到的长度，再与卡车高比较即可判断求解； 本题考查了二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， 由题意得，点坐标为，点的坐标为， ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）略 （3）略 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图1是某海底世界时空隧道的截面图，图2是它的示意图，隧道截面可近似看作抛物线和长方形构成．长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点，建立如图2平面直角坐标系．设抛物线解析式为，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)为保障观赏效果，定期对玻璃隧道进行清洁，工人师傅搭建一木板，点正好在对称轴右边的抛物线上，在木板的中点处设立米的支撑杆，且，求出木板所在直线的解析式； (3)在（2）的条件下，工人师傅可以站在木板上进行清洁，他能刷到的最大高度是站立位置上方铅直高度米处．若工人师傅从点沿木板向上走2米，在此过程中，他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是___________米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设，根据的中点，得到， 由，且米，得到，确定t的值，确定G的坐标，待定系数法求解析式即可； （3）过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q，根据题意，得，故，确定工人工作时站立的横坐标范围是；过点Q作，设的解析式为，根据题意，得， 解得，故直线与抛物线有两个交点，故点P在抛物线上，解答即可． 本题考查了待定系数法，中点坐标公式，解方程，求不等式的解集，抛物线的性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：长方形的长是5米，宽是1米，小磊以为原点， 设抛物线解析式为，抛物线经过点， 故即， 又长方形的长是5米，宽是1米， 故抛物线经过，， 故即， 解得，， 故抛物线的解析式为． （2）解：点G是对称轴右侧抛物线上一点， 不妨设， 又的中点为点， 故， 由，且米， 故， 整理，得， 解得， 又的对称轴是直线， 故舍去， 故， 故， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为． （3）解：过点M作轴，垂足为点E，交抛物线于点Q， 根据题意，得， 当时，， 故， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 故工人工作时站立的横坐标范围是； 过点Q作， 设的解析式为， 根据题意，得， 整理，得, 解得， 故直线与抛物线有两个交点， 故点P在抛物线上， 故时，，， 故， 过点P作轴，垂足为点F，交直线于点H， 此时，,符合题意， 此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 当时，此时他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）大于米，不符合题意． 故他能刷到正上方拋物线玻璃隧道的高度（米）范围是米． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段检测）高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，得点E与的距离为米，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． ∴米，顶点P的纵坐标为6， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得点E与的距离为米， 当时， ， 解得，（舍去）， 故点E与隧道左壁之间的距离为米． 【变式3】（23-24九年级上·贵州安顺·期末）按要求解答 (1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ (2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基，宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶，高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：）． 【答案】(1)原计划每天修20米 (2)①； ②人行道宽度设计达标，理由如下： ∵车的宽度为4米，车从正中通过， 如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3， 令，则有：， 解得：（舍弃负值）， ∴人行道台阶的宽度为：， ∴人行道宽度设计达标． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键． （1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答． 【详解】（1）解：设原计划每天修x米， 则根据题意可得：， 解得：（舍去，不符合实际）或， 经检验，是分式方程的解． 答：原计划每天修20米； （2）解：①根据题意可得：， 设抛物线的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为， ②略 题型六 跳跃问题 【典例6】（25-26九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境：海豚是一种聪明、情感丰富、拥有非凡水下感知能力的海洋哺乳动物，它们被称为海洋中的“微笑天使”．如图①所示为海洋馆中海豚从水面跳出的一个瞬间．如图②所示，以海豚的出水点为原点，以水面为轴，建立平面直角坐标系．如果一只海豚的跳跃轨迹可以看作抛物线的一部分，从跳出水面到入水的过程中，海豚的竖直高度(单位：米)与水平距离(单位：米)近似满足二次函数关系． 解决问题： (1)第一次跳跃时，海豚的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离/米 竖直高度米 根据表中数据，直接写出的值为___________，的值为___________． (2)在（1）的条件下，海豚在向上跳跃时，需要钻过圆形呼啦圈，且海豚在钻圈时，恰好从呼啦圈的圆心通过．已知呼啦圈的圆心与水面的距离为米，求呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离． 【答案】(1)，； (2)呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米． 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）由表中数据可知和对称，故对称轴为直线，得出顶点坐标为，并且推出和对称，故，再把顶点坐标，点代入解析式即可求出； （2）当时，，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：∵由表中数据可知和对称， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标为， ∵由表格数据可知和到对称轴的距离相等， ∴和对称，故； 把顶点坐标，点代入 得， 解得． 故答案为：3，； （2）第一次跳跃时的函数解析式为 当时，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴呼啦圈的圆心与海豚出水点的水平距离为米． 【变式1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）野兔善于奔跑跳跃，野兔跳跃时的空中运动路线可以近似看作如图所示的抛物线的一部分，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据： 水平距离x/ 0 1 2 竖直高度y/ 0 0 (1)根据上述数据，求抛物线的表达式； (2)若在野兔起跳点（原点O）前方处有一个高为的篱笆，则野兔此次跳跃能否跃过篱笆？请说明理由． 【答案】(1)； (2)野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）代入计算出函数值，比较即可判断． 【详解】（1）解：由题意可知，当和时，， ∴对称轴为直线， 由表格知，抛物线经过， 设野兔某次跳跃的抛物线为， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， ∵， ∴野兔此次跳跃不能跃过篱笆． 【变式2】（24-25九年级上·湖北·期末）大课间30分钟，同学们兴高采烈地参加跳绳活动，跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点刚好落在轴上．设此抛物线的解析式为．不考虑跳跃带来的头部高度变化． (1)求该抛物线的解析式； (2)绳子甩到最高处时，最高点与地面的距离是多少米？如果身高为1.75米的张老师也想跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由； (3)小丽同学的身高为1.4米，她参加跳绳时，绳子甩到最高处时必须超过她的头顶．如果小丽同学在地面的位置离点的距离为米，请结合图象，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)1.8米； 当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过，理由： 配方，， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 当时， ， 解得，或， ∵绳子顺利越过头顶， ∴， 故当张老师距O点超过米且不足米跳绳时，绳子能顺利从他头顶越过； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数应用——跳绳问题．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式，是解题的关键． （1）把代入，解方程即得； （2），可知y最大值为，当时，求出x的值，即可得到绳子顺利越过张老师头顶的位置； （3）根据小丽同学头顶位置为，得，即为m的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵小丽同学所在的位置头顶E为， ∴， 解得或， ∵绳子甩到最高处时必须超过她的头顶E． ∴． 【变式3】（25-26九年级上·福建福州·期中）根据以下素材，探索完成任务， 动物园小狗跨栏安全评估 素材一 在动物园的宠物表演环节，小狗要跨越连续的障碍栏架．已知小狗跳跃时，高度y（单位：米）与距起跳点的水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，小狗从起跳点起跳，当水平距离为0.5米时，高度达到0.8米；当水平距离为2.5米时，高度再次回到0.8米． 素材二 保障安全条件：动物园的障碍栏架高度为0.9米，小狗跨越栏架时竖直方向上与栏架最高点至少保留0.1米的安全距离 问题解决 任务一 确定小狗跳跃形状 请以合适的位置为原点，建立平面直角坐标系，根据上述信息求出小狗跳跃高度y关于x的函数关系式；    任务二 判断是否成功跨越 若某障碍栏架底部中心位于小狗起跳点水平右侧2米．请计算小狗能否在保障安全条件下成功跨越此栏架，并说明理由；    任务三 计算最多跨越障碍栏架数 为了提高观赏性，需要调整第一个栏架底部中心与小狗起跳点的水平距离，使得小狗一次性可以跨越更多栏架，若相邻栏架底部的水平间距为0.5米，通过计算说明小狗在保障安全条件下一次性最多可以成功跨越几个栏架．（可能用到的参考数据：）    【答案】任务一：以起跳点为原点，建立坐标系，； 任务二：小狗能在保障安全条件下成功跨越此栏架， 理由：由任务一得：， ∵当时，， ∴小狗能在保障安全条件下成功跨越此栏架． 任务三：最多可以成功跨越4个栏架 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及二次函数的实际应用． 任务一：先建立坐标系，以起跳点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，再求出对称轴并设立函数解析式，最后将点代入求得参数即可； 任务二：先将x的值代入解析式中，求得y的值，再将算出的y值与高度进行比较即可，若y值大于高度，则能成功跨越，反之则不能； 任务三：先求得时x的值，再求出两个x值的差的绝对值，得到小狗能跨越的水平距离，最后用水平距离除以相邻拦架底部的水平间距0.5米，根据结果确定最多跨越的拦架数即可． 【详解】解：任务一：以起跳点为原点，建立坐标系， 依题意可得：该二次函数的对称轴为直线， ∴可设该二次函数解析式为：， 依题意可知：，在该二次函数的图象上， ∴，解得：， ∴该二次函数解析式为：． 任务二：略； 任务三：由任务一得：， ∵当时，， 解得：，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴最多可以成功跨越4个栏架． 题型七 销售问题 解｜题｜技｜巧 利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 【典例7】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）春节临近，由于我县执行严禁燃放烟花爆竹令，某商店抓住商机，经销一种安全、环保的电子鞭炮，进价为每个30元的电子鞭炮以每个40元的价格售出，平均每天能售出50个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，设该商场决定把售价上涨（，且x是整数）元． (1)这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为________个； (2)为了获得平均每天800元的利润，这款电子鞭炮每个的售价应定为多少元？ (3)这款电子鞭炮每个的售价定为多少元时，该商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，并求最大利润？ 【答案】(1) (2)售价应定为50元 (3)当售价定为60元时，商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元 【分析】（1）利用该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个，即可求解； （2）单个利润为，根据“总利润单个利润销售量”列出方程求解，并结合，即可求解； （3）设每天利润为y元，则可列出利润的函数解析式为，结合，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵该款电子鞭炮每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其每天销售量就减少1个， ∴这款电子鞭炮每个的售价上涨x元时，每天销售量为个； （2）解：单个利润：， 由题意，得， 解得：，， ， ， 即售价定为：元． 答：这款电子鞭炮每个的售价应定为50元． （3）解：设每天利润为y元， 由题意得， ∵，， ∴当时，函数值有最大值：（元）， 此时售价为（元）． 答：当售价定为60元时，商场每天销售这款电子鞭炮获得的利润最大，最大利润为900元． 【变式2】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为8万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是，其中x是正整数．当时，；当时，． (1) __________； __________； (2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式． ①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当时，若有且只有5个生产周期的利润不小于a万元，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)①第15个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元；② 【分析】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． （）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润（售价成本）设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，求出关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【详解】（1）解：把时，；时，代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， ∴的取值范围． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古兴安·阶段检测）某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示： 第x天 1 2 3 4 售价 y（元/个） 30 32 34 36 销量 t/个 100 120 140 160 从第5天开始工厂对外调整价格为28元一个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为（，且x为整数）． (1)写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量． (2)若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少． 【答案】(1)销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500 (2)，第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是找到等量关系求分段函数的解析式． （1）根据表格中数据，用待定系数法求出销量t与第x天满足的关系式，并根据第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系式，由函数性质求出最值； （2）根据单件利润×销售量＝总利润分段列出函数解析式，即可由函数性质得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知，前4天销量t与第x天满足一次函数关系， 设，把代入得： ， 解得， ∴销量t与第x天满足的关系式为； ∵第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系为， ∵， ∴当时，t随x的增大而增大， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， ∴销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为，第5天以后第20天的销量最大，最大值为500； （2）解：设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴y与x的函数解析式为， ①当时，， 当时，W有最大值，最大值为； ②当时，， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴第20天时W的最大值为4000元． ∴W（元）与x的函数关系式为；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元． 题型八 几何图形问题 易｜错｜点｜拨 在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 【典例8】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为的栅栏围住，设边长为，绿化带的面积为．如图，若墙长为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当绿化带的面积为时，求x的值； (3)求绿化带的面积最大时边长． 【答案】(1) (2) (3)绿化带的面积最大时，边长为 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，掌握根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）根据意义可知，根据矩形面积公式，即可列出函数解析式，根据的长不超过墙长，即可得到自变量x的取值范围； （2）将代入（1）中的解析式，解方程，即可求解； （3）把（1）中的函数解析式用配方法化简，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据意义可知， 则． （2）解：令，得， 化简得， 解得，（不合题意舍去）， 当绿化带的面积为时，边长为． （3）解：， ， 函数开口向下， 又， 当时，面积y有最大值． 答：绿化带的面积最大时，边长为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)山羊的活动范围的面积能否达到35平方米？ (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【答案】(1)（） (2)面积能达到35平方米 (3)最大值为平方米 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是正确求出函数解析式和列出一元二次方程． （1）先用表示出，再由长方形面积公式建立函数关系式； （2）令，代入整理得，再解方程即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：长方形对边相等， ， ， . ， ， ， 解得 ， 的取值范围为. 关于的函数表达式为（）； （2）解：令，代入得， 整理得：， 解得或，均在范围内， 面积能达到35平方米； （3）解：二次函数中，， 将，代入得， 将代入函数表达式得， 最大值为平方米． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 如图，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边长，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点E，F在抛物线上，点H，G在抛物线上． 如图，该小组以矩形的顶点A为原点，以边所在的直线为x轴，以边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出B，C，D三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和函数表达式． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，；抛物线的表达式为；抛物线的表达式为 【分析】本题考查二次函数的应用，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式． （1）由矩形的性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，则矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的边长，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于M，交抛物线于N，交矩形于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入，得， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入，得， 解得； 则抛物线的表达式为． 【变式3】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】(1) (2) 函数的图象，如图即为所求； (3) 【分析】（1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴是的垂直平分线， ∵E，F分别是和的中点， ∴， 设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）（）， ∴当时，s取最大值675； 当时，得：， 解得： （3）当时，， 解得或48， 由得，， 解得， ∴当时，筝面的面积超过． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键． 题型九 几何图形动态问题 解｜题｜技｜巧 解决动态问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的二次函数模型同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法. 【典例9】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为____（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当时，求t的值． (4)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3)t的值为2或3 (4)当时，阴影部分的面积最小 【分析】本题考查列代数式，二次函数与实际问题，二次函数的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，再根据求出； （2）根据点运动到点时，两点停止运动得到，根据列出函数解析式； （3）将代入（2）的函数解析式，即可求解； （4）根据（2）的函数解析式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当运动秒时，， ， 故答案为：； （2）解：点从点运动到点，需要时间为， 点从点运动到点，需要时间为， 又∵点运动到点时，两点停止运动， ． ，，，，， ， ， ， 与的函数解析式为； （3）解：当时， 解得； （4）解：， ， 当时，阴影部分的面积最小，为． 【变式1】（25-26九年级上·吉林·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿BC边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：______，______；（用含的代数式表示） (2)求出当为何值时，？ (3)设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围． (4)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3) (4)存在，当或时，使得五边形的面积为矩形面积的 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次函数以及一元二次方程的运用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， 在中，，且， ，整理得，， 解得（舍去），， 当时，； （3）由（2）可知，， ； （4）存在， ∵，， ， 五边形的面积为矩形面积的， ， ， ， 整理得， 解得或， 当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【变式2】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）如图，在矩形中，，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接、，设运动时间为． (1)直接写出线段__________； (2)求的面积关于的函数关系式，并直接写出的取值范围； (3)当的面积时，直接写出的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）直接利用直角三角形的性质可得的长； （2）分或两种情形，分别表示出和的长，进而解决问题． （3）分或两种情形，根据（2）中函数解析式代入求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， 在中，， ∴， 故答案为：8． （2）解：在中，由勾股定理得，， ， ∴点Q的运动时间为秒， 当时，如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图，， ， 综上，． （3）解：∵， 当时，则，无解． 当时，则， 解得：（负值已舍去）． 综上，当的面积时，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以秒的速度移动，同时，点从点出发沿边向点C以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题： (1)运动开始后第几秒时，的面积等于？ (2)设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，s的值最小． (3)计算四边形的面积，并探索一个与计算结果有关的结论． 【答案】(1)秒或秒 (2)，时，的值最小 (3)，结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用及二次函数的应用， （1）设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）设运动时间为，首先表示出的面积，再利用，求出的值以及五边形最值即可； （3）根据表示出四边形面积，求出即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于则： ，， 所以，即， 解得：或， 即经过秒或秒，的面积等于． （2）解：根据（1）中所求出的， 整理得． 则， ∴ 当时，， 故当秒，五边形的面积最小，最小值是， （3）解：， ， ， 结论：四边形的面积是定值，与运动时间无关． 题型十 表格问题 【典例10】（2026·广东·二模）综合与实践 数学兴趣小组在学习了二次函数之后，对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的距离与时间的关系进行了深入探究．该兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【实验过程】 如图1所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动．从小球运动到点处开始，用相关仪器测量并记录小球在水平木板上的运动时间（单位：），运动距离（单位：）的数据． 【收集数据】 记录的相关数据如下： 运动时间 t/s 0 3 6 9 12 15 … 运动距离y/cm 0 27.75 51 69.75 84 93.75 … 【建立模型】 根据表格中的数值在图2的平面直角坐标系中描点、连线；通过观察图象发现，我们可以用二次函数近似的表示y与t的函数关系． (1)观察发现y关于t的二次函数图象经过原点，设y与t的函数关系式为 请求出该关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)若小球运动到 点处的同时，在其右侧 处的水平木板上有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，请研究小球能否追上该电动小车，并说明理由． 【答案】(1) (2)小球不能追上该电动小车，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组数据代入，解方程组即可求得的值； （2）分别表示出小球和电动小车的位置坐标，令两者位置相等，判断方程是否有实数解，若无实数解，则说明两者位置不会重合，小球无法撞上小车． 【详解】（1）解：依题意， ，且函数图象过、两点， 代入得： ， 将第一个方程乘以，得：，与第二个方程相减： ， ，解得， 将代入： ， ， ， ， 因此，函数关系式为： （2）解：设经过秒后，小球与电动小车的位置分别为、， 小球的位置：，   电动小车的位置：初始在处，以向右运动，故， 若小球追上小车，则， 即：， 整理得：， 两边乘以4：， 计算判别式： ， 由于方程无实数解，说明小球与电动小车的位置永远不会重合，因此小球不能追上该电动小车． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究 【问题情境】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间近似满足函数关系． 【问题解决】 比赛中，甲同学连续进行了两次发球． （1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度y/m 1 2.75 4 4.75 5 n 4 根据以上数据，回答下列问题： ①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是________； ②在水平距离5处放置一个高1.55的球网，羽毛球________（填“能”或“不能”）过网； 【综合应用】 （2）根据表格数据，求出二次函数的解析式； （3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为，第二次接球的起跳点的水平距离为，请比较，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；②能 （2） （3）， 理由：当时，有， 解得， 乙同学在函数对称轴右侧， ； 当时，有， 解得， 乙同学在函数对称轴右侧， ； ， ． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求出函数解析式． （1）①利用二次函数的对称性求出其对称轴，即可解题； ②根据图象和二次函数性质推出，再结合题干条件分析，即可解题； （2）由（1）得到的顶点，再选择表格中的一组数据代入解析式求解，即可解题； （3）当时，分别代入（2）、（3）中的解析式中求出和，再进行比较，即可解题． 【详解】解：（1）①由表格可知，当和时，， 二次函数对称轴为直线， 当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是， 故答案为：； ②当时，，当时，， 当时，， ， 羽毛球能过网； 故答案为：能； （2）解：当时，， ， ， 过点， ， 解得， 二次函数的解析式为； （3）略 【变式2】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)该函数为二次函数，； (2)小龙滑完整个赛道需要耗时10秒 (3)能，此时小游的滑雪时间为 【分析】本题考查了描点法画函数图象，二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； （2）根据列方程求解； （3）根据题意列方程求解． 【详解】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为 【变式3】（2026·河南周口·模拟预测）河南浚县“泥咕咕”深受大家的欢迎，将泥咕咕玩具从地面向上抛出，其飞行轨迹可近似的看作抛物线．为了研究运动规律，游戏者记录了泥咕咕飞行高度和飞行时间的几组对应数据如下表： 飞行时间 0 0.5 1 1.5 2 3 3.5 飞行高度 0 1.75 3.75 4 3.75 3 1.75 (1)填空： ________， _______； (2)根据表格，请确定抛物线的函数表达式； (3)已知当泥咕咕高度为时适合拍摄特写，请问泥咕咕被抛出后多长时间时，拍摄效果最佳？ 【答案】(1)， (2) (3)泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳 【分析】（1）根据表中数据求得对称轴为，再利用对称性求解即可； （2）设抛物线的函数表达式为，把代入解析式求解即可； （3）把代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据表中数据，当和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， 解得：， ∵当和时的函数值相等， ∴． （2）解：设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （3）解：当时， ∴， 解得：，， ∴泥咕咕被抛出后或时，拍摄效果最佳． 题型十一 新情境问题 【典例11】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩，是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地． (1)如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长，宽，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，要使余下的耕地的面积是，水渠的宽应为多少m？ (2)如图2，该农庄拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，y有最大值225 【分析】（1）根据题意，矩形耕地，长，宽，东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠，设水渠的宽为，利用平移法，余下耕地可拼成矩形，长为，宽为，据此列方程求解． （2）根据题意，利用总材料长度和平行于墙的边长x，表示出垂直于墙的边长，进而根据“矩形面积=长×宽”列出y关于x的函数关系式；自变量需同时满足边长为正数以及平行于墙的边长不超过现有墙长这两个条件；最后将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的图象特点求出最大面积． 【详解】（1）解：设水渠的宽为，则， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去， 答：水渠的宽应为． （2）解：设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，则垂直于墙的每段长为． 因此总面积， 因为，抛物线开口向下，且满足， 所以，当时，y取得最大值225． 答：当时，y有最大值，最大值是225． 【变式1】（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 【变式2】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【答案】(1)函数图象如图所示： 函数解析式为： (2)； (3)2辆 【分析】（1）描点、连线即可作出函数图象；再确定函数关系为二次函数，即可由待定系数法求解解析式； （2）由于每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车，即可得到经过x分钟，已调度的共享单车数量为；再由求解函数解析式； （3）设需要同时安排辆调度车，则，即，由题意得，在范围内，即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：函数图象 由已知可得是的二次函数， ∴设解析式为： 代入点、、 则 解得 ∴函数解析式为； （2）解：由题意得，当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为（辆）， ∴， 即； （3）解：设需要同时安排辆调度车， 则， 即， 由题意得，在范围内，即可， 对于， 对称轴为直线， ∵ ∴， ∴， 即 ∴或 解可得，； 解，此时无解， 为了不浪费资源，故取最小值， ∴需要同时安排辆调度车． 【变式3】（2026·广东深圳·三模）【问题背景】为落实2026年深圳峰会“开放创新，绿色发展”的办会理念，会议通信保障中心发现，现场设备分为两类：媒体设备（记者用于直播、传输视频，占总设备数的 ，每台需带宽2单位）和普通设备（占 ，每台需带宽1单位）．每个通信基站带宽容量为600单位．会议通信保障中心的目标是在保障期的任意时刻，现场总带宽需求不超过基站总容量． 【模型构建】在会议开始前40分钟启动通信保障，现场总设备数y（台）与保障时间x（分钟）满足： ． 【模型应用】 (1)第______分钟，现场总设备数达到1400台． (2)请求出第 分钟时的现场总带宽需求 的表达式． (3)为满足带宽需求，至少需要部署多少个基站？请说明理由． (4)通信中心考虑优化方案：媒体设备区必须保证 带宽供应，普通设备区可接受“弹性保障”（当带宽不足时，可降速至0.5单位/台）．若普通设备区降速策略生效的阈值为：当 （总带宽容量）时启动．请通过计算说明采用此策略后，所需基站数能否减少． 【答案】(1) (2) (3)解：至少需要部署4个基站，理由如下： ， ∵，函数图象开口向下，对称轴为， ∴当时，p随x增大而增大， 当时p取得最大值： ， 单个基站带宽容量为单位，所需基站总数为，基站数量为正整数，向上取整得到至少需要部署4个基站； (4)解：假设部署3个基站，总带宽容量为单位： 弹性策略启动阈值为，即当原始总带宽需求时，普通设备单台带宽降为单位， 此时调整后的总带宽需求为： ， 当时y取得最大值， 代入得调整后最大带宽需求，满足验证阈值触发区间； 令原始， 即， 解得， 对应x的取值范围约为，该区间内调整后的带宽需求始终小于，所有时刻带宽需求均可被3个基站覆盖， ∴采用该策略后，所需基站数可以从4减少到3，能够实现基站数减少． 【分析】（1）将给定的总设备数代入已知的设备数和时间的关系式，得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去超出定义域的解，得到符合要求的时间； （2）根据两类设备的占比和单台带宽需求，先推导出总带宽p和总设备数y的函数关系式，再将y关于x的表达式代入，展开整理得到p关于x的最终表达式，标注对应的x的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴位置，找到p的最大值，用最大总带宽除以单个基站的容量，向上取整得到最少需要部署的基站数量； （4）先假设部署比原方案少1个的基站，计算该配置下的总容量和弹性策略触发阈值，推导弹性策略生效后的总带宽需求表达式，计算调整后的最大带宽需求，验证其是否小于该配置的总容量，确认所有时刻的带宽需求都可以被覆盖，即可判断基站数是否可以减少． 【详解】（1）解：将代入总设备数关系式： 整理得： 解得， ∵， ∴； （2）解：∵媒体设备占总设备数，单台带宽2单位，普通设备占总设备数，单台带宽1单位， ∴， 代入， ； （3）解：略； （4）解：略． 题型十二 实物抽象出二次函数模型 【典例12】（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【答案】(1)以的中点为原点建立平面直角坐标系： ∵水位线与拱桥最高点的距离为3米，米， ∴抛物线的顶点为，，， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为． (2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过米 (3) 【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果； （2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与比较得出结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上，设，则，将点代入抛物线解析式求出t的值，从而得出最终结果； （3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，如图， 令，则， 解得：，， ∴，， ∵米， ∴， 令，则， ∴, ∵， ∴能通过拱桥， 要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上， 如图，设，则， 将点代入抛物线得： ， 解得：， ∴， ∴水面上升高度最多不能超过（米）． （3）解：如图，当船未装货物时，点G位于抛物线的顶点，即，设与y轴交点H， ∵米， ∴，， 令，则， ∴， 设船会下沉x米， ∴，， ∴ ， ∴， ∵同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】（2026·广西南宁·一模）【综合与实践】 主题：隧道安全警示的数学探究 如图1，在隧道通行安全中，涉水线和限高架的设置蕴含着丰富的数学知识．某数学兴趣小组对双向通行隧道进行考察，开展了以下探究： 素材1如图2为隧道及斜坡的侧面示意图，当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 素材2图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． (1)【初步探究】如图2，过点作，已知斜坡的坡角，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米，，，）． (2)【深入研究】如图3，请建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (3)【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．已知车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2)以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： (3)3.5米 【分析】（1）过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为()，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米)，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角α为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴（米）． （2）解：如图所示：以点C为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为()， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴． （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米)， ∵涉及安全问题， ∴（米）． 【变式2】（25-26九年级上·广东潮州·期末）景德镇陶瓷生产历史悠久、是中国的古瓷都和陶瓷文化的发祥地之一．某陶瓷工厂生产一款陶瓷碗．其侧面轮廓可近似看作抛物线．某校九（1）班数学兴趣小组同学在进行项目式学习时，通过收集到的素材对该工厂生产的陶瓷碗进行了以【探究碗身盛水深度与水面宽度之间的关系】为任务的综合实践活动． 【收集素材】 素材一：如图1是一个竖直放置在水平桌面上的陶瓷碗． 素材二：如图2是陶瓷碗的截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗深． 【问题提出】 问题一：碗体呈抛物线状，那它的表达式是什么？ 问题二：碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度是否也按一定的倍数关系变化？ 【方案设计】 步骤 方案设计 步骤1 ①建立适当的平面直角坐标系； ②求出抛物线的表达式． 步骤2 ①利用具体数据（盛水深度的倍数关系）进行计算； ②分析计算结果，归纳总结规律． 【问题解决】 (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出碗体所在抛物线的表达式； (2)当盛水深度取，，时，计算水面宽度并总结你得到的规律． 【答案】(1) (2) 水面的宽度为； 碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． （1）以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件得出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分别把，，代入函数解析式求出x的值，然后求出水面的宽度即可求解． 【详解】（1）解：以碗底的中点F为原点O，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． （2）解：当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； 当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； 当时，， 解得， ∴水面的宽度为：； ∵当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系；当碗身盛水深度取和，碗身盛水深度是2倍关系，水面的宽度是倍关系， ∴碗身盛水深度呈倍数关系变化时，水面的宽度按一定的倍数关系变化． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）某城市公园计划建造一座“彩虹门”喷泉景观．喷泉由两侧对称的水柱组成，水柱呈抛物线形，在最高点相遇形成完整的“彩虹门”．公园设计团队需要对喷泉进行精确设计． (1)任务一：建立模型 如图1，设计团队测得喷泉场地宽度米，在，处各安装一个喷水装置，将出水口高度，都设为米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形“彩虹门”，且点到地面的距离为米．以线段所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，请求出“彩虹门”喷泉中抛物线的解析式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)任务二：游客通道设计 如图2，设计团队计划在“彩虹门”下方地面上建造一条与垂直的笔直游客通道，并在游客通道上绘制6条平行的地面标志线，每两条标志线之间间距相等，为了避免游客被淋湿，团队需要在所在直线与标志线交点处安装挡雨伞，伞的顶端离地面的距离保持3米．为保证“彩虹门”的水柱不被破坏，要求最外侧挡雨伞顶端与水柱间的垂直高度为0．米．请你求出每相邻两条标志线的间距应为多少米； (3)任务三：灯光设计 设计团队通过进一步分析发现，为使下一次“彩虹门”的设计更具创意．首先将两个喷水装置同时向外侧移动米(在所在直线上)，此时两个水柱(水柱形状不变)的交点相应向下移动1米，接着在两个喷水装置的外侧各安装一盏射灯(在所在直线上左右对称安装)，每盏射灯与同侧喷水装置底端的水平距离均为米(左右相同)，射灯射出的光线与地面的夹角为且两条光线相交于一点，若光线与水柱之间的最小距离为米，求，的值． 【答案】(1)； (2)米； (3)， 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括二次函数解析式的求解、二次函数的性质等知识．关键是根据题意建立平面直角坐标系，利用二次函数的性质和坐标运算解决实际问题． （1）根据已知条件，抛物线顶点在，且经过，利用顶点式求解解析式． （2）根据挡雨伞顶端的高度和与水柱的垂直高度，求出水柱在该点的高度，代入解析式求出横坐标，再根据6条标志线的间距相等，计算间距． （3）根据喷水装置移动后的位置和顶点移动的情况，设出新的抛物线解析式，利用交点向下移动1米的条件求出的值；再根据射灯的位置和光线的夹角，求出光线的解析式，通过抛物线上的点与直线上对应点的坐标差求出最小距离，进而求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线顶点为，且过点， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 即，解得， 故抛物线解析式为； （2）解：由题意，挡雨伞顶端离地面3米，最外侧挡雨伞顶端与水柱的垂直高度为米， 水柱在该位置的纵坐标为， 将代入抛物线解析式得：，解得， 最外侧挡雨伞的水平位置为米， 由于6条标志线将到的距离平均分为5段， 则每段间距为米， 故每相邻两条标志线的间距为米； （3）解：由题意，左侧新抛物线顶点为，形状不变， 设解析式为， 将代入解析式，得在轴上的纵坐标． ∵交点向下移动1米， ∴，解得(舍去负值)． 此时，左侧抛物线解析式为， 则左侧喷水装置位置为，左侧射灯位置为， 光线与地面夹角为，故左侧射灯光线方程为． 在左侧抛物线上任取一点，其中，， 直线上取正上方的点，则， 过点作左侧光线的垂线，垂足为点，根据题意 ∴， 这是关于的二次函数，开口向上， ∴当时，得最小纵坐标差为， ∴，解得． 综上，，． 题型十三 跨学科问题 【典例13】（2026·江苏连云港·二模）数学跨学科综合实践不是“用数学做几道别的学科的题”，而是以数学为骨架，以现实问题为血肉，在不同学科的碰撞中提升综合思维、应用能力和创新意识．它回应了一个根本问题“学数学究竟有什么用？”——答案不再是“为了考高分”，而是“为了理解世界并改变它”．在数学跨学科综合实践学习中，善思学习小组在解决课本上一道练习题：如图①，在直线的同侧有两个和，连接，交于点，过点作直线，则有结论（无需证明）．融创学习小组敏锐的发现它与物理学科电阻知识的结论有点类似．电学有如下两个公式：如图②，在串联电路中，总电阻满足；如图③，在并联电路中，总电阻满足． (1)如图③，已知，总电阻为，求的值； (2)如图③，两个电阻并联在同一电路中，已知，，请用无刻度直尺和圆规在图④中（1个单位长度代表）画出表示该电路图中总阻值的线段长（保留作图痕迹） (3)在如图⑤所示的等效电路图中，，，，为两个滑动变阻器且．电流表表示的数是否存在最小值，若存在，求出电流表示数的最小值．若不存在请说明理由； (4)我们通过作差法可以得到：对于任意非负实数、，都有（当且仅当时取等号）．请直接运用上述结论解决问题：现有两个电阻、，，，记串联后总电阻为，并联后总电阻为，令，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)如图，即为总阻值的线段长 (3)存在， (4) 【分析】（1）根据，代数值进行计算即可； （2）根据题意在边取，边取，连接，交于点，过点作于点F，即为所求； （3）根据两条支路的电阻分别为，，总电流，再根据二次函数的性质求出最小值即可； （4）先用题目给出的不等式公式求出的最小值，再代入​取值范围的两个边界值比较大小，得到的最大值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：，总电阻为，， ， 解得 （2）略 （3）解：电路中，两条支路的电阻分别为，， ， 设，其中， 总电流， 分母是关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值，， 当分母最大时，总电流取最小值， 故； （4）解：串联总电阻：， 并联总电阻：， 则， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 此时， 当时，， 当时，， 综上所述，． 【变式1】（2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题）在活动课上，老师将小球从4.8米长的斜面顶端由静止开始沿斜面直线滚下，然后在水平木板上沿直线滚动，直至停止（如图所示，不考虑外界因素）． （1）在斜面滚动阶段 信息一：滚动距离平均速度滚动时间t，，其中是开始 时的速度，是t秒时的速度． 信息二：在滚动过程中，速度每秒增加． 信息三：实验数据如下表： 滚动时间t （单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． t秒速度（单位：） 0 15 30 45 60 ．．． 滚动距离S （单位：） 0 7.5 30 67.5 120 ．．． （2）在水平木板滚动阶段 我们用二次函数来近似的表示滚动距离y与滚动时间x的关系．收集到y与x的部分数据如下表： 滚动时间x（单位：s） 0 1 2 3 4 ．．． 滚动距离y（单位：） 0 115 220 315 400 ．．． （3）解决问题 在斜面滚动阶段 ①求滚动的距离S（单位：）关于滚动时间t （单位：s）的函数关系式； ②小球从顶端滚到底端B处需要多长时间？ 在水平滚动阶段 ③在小球滚动路线的前方，距B点8米处有一个物体C，请判断小球在木板滚动中会撞上它吗？说明你的理由． 【答案】①； ②秒； ③不会，理由如下： 设，把代入，得： ，解得， ∴， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴小球在木板滚动中不会撞上物体C． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： ①根据题意，得到，，利用公式，列出函数关系式即可； ②求出时的自变量的值即可； ③待定系数法求出函数解析式，求出的最大值，进行判断即可． 【详解】解：①由题意，，， ∴； ② 当时，，解得（负值舍去）； 故小球从顶端滚到底端B处需要8秒； ③略 【变式2】（2026·广西柳州·二模）【综合与实践】一些物理实验可以用数学知识解决问题，如小孔成像涉及相似的知识，平抛运动涉及抛物线型的实际应用等，某兴趣小组为了探究平抛运动中的抛物线型的实际应用，制定了如下的实践活动，请完成下列方案设计中的任务． 知识背景 如图①，一小球从静止的斜坡下滑，小球离开桌面时做平抛运动（不考虑空气阻力），设小球滚出桌面的水平方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，以小球离开桌面的位置为原点建立平面直角坐标系（小球的体积忽略不计），得到小球的位置坐标，根据平抛运动的原理可知，与时间（s）的关系为． 方案设计 用频闪照相机观测到小球在下落过程中的几个位置，如图②，并用平滑的曲线连接得到小球平抛运动的轨迹，如图③，已知桌面高度为，观测记录三个时刻小球的位置坐标，测量数据如下表： （s） 1 2 3 （cm） 10 20 30 （cm）    解决问题： (1)根据测试数据，可知小球在做平抛运动时，水平速度________，重力加速度________； (2)写出运动轨迹所形成的抛物线的表达式，并求出当小球在竖直方向下落时，它在水平方向上前进了多少？ (3)若小球水平抛出的正前方有一高度为的正方体纸箱（纸箱厚度忽略不计），要使小球落入纸箱中，求纸箱左侧到桌子的水平距离的取值范围． 【答案】(1)10；10 (2)它在水平方向上前进了 (3) 【分析】（1）根据表格解题即可； （2）根据待定系数法即可求出解析式，计算当时自变量的值，即可得解； （3）推出小球进入纸箱时的高度，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，代入到中，得：； 代入到中， 得， 解得； （2）解：设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得（负值舍去）， 即它在水平方向上前进了； （3）解：由题意可得：小球要在时进入纸箱， 将代入得， 解得（负值舍去）， ∴纸箱左侧到桌子的最短的水平距离为， ∴L的取值范围为． 【变式3】（2026·广东深圳·三模）综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 (1)【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． (2)【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】(1)解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； (2)①不会超出该路面范围；② 【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v与t之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一次函数，由待定系数法求解即可； ②描点、连线，观察图象，可以发现y与t之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由待定系数法求解即可； （2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与比较大小即可； ②根据题意，刹车距离需要大于的距离加上以的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设， 将点与点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数， 设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． （2）解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时， ∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵， ∴不会超过路面范围； ②∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，d最大为； ∴最小为． 期中基础通关练（测试时间：20分钟） 1．（26-27九年级上·云南昆明·阶段检测）某网店销售一种成本为元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：______件． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，当销售定价为多少元时，每日销售利润最大？求出最大利润． 【答案】(1) (2)当销售定价为30元/件时，每日销售利润最大，最大利润为1080元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）设每日销售利润为y元，根据题意列出二次函数，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为： 件； （2）解：设每日销售利润为y元，根据题意得： ， ∵该商品的售价不得高于30元/件， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大，且最大值为： ， 答：当销售定价为30元/件时，每日销售利润最大，最大利润为1080元． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）一种玻璃水杯如图①所示，其截面的左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为多少? 【答案】此时点P到杯口的距离为 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，过P作轴于点E，根据题意求出该抛物线的函数解析式，再根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，，进而列方程求得x、y值，即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，过P作轴于点E， 由题意，，，，． 设抛物线的函数解析式为， 把点C坐标代入函数解析式，得， 解得， ． ， ， ， ， 设，其中， ， ， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ． 故此时点P到杯口的距离为． 3．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）学校为了让学生观察植物的生长习性，打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用26米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为43米，设实验田的长为x米． (1)的长为_________米（用含x的式子表示）； (2)若实验田（矩形）的面积为150平方米，求x的值； (3)通过计算说明该实验田的面积最大是多少？ 【答案】(1) (2) (3)实验田的最大面积为平方米 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先确定的取值范围，再根据题意列方程求解即可； （3）设实验田面积为，则，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； （2）解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用26米，故，解得， ∴， ∵矩形面积为， ∴， 整理得：， 解得，（不符合要求，舍去）， ∴； （3）解：设实验田面积为， 则， 这是开口向下的二次函数，对称轴为直线， ∵， ∴时，取得最大值，此时，符合的要求， ∴代入，得， ∴实验田的最大面积为平方米． 4．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米． （米） … 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 … （米） … 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15 … 请你解决以下问题： (1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； (2)直接写出演员身体距离地面的最大高度； (3)求起跳点距离地面的高度； (4)在一次表演中，已知人梯到起跳点的水平距离是米，人梯的高度是米，演员弹跳后未能恰好落到人梯的顶端处．为使演出成功，结合所画的图象，分别设计以下两种调整方案： 方案一：将起跳点距离地面的高度调整为 米（结果精确到）； 方案二：保持起跳点高度不变，将人梯到起跳点的水平距离调整为 米（结果精确到）． 【答案】(1) (2)演员身体距离地面的最大高度为米 (3)起跳点距离地面的高度为米 (4)； 【分析】（1）以点C为坐标原点，所在直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将表格中的点描在坐标系内，再用一条平滑的曲线依次连接即可； （2）根据表格中的数据或函数图象分析的最大值即可； （3）利用待定系数法求出函数的解析式，令，求； （4）方案一：计算当时的取值，进而确定函数图象应整体向下平移米，进而得解；方案二：计算当时的取值，再结合“越过最高点后恰好落在人梯的顶端处”确定符合题意的解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，演员身体距离地面的最大高度为米． （3）解：设抛物线的表达式为 ， 将点代入，得， 解得， 该抛物线为， 当时，， 起跳点距离地面的高度为米； （4）解：方案一：当时，（米）， 人梯的高度是米， 需要整体向下平移（米）， 原来的起跳点距离地面的高度为米， 应将起跳点距离地面的高度调整为（米）； 方案二：令，即， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）． 应将人梯到起跳点的水平距离调整为米． 5．（26-27九年级上·浙江衢州·阶段检测）爱思考的小丽在观看排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹类似抛物线的一部分，于是她和同学小宛一起进行实验探究． 【素材】经实地测量可知，排球场地长为，球网在场地中央且高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，发球时，排球的击球高度为． 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 测得小宛某次发球时排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x的几组数据如上表，并在平面直角坐标系中，描出了各组数值的对应点． 【解决问题】 (1)①请在下图坐标系中画出表示排球运行的轨迹； ②根据表格数据和所画轨迹形状，求排球运动过程中的竖直高度y与水平距离x近似满足的函数关系式； (2)通过计算，判断小宛这次发球能否过网，是否出界，并说明理由． 【答案】(1)①如图所示： ②； (2) 这次发球能过网，不会出界，理由如下： 小宛这次发球是站在点， 发球点到球网水平距离为， 当时，， 当时，， 解得或（舍去）， ， 这次发球能过网，不会出界． 【分析】（1）①根据图中描的点进行连线即可作出图象；②根据题意，设与的函数关系式为，将代入计算即可得到答案； （2）将代入抛物线解析式，求得值与比较，令解出与比较，然后可得到答案； 【详解】（1）①略 ②根据题意，设与的函数关系式为， 将代入，得， 解得，即， 将下表中数据： 水平距离 0 2 4 6 8 11 12 竖直高度 2.00 2.44 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00 代入检验，可知排球运动过程中的竖直高度与水平距离近似满足的函数关系式为； （2）略． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2026·江苏淮安·中考真题）“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】(1)建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 (2)拱顶到水面的距离为 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【详解】（1）解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 2．（2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 3．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 4．（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $