四川成都市金牛区实外高级中学2026-2027学年度高二上学期第一阶段考试数学试题

成都市金牛区实外高级中学高2025级2026-2027学年度上 第一阶段考试数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求。 1.在三棱锥O-ABC中，OA+AB+BC=( A.OA B OC C.AB D.AC 2.甲学校有2000名学生，乙学校有2500名学生，丙学校有3000名学生，为统计三校学生某方 面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为75的样本，应在甲，乙，丙三校分别抽取学生 A20人，25人，30人 B.30人，25人，20人 C.25人，30人，20人 D.20人，30人，25人 3.下列说法正确的是（) A.零向量没有方向 B.在空间中，单位向量唯一 C.若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D.若空间中的O,M,N,P四点不共面，则{Oi,O,OP是空间的一组基底 4.己知P(A)=0.5,P(B)=0.3,且A,B互斥，则P(AUB)=(） A.0.5 B.0.3 00.8 D.0 5.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，A市·DC=( A.4V2 B.4 C 2V2 D.2 6.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险：丁， 定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种 参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： ,比例 0.55 7000 54周岁及以上8% 6000 0.33 5000 42-53 1829 4000 周岁 周岁 3000 33% 20% 0.09外… 2000 39% 8:8=☑ 1000 30-41周岁 甲乙丙丁戊险种 018-2930-4142-5354周岁及以上 参保险种比例 不同年龄段人均参保费用 参保人数比例 用样本估计总体，以下四个选项不正确的() A,丁险种最受参保人青睐 B.随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C.30-41周岁参保人数最多 D30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% 1 7.已知10个样本数据x1,x2,…,x10均为正数，其方差为11，且好+号十…+x品=200，则 这10个样本数据的平均数为：) A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知事件A与事件B相互独立，若P(A)）=3P(B),P(A+B)=备，则P(同=() A吉 B号 c.吉 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.现有一组样本数据1,3,1,5,5,6,8,2,5，则这组数据的( A.众数为5 B.中位数为3 C.极差为1C.70%分位数为5 10.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：2=“所有样本空间"，C=“点数为”，其中i= 1,2,3,4,5,6,D=“点数不大于2”，D2=“点数大于2，D=“点数大于4”，则() A,C与C2互斥 B.D1UD2=2,DD2=0 C.DsED2 D.C2,C为对立事件 11.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，P为空间中一点，且满足BP=BC+BB,,μ∈ [0,1],则下列说法正确的是( A C B B A.当1=0时，点P在棱BB,上 B.当1=4时，点P在线段BC上 C.当u=1时，点P在棱BC上 D.当1+H=1时，点P在线段B,C上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在空格处 12.点A(2,3,1)关于坐标平面xOy对称的点的坐标是 13,澄海素有“中国民间灯迷艺术之乡"的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传 承国家级非遗澄海灯谜.甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜播台赛，擂台赛由甲、乙各 猜射一道灯谜。已知甲猜中灯谜的概率为号，乙猜中灯谜的概率为分，两人游中与否互不影 响.则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为 14.某次测验中，一班42名同学的测验成绩的平均数为105分，方差为86：二班48名同学的 测验成缋的平均数为90分，方差为71.那么这90名同学本次测验成缋的平均数为_分， 方差为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出丈字说明、证明过程或演算步 骤 ·2· 15.已知d=(2,-2,2),a+6=(6,-3,2). (1)求向量的坐标及例： (2)若(ka+⊥(a-20,求k的值、 16.在一次学校组织的“科技文化节活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为a,a2,ag),女 同学2名（记为b,b),现从中随机一次性选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被 选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序) (1)写出这个随机试验的样本空间： (2)求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学发生的概率， 17.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，某公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他 们的年龄（都在[15,65]内），按照[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]进行分组， 得到如图所示的频率分布直方图。 个频率 组距 0.040 0.030 0.010 0.005 网 152535455565年龄/岁 (1)求这500名中国AI大模型用户的年龄在[15,35)内的人数； (2)估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）， ·3 18.如图，空间四边形0ABC中，OA=OB=OC=2,LA0C=∠BOC=号，∠AOB=号，点 M,N分别在OA,BC上，且OM=2MA,BN=CN. (1)以{OA,O,OG为一组基底表示向量M示： (2)求MN的长度； (3)求A乙，M两向量夹角的余弦值： O M B 19.1934年一1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转 折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年。为传承长征精神，某校 计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏 可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游 戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以茶得两张观影票，否则 无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“1,2,3,4,5），这三个 游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获 胜： 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为m,则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率： (2)当m=4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ (3)根据m的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ ·4 成都市金牛区实外高级中学高2025级2026一2027学年度上 第一阶段考试数学参考答案 1-8:BADCBDCD 9-11:AD ABC ACD 12:(2,3,-1) 13:8 14:97134 1.【详解】因为OA+AB=OB,O店4Bd=O乙，所以OA+A5+BG=O心 2.【详解】甲，乙，丙三个学校的学生比例为20002500：3000=45：6，故甲，乙，丙三校分别抽取 学生人数为7行×4++6=20,5×4+3+6=25,75×4+9+6 4 5 30. 3.【详解】对于A,零向量有方向，方向是任意的，故A错误： 对于B,在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于O,若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D,若空间中的O,M,N,P四点不共面，则向量OM,ON,OP不共面，故{Od,ON,O是空间 的一组基底，故D正确. 4.【详解】，A,B互斥，所以P(A∩B)=0,.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8 5.【详解】在棱长为2的正方体ABCD-ABCD,中， 易知|=2，DC=√2+2=22，因为店=DC,Dd与D元，的夹角为平， 所以丽与DG的夹角为子店：DC=誓=2×2w×号=4 2 6.【详解】对A:由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故A正确： 对B:由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故B正确： 对C:由扇形图可知，31~41周岁的参保人数最多，故D正确； 对D:由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故D错误： 7.【详解】设这10个样本数据的平均数为元，样本容量n=10. 因s-2一旷-2-2+到-品含对-品到+8=-我 10 所以1=六×200-另即2=9由于所有样本数据均为正数，因此平均数云>0，故玉=3. &.【详解】由题设PA+B)=P)+P(②)-PA)=P(4+P(a)-PAP(a)= 又P(A)=3P(a)∈[o,1,则4P(a)-3[P(a)P=是，可得36[P(aP-48P(a)+7=0, 由P(a)∈[0，号」，且[6P(a)-7I[6P(a)-1=0,可得PB)=合，·P(同=1-P(B)=吾 9.【详解】先将数据从小到大排序为：1,1,2,3,5,5,5,6,8所以众数为5，中位数为5， 极差为8-1=7，因为9×70%=6.3，所以70%分位数是排序后的第7个数字，即为5. 所以ACD正确，B错误. 10.【详解】由题知C与C不可能同时发生，所以C与O2互斥，A正确：事件D包含基本事件C, C2,事件D2包含基本事件C3,Ca,C,C,因此D1UD2=2,DD2=0,B正确；事件D3包含基本事 件C,C6,故D三D2,C正确：C与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D 错误. ·1 11.【详解】对于A,当A=0时，B驴=BB,μ∈[0,1]，所以B驴∥BB,则点P在梭BB上，故 A正确：对于B,当1=H时，B乎=(B乙+BB),A∈[0,1]，连接BC,即B驴=BC,即B驴∥ BG,所以点P在线段BC上，故B错误：对于C,当μ=1时，B驴=B己+BB,1∈[0,1]，所以 B心=BP-BB,所以B2=B乙=BC,即B予∥B,G,所以点P在棱BC上，故C正确：对 于D,当1+=1时，B2=BC+(1-)BB,1∈[0,1]， 由三点共线结论知B,P,C三点共线，所以点P在线段BC上，故D正确， 12.【详解】在空间直角坐标系中，点P(c,,z)关于xOy坐标平面对称的点的坐标规律是： x坐标不变，y坐标不变，x坐标变为相反数，按照这个规律，对称点的坐标为(2,3，-1)· 13.【详解】设：甲猜中灯谜为事件A,乙猜中灯谜为事件B,则至少猜中1道灯谜的概率=1一 1-P401-PB)=1-(1-号）×1-号）=1-子×合=号 14.【详解】设一班42名同学的成绩平均分为云=105，方差为子=86，人数几=42：二班48名同 学的成绩平均分为2=90，方差为岛=71，人数2=48：90名同学的总平均分为云，总方差为92.： 元=n+m画=42×105+48×90=4410+4320=8780=97. n十m2 90 90 90 “分层合并方差公式为g子=[+(-门]+[+（远一] nitn 4代入得2=42X(86+8)+48×71+-72-42x150+48×120=630+5760=12060=134 90 90 90 90 15.【答案】(1)6=(4，-1,0)，同=17：(2)k=-3 【详解】(1)己知a=(2,-2,2),a+6=(6,-3,2).设6=(a,b,c): 2+a=6 a=4 则d+6=(2+a,-2+b,2+c)=(6,-3,2),则有{-2+b=-3,解得b=-1, 2+c=2 c=0 即方=(4，-1,0)，则l=√42+(-1+0=V17.故6=(4，-1,0)，|=7. (2)由(1)得6=(4，-1,0)，又a=(2,-2,2),ka=(2k,-2k,2), 则ka+6=(2k+4,-2k-1,2),a-26=(-6,0,2), 由(ka+可)⊥(d-26得(kd+动·(d-2b=0, 即(2k+4)×(-6)+(-2k-1)×0+2k×2=0,解得k=-3,故k的值为-3. 16.【答案】(1)2={(a,a),(a,),(abb),(a,b2),(a,a,(a2,b),(ab),(ab1),(a,b),(b,b2)}:(2） 号【详解】(1)n={a,w,(a(a,b.(ab,(a,(ab,(am,b.(a,b.(o,b.（6,b》. (2)设事件B为“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则B={(a,b),(a,b2),(a,b).(,b2),(g,b1),(a,b2)},共6个基本事件， 样本空间中共有10个基本事件，所以P心回)=品=号 17.【答案】(1)200人；(2)37.5. 【详解】(1)各组组距均为10.由各组频率之和为1，得10×(0.010+0.030+0.040+m+0.005=1, 得m=0.015、年龄在[15,35)内频率为10×(0.010+0.030)=0.4，.人数为500×0.4=200（人）. (2)五组的频率依次为010,0.30,0.40,0.15,0.05.各组区间的中点值依次为20.30,40,50,60. 因此这500名中国AI大模型用户年龄的平均数估计为20×0.10+30×0.30+40×0.40+50×0：15+ 2· 60×0.05=37.5.故估计平均数为37.5. 18.【答案】@=-号O丽+号O苑+号o心，(=(a)四 【详解】(1)因为OM=2MA,BN=CN, 所以丽=0N-0m=号(O丽+0d)-号01=-号0A+号O丽+30d. (2②)因为OA=OB=0C=2,∠AO0=∠B0C=,∠A0B=哥， 所以O7.0C=0i.0元=0,0☑·0i=1 os5=2, :=(-号01+20丽+号0c=4o水+是o+o心-号o4:0i-号oA:0心+20成 ·00=号10+16+号10讯-号0丽.丽=普×2+骨×2+×2-号×2=号 9 所以=亚. (3):Ac=0C-0A,·Ac=(oC-0A·(-号oA+号o丽+20C) =号o-号oi.0m-号0d.0-号010d+2o丽.0d+号o0 =号×2-}×2+3×2”=号，1d=V⑥元-6-W6元+0-20元.o7-va+4=2w2, 所以cos<AC,派>=AC@ 。号 -红 ACMN 2W2× 4 19。【答案】()游戏，游戏二获胜的横率分别为号，号：(2)同学应将游戏一放在第二个游戏的位 置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏.(3)应将游戏一置于第二个游戏的位置 (中间位置)，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 【详解】(1)记事件A=“同学参加游戏一获胜”，事件B=“同学参加游戏二获胜”，事件C=“同学参 加游戏三获胜”因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以PA)=号 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第 一次摸出或第=汝总摸出4”或"5，所以P(回=号器=者 (2)游戏三的所有样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2，.4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个， 当m=4时，获脸的样本点为(1,3).(.1，有2个所以P(©)=易= 1 记事件E=“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件M=“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件N=“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件T=“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏 为游戏一、二、三的一个排列， 则事件M,下依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜， 所以E=MNTUMNTUMNT,其中M,N,T相互独立，MNT,MNT,NT两两互斥， 3- 则P()=P(NT）+P(MN)+P(MT) =P(M)P(N)P(T)+P(M)P(N)P(T)+P(M)P(N)P(T), 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有P(P(P(T)=号×号×品=品 5 所以P(=PW[P(网P(T+P(MP(1+4 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 =号×（器×品+会×品）+赢=器 4 57 4-61 +625=2525+625=625· ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 =贵×停×品+培×)+高=器： ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 A(=0×(停×器+号×着)+意=品因为R(回>A(回>R, 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、 三中任选，进而确定第三个游戏。 (3)考虑游戏三中m的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 6 6 3 3 5 6 3 4 5 7 8 5 6 7 9 5 6 7 8 9 故P(m=3)=P(m=到=P(m=8)=P(m=9)=0,Pm=5)=Pm=)=Pm=)=言 当m=3,4,8,9时，同学按(2)将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选， 进而确定第三个游戏当m=5.67时，P0PUMP)=号×岩×号=品 ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 P@=号×器×+务×)+品=器： ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 =秀×导×号+×号)+品=器： ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 P@=吉×号×器+号×号)+品=器 因为'()>()>P(E),所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏 的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏。 综上，无论m取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三 中任选，进而确定第三个游戏。 4