精品解析：四川泸州市泸县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

高2025级2026年秋期第一阶段性考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 个体 D. 样本量 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 5. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为 A. B. C. D. 6. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 7. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 14. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求： （1）恰有1人通过测试的概率； （2）至少有1人通过测试的概率. 16. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 17. 某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生，满意度评分满分为100分，按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数； （2）从满意度低于70分的学生中，按，的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自的概率． 18. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． （3）点G在线段AF上，若，求线段的长度． 19. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次竞赛情况，年级从中抽取了名学生的成绩进行统计.将成绩进行整理后，分为五组：，，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）已知落在的平均成绩是，标准差是，落在的平均成绩为，标准差是，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级2026年秋期第一阶段性考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了解某地参加计算机水平测试的500名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽到的200名学生的成绩是（ ） A. 总体 B. 样本 C. 个体 D. 样本量 【答案】B 【解析】 【详解】在总体中，被抽取的对象为样本. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由空间的对称性得点关于x轴的对称点为． 4. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 5. 甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲及格的概率为，乙及格的概率为，丙及格的概率为，则三人至少有一个及格的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解析：由题设可知甲、乙、丙三位同学都不及格的概率是，故甲、乙、丙三位同学都至少有一个及格的概率是，应选答案C． 6. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 7. 若，则为整数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用列举法求出样本空间，列举出满足条件的样本点，然后可得概率. 【详解】从中任取两个数的样本空间为： ，共25个. 使为整数的样本点有，共8个. 所以为整数的概率为. 故选：C 8. 如图，四棱锥中，面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件首先确定外接球的半径，然后根据已知条件求出半径，最后根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图，因为面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球． 由面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即， 化简得，因为，所以无实数解，故B错误； 对于CD，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 11. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 的长为 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，所以. 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为， 其中为方向上的单位向量， 令，.则； ； 所以投影向量的坐标为. 13. 某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为，事件甲只加入其中一个社团可表示为，由条件结合概率加法公式求结论. 【详解】设事件甲加入理科学社为，事件甲加入十三月音乐社为， 由已知，，， 事件甲同时加入两个社团可表示为， 事件甲只加入其中一个社团可表示为， 且事件，互斥， 所以， 故答案为：. 14. 直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通过测试的概率分别为，.求： （1）恰有1人通过测试的概率； （2）至少有1人通过测试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的概率公式求解. 【小问1详解】 记甲、乙通过测试的事件分别为，则， 恰有1人通过测试的事件为， 所以恰有1人通过测试的概率为. 【小问2详解】 由（1）得至少有1人通过测试的事件为， 所以. 16. 已知在四棱锥中，底面，且底面是正方形，F、G分别为和的中点. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1） 证明：连接AC，由已知F、G分别为和的中点， ，又面ABCD，面ABCD， 平面； （2） 证明：底面是正方形， ， 又底面，面ABCD， ，面，面， 面，又面， . 【解析】 【分析】（1）连接AC，通过证明，利用线面垂直的判定可得答； （2）通过证明面可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生，满意度评分满分为100分，按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数； （2）从满意度低于70分的学生中，按，的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自的概率． 【答案】（1）77；85 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平均数与上四分位数的定义列式求解即可； （2）先求出5人中随机选取2人进行座谈的所有可能情况，再求出这2人都来自的所有可能情况，最后利用古典概型进行计算即可. 【小问1详解】 设上四分位数为，即， 【小问2详解】 从中抽取1人编号为1，从中抽取4人编号为2，3，4，5． ， 记“这2人都来自”，即 ，即这2人都来自的概率为 18. 在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． （3）点G在线段AF上，若，求线段的长度． 【答案】（1）依题意以为原点，，，所在的直线为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 由为正方形，且，， 则，，，，， 又为的中点，为的中点，则，， 则，， 由，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，得到所需点的坐标，从而得到向量，，进而求的值即可证明； （2）结合（1）的空间直角坐标系得到向量，，进而根据空间向量的夹角公式即可求解； （3）结合（1），（2）得，则，从而根据空间向量的线性运算得到，，进而根据空间向量的模长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）的空间直角坐标系得，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 结合（1）（2）得，则， 若，即， 则， 所以， 所以线段的长度为． 19. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次竞赛情况，年级从中抽取了名学生的成绩进行统计.将成绩进行整理后，分为五组：，，其中第组频数是第组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求，的值； （2）已知落在的平均成绩是，标准差是，落在的平均成绩为，标准差是，求两组成绩的总平均数和总方差； （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题．已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是．每人回答正确与否相互独立．求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率． 【答案】（1）， （2）总平均数是62，总方差是26． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图面积为1计算可求得结果； （2）利用样本平均数和方差求总体平均数和方差公式直接计算可得结果； （3）由对立事件、独立事件乘法公式计算可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又， 解得， 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是，总方差是． 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $